202X届高考数学（浙江专用理科）必考题型过关练：专题8 第39练（含答案）.docx

第39练　二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项题型一　用公式求展开项例1　假设(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是(　　)A．360 B．180C．90 D．45破题切入点　从第六项二项式系数最大可得n值，再利用展开式的通项公式即可．答案　B解析　依题意知：n＝10，∴Tr＋1＝C()10－r·()r＝C2r·x5－r，令5－r＝0，得r＝2，∴常数项为C22＝180.题型二　赋值法求系数之和例2　假设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，那么a1＋a3＋…＋a2n－1＝________.破题切入点　令x＝±1可得关于各项系数的两个方程，联立方程即可求解．答案　解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝3n；①令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝1.②①－②，可得a1＋a3＋…＋a2n－1＝.总结提高　(1)在使用通项公式Tr＋1＝Can－rbr时，通项公式表示的是第r＋1项的值，而不是第r项的值，展开式中第r＋1项的二项式系数C与第r＋1项的系数不同．(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x＝1即可．而要求(1－x)n的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x＝－1即可．1．(2021·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)A．30 B．20C．15 D．10答案　C解析　因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.2．(2021·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，那么f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(　　)A．45 B．60 C．120 D．210答案　C解析　因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.3．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，假设M－N＝240，那么展开式中x的系数为(　　)A．－150 B．150 C．300 D．－300答案　B解析　M＝n＝4n，N＝2n⇒4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，Tr＋1＝(－1)rC·54－r·x4－⇒r＝2，那么(－1)2C·52＝150.4．设a∈Z，且0≤a<13，假设512 012＋a能被13整除，那么a的值为(　　)A．0 B．1 C．11 D．12答案　D解析　化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C522 012－C522 011＋…＋C×52×(－1)2 011＋C×(－1)2 012＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.5．假设(1＋x)(2－x)2 011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011＋a2 012x2 012，那么a2＋a4＋…＋a2 010＋a2 012等于(　　)A．2－22 011 B．2－22 012C．1－22 011 D．1－22 012答案　C解析　采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 011＋a2 012＝2，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 011＋a2 012＝0，把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2 012)＝2，所以a0＋a2＋…＋a2 012＝1，又令x＝0，得a0＝22 011，所以a2＋a4＋…＋a2 010＋a2 012＝1－22 011.应选C.6．设f(x)是6展开式的中间项，假设f(x)≤mx在区间上恒成立，那么实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，5) B．(－∞，5]C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)答案　D解析　由于Tr＋1＝Crx12－3r，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mx⇔x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.7．(2021·大纲全国)8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)答案　70解析　由Tr＋1＝C()8－r(－)r＝(－1)rC知，要求x2y2的系数，那么解得r＝4，∴x2y2的系数为(－1)4C＝70.8．(2021·山东)假设(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，那么a2＋b2的最小值为________．答案　2解析　(ax2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)6－r·()r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值为2.9．(x＋)6(a>0)的展开式中常数项为240，那么(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．答案　－6解析　(x＋)6的二项展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r()r＝Carx6－，令6－＝0，得r＝4，那么其常数项为Ca4＝15a4＝240，那么a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.10．假设(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，那么a1＋a2＋…＋a11＝________.答案　2解析　令x＝1，那么a0＝－2，令x＝2，那么a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，a1＋a2＋…＋a11＝2.11．(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．解　根据题意，设该项为第r＋1项，那么有即亦即解得(1)令x＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，r≤7且r∈N.于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝448x3.12．n.(1)假设展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解　(1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C4×23＝，T5的系数为C3×24＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C727＝3 432.(2)因为C＋C＋C＝79，所以n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大．因为12＝12(1＋4x)12，所以，所以9.4≤k≤10.4.又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11.T11＝12C410x10＝16 896x10.实用文档.。