02-磁场的积分方程.pdf

1、、矢量格林定理矢量格林定理 在区域Ω及其边界Γ上，设有P和Q两个矢量函数，散度展开计算得 ()∇×∇×= ∇×∇×−∇×∇×PQPQPQ 两边做区域积分，有 ()d[]d ΩΩ ∇×∇×Ω =∇×∇×−∇×∇×Ω ∫∫∫∫∫∫ PQPQPQ 根据散度定理，得 []d()d n ΩΓ ∇×∇×−∇×∇×Ω =×∇×Γ ∫∫∫∫∫ PQPQPQ e  上式称为矢量格林第一恒等式 P和Q交换顺序有 []d()d n ΩΓ ∇×∇×−∇×∇×Ω =×∇×Γ ∫∫∫∫∫ QPQPQP e  将两个矢量格林第一恒等式相减，有 []d()d n ΩΓ ∇×∇×−∇×∇×Ω =×∇×−×∇×Γ ∫∫∫∫∫ QPPQPP e  上式称为矢量格林定理 2、恒定磁场、恒定磁场基本方程基本方程 恒定磁场方程 0 ∇×∇×= µAJ 库仑规范0∇=A 矢量格林定理中的P，用来表示矢量磁位A 3、、矢量格林函数矢量格林函数 选一个矢量格林函数形式为 0 4 R µ = π Ga 矢量格林定理中的Q，用来表示矢量格林函数 R是源点到场点的距离，a是任意常矢量将G看做标量 0 4 R µ π 和矢量a相乘，有 0000 4444RRRR µµµµ ∇×= ∇×=∇×+∇×= ∇× ππππ a Gaaa 矢量恒等式 2 ∇×∇×= ∇∇−∇GGG 在源点与场点不重合情况下， 2 =0−∇ G，因此 2 ∇×∇×= ∇∇−∇= ∇∇GGGG 而 0000 4444RRRR µµµµ ∇= ∇=∇+∇=∇ ππππ a Gaaa 所以 0 () 4 R µ ∇×∇×= ∇∇ π Ga 4、矢量格林定理应用、矢量格林定理应用 （（1））格林定理等式左侧格林定理等式左侧积分的积分的第二项第二项被积函数被积函数 0 () 4 R µ −∇×∇×= −∇×∇×= −∇∇ π PQAGAa 由矢量恒等式（运算规则）得 000 [() ]()() 444RRR µµµ ∇∇=∇∇+∇∇ πππ aAAaaA 将库仑规范0∇=A 代入，等式左右互换，有 00 ()[() ] 44RR µµ ∇∇= ∇∇ ππ AaaA 代入式 0 [() ] 4 R µ −∇×∇×= −∇∇ π AGaA 这一项变成了一个散度。

（（2）格林定理等式左侧积分）格林定理等式左侧积分 矢量格林定理左侧被积函数代入，得 0 00 111 []d[[() ]d 44RR ΩΩ µ ∇×∇×−∇×∇×Ω =−∇∇Ω µµππ ∫∫∫∫∫∫ a GAAGJaA 进一步，应用散度定理，把散度的体积分变成闭合面积分 0 1 []d[d[()d 44 n V V RR ΩΓ µ ∇×∇×−∇×∇×Ω =−∇Γ ππ ∫∫∫∫∫∫∫∫ a GAAGJaA e  把任一常矢量a提到积分之外，得 0 1 []d[d[()()d 44 n RR ΩΩΓ µ •∇×∇×−•∇×∇×Ω =•Ω−•∇•Γ ππ ∫∫∫∫∫∫∫∫ J GAAGaaA e  （（3））格林定理右侧格林定理右侧被积函数被积函数 第一项被积函数，将∇×G代入 0 11 ()[()] 4 n R ×∇ו=× ∇ו µπ n AGeAae 利用矢量恒等式()()()•×=•×=•×ab cbcacab得 0 111 [()]() () 44 nn RR ×∇ו= ∇×•× µππ AaeaeA 再利用 ()()()•×=•×=•×ab cbcacab 0 0 11 [()]() ()[()] 444 n nn RRR ×µ × ∇ו= ∇ו×=•×∇ ππµπ eA AaeaeAa 第二项被积函数 0 1 ()[()] 4 nn R −×∇ו=∇×ו µπ a GAeAe 还是利用 ()()()•×=•×=•×ab cbcacab 00 00 1 ()[()][()][] 444 nnnn RRR µµ∇× −×∇ו=∇×ו=•×=•× µππµπ aA GAeAeaeaeH （（4）格林定理）格林定理代入结果代入结果 两侧全部代入，得 00 0 00 0 d[()]d 44 [()]d[()]d 44 n n n RR RR ΩΓ ΓΓ µµ Ω−∇Γ ππµ ×µµ =×∇Γ+×Γ µππ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ JeA aa eA aaeH      a是任意常矢量，可以约掉。

得 0000 00 d[()]d[()]d[()]d 4444 nn n RRRR ΩΓΓΓ µµ×µµ Ω =∇Γ+×∇Γ+×Γ ππµµππ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ JeAeA eH   5、矢量磁位的积分公式、矢量磁位的积分公式 除去奇点，以场点为球心，周围挖掉小球体， 边界积分中增加小球面上积分，小球面上有三项积分 000 0 22 [()]d[()]d[()]d 444 =[()]d[()]d[()]d 444 PPP PPP nnn RR nnn RRR RRR ΓΓΓ ΓΓΓ µµµ ∇•Γ+××∇Γ+×Γ πππ µ •Γ+××Γ+×Γ πππ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ eAeAeH ee eAeAeH   球面上R是常数， R e是源点指向场点的单位矢量，与 n e 相同场点固定，源点 变化小球面的积分为 0 22 22 [()]d[()]d[()]d 444 111 =[()]d[()]d[()]d 444 PPP PPP RR nnn RnRnn RRR S RRR ΓΓΓ ΓΓΓ µ •Γ+××Γ+×Γ πππ •−××Γ+×Γ πππ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ee eAeAeH eeAeeAeB   利用公式 ()()()××=•−•ab cb c ac a b 第二项积分中 ()()() RnnRRn ××=•−•eeAe eAA ee 又因为 ()()()0 RnRnnR ××=•−•=AeeeeAeA e 有 ()() nRRn •=•eA eeeA 代入第二项积分，得 ()()() RnRnRn ××=•−•eeAeeAA ee 小球的积分 0 222 1111 [()]d[()]d[ ()]d[()]d 4444 PPP RnRnRnn RRRR ΓΓΓΓ •Γ−•Γ+•Γ+×Γ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫ eA eeA eA eeeB  22 1111 [ ()]d[()]dd[()]d 4444 PPPP Rnnn RRRR ΓΓΓΓ =•Γ+×Γ =Γ+×Γ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫ A eeeBAeB  当0R →时，球面上 n× eB为有限值，A为有限值且等于场点的值。

222 1111 [()]d[()]d[ ()]d[()]d 4444 PPPP RnRnRnn RRRR ΓΓΓΓ •Γ−•Γ+•Γ+×Γ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫ eA eeA eA eeeB  2 11 d[()]d 44 PP n RR ΓΓ =Γ+×Γ = ππ ∫∫∫∫ AeBA  综合 0 111 d[()]d[()]d[()]d 4444 nnn RRRR ΩΓΓΓ µ =Ω−×Γ−××∇Γ−∇•Γ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ J AeBeAeA  积分式中梯度运算是针对源点的运算，因此 0000 22 0 d[()]d[()]d[()]d 4444 nRRn n RRRR ΩΓΓΓ µµ×µµ• =Ω+−×Γ+−×Γ+−Γ ππµππµ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ JeAeeeA AeH  ( 0000 22 d[]d[]d[]d 4444 RR M RRRR ΓΓΓ ΩΓΓΓ µµµµ =Ω+Γ+×Γ+σΓ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ Jee AKm  ) 积分公式的解释： 左端表示场域内一个场点的矢量磁位A 右端第 1 项，体积分是场域内体电流对矢量磁位的贡献。

体电流密度为J 右端第 2 项，面积分是场域边界上等效面电流对矢量磁位的贡献 面电流密度为 0 n nΓ × = −= −× µ eB KeH 右端第 3 项，面积分是场域边界上等效面磁偶极子对矢量磁位的贡献 面磁偶极矩为 0 n Γ × = − µ eA m 右端第 4 项，面积分是场域边界上等效面标量源对矢量磁位的贡献 面标量源密度为 0 n MΓ σ= − µ eA 关于不同边界面源改变场矢量和矢量位的衔接条件： 若域内外媒质相同，在边界处施加面源，设域内为B、A,域外为′B、′A，则 1、施加面电流源，则有 00 () () nn n ′×−× ′×−=== − µµ eBBeB eHHK， 由此得到0 n ′×=eB，′B切向为零 2、施加面磁偶极子源，则有 0 () nnΓ ′×−= µ= −×eAAmeA， 由此得到0 n ′×=eA，′A的切向分量为零 3、施加面标量源，则有 0 () nMnΓ ′− = µ σ= −eAAeA， 由此得到0 n ′ = eA，′A的法向分量为零 在上述模型中，场域之外，不仅没有场量，位函数也没有 面标量源产生矢量磁位，相当于面电荷产生电场强度，电场强度的旋度为零，因 此这部分矢量磁位的旋度也为零，这部分源产生的磁感应强度为零。

标量源 MΓ σ是A的源，而不是B的源 6、矢量磁位的边界积分方程、矢量磁位的边界积分方程 光滑边界上矢量磁位的边界积分方程： 0 22 11 d[()]d[()]d[()]d 24444 RR nnn RRRR ΩΓΓΓ µ =Ω−×Γ−××Γ−•Γ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ Jee AeBeAeA  进一步探讨 若场点在场域之外，则 0 22 1 0d[()]d[()]d[()]d 4444 RR nnn RRRR ΩΓΓΓ µ =Ω−×Γ−××Γ−•Γ ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ Jee eBeAeA  若在场域之外仍用上述模型计算，得 0 22 1 d[()]d[()]d[()]d0 4444 RR nnn RRRR ΩΓΓΓ µ =Ω−×Γ−××Γ−•Γ = ππππ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ Jee AeBeAeA  验证了边界上面源造成场矢量和矢量位不连续的跳跃数值 7、进一步探讨、进一步探讨 面磁偶极子源，磁偶极矩方向在切向，因此可以看做两层面电流构成面电 流密度为±K间距为d，则当0d →时，有 n d Γ ×=eKm，而d区间的磁感应强度 为 0 0n d Γ µ µ×= m eK，磁通为 00n d Γ µ×= µeKm ， 而磁通又可表示为() n ′×−eAA， 因此有 0 () nnΓ ′×−= µ= −×eAAmeA。

什么样的电流产生的矢量磁位满足库仑规范？ 把矢量磁位看做直角坐标系三个分量之和， 各个分量直接从标量格林定理推 导矢量积分公式： 0 2 1 d[()]dd 444 Rn VSS VSS RRnR µ∂ =+− ππ∂π ∫∫∫∫∫∫∫ JeeA AA   这个积分公式与前面的积分公式，是什么关系？ 。