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1第一章 函数 第一章 函数 本章作为本课程的学习准备，先介绍函数这个基本概念，它是微积分研究的主要对象 第一节 集合 第一节 集合 1、集合的定义 1、集合的定义 集合又称集， 是指具有某种性质的具体的或者抽象的对象汇集成的总体 这些对象称为该集合的元素 我们通常用大写的字母如?,,,,TSBA表示集合， 而用小写字母如?,,,,yxba表示集合中的元素 若x是集合S的元素，称x属于S，记为Sx∈ 若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为Sy∉或Sy∈ 全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母+N、Z、Q和R来表示 表示集合的方式通常有两种一种是枚举法，就是将集合的元素逐一列举出来的方式 例如，光学中的三基色可以用集合{}红、绿、蓝表示 表示由dcba、、、四个字母组成的集合A可用{}dcbaA、、、=表示 另一种表示集合的方式是描述法 设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：{}PxxS具有性质= 要注意的是，集合中的元素之间并没有次序关系，也就是说，在集合的表示中，同一元素的 重复出现在不同位置上出现不具有任何特殊意义。

例如，{}ba、、{}cba、、和{}ab、表示的同一个集合 有一类特殊的集合，它不包含任何元素 例如，{}012=+∈xRxx且 我们称之为 空集，记为φ 要注意，空集并不由于其内部空空如也而失去存在的价值，如在集合{}红、绿、蓝中选取某些基色进行配色，三种基色都不选显然也同样是一种重要的配色方案，所以，空集具有很 实际的意义 设S、T是两个集合，如果S的所有元素都属于T，即 TxSx∈⇒∈ 其中符号“⇒”称为“蕴含” ，即表示由左边的命题可以推出右边的命题则称S是T的子集，记为TS ⊂例如，对于整数集+N，整数集Z，有理数集Q与实数集R，成立 2RQZN⊂⊂⊂+ 显然，对任何集合S，都有与φ⊂S 如S中存在一个元素x不属于T，即TxSx∉∈但,那么S不是T的子集，记为TS ⊄如：{}012=+xx⊄+N 例 1、设{},,,cbaT =则T有如下32个子集 φ； { }a、{ }b、{ }c {}ba、、{}cb、和{}ac、； {}cba、、； 对于上面的例题中的结论可以推广 若S是一个含有n个元素的有限集合， 则S恰有n2个子集我们可以这样引人一个新的概念：任意给集合X，它的子集之全体构成的集合，称为X的幂集，记为X2。

如果TS ⊂,但是在T中存在一个元素Sx∉，即TS ⊂，但是在T中存在一个元素Sx∉， 即ST ⊄,则称S是T的一个真子集 如果两个集合S与T里面的元素完全相同，则称集合S与T相等，记为TS =显然， TS=STTS⊂⊂⇔且 其中符号“⇔”称为“当且仅当” ，即表示由左边的命题与右边的命题相互“蕴含” ，即两 个命题相互等价 2、实数的集合 2、实数的集合 本课程中最经常用到的是实数的集合 称集合{}bxaxba=0, 10, 00, 1sgnxxxx它的定义域是),,(∞−∞=D值域是}1 , 0 , 1{−=R 例 10、 “整数部分”函数[ ]Znnxnnxy∈+0 且1≠a） 例 5、证明)1(logsin)(2xxxxfa++=是偶函数（a>0 且1≠a） 2、函数的周期性 2、函数的周期性 定义 2 设函数)(xfy =的定义域为 A，若0>∃l,Alx∈+∀，有)()(xflxf=+则称)(xfy =为周期函数，数l为)(xf的周期不难证明数l为)(xf的周期，则kl也为)(xf13的周期， 因此我们所说的周期函数的周期都是最小正周期 如： 函数xyxycossin==、是以 2π为周期的周期函数、函数xyxytancot==、是以π为周期的周期函数。

例 6、设函数)(xfy =是以ϖ为周期的周期函数，试证明函数)0)((>=aaxfy是以aϖ为周期的周期函数 例 7、证明：)(xfxxsin+=、2sin)(xxf=不是周期函数 注意：)(xfy =为周期函数， 但是未必有最小的周期 如 ⎩⎨⎧==无理数有理数、xxxDCxf, 0;, 1)()( 3、函数的单调性 3、函数的单调性 定义 3 设函数)(xfy =的定义域为A，若21,xx∀A∈,当21xx ）称函数)(xf在 D 严格增加（严格减少） 上述不等式改为)()(21xfxf≤（)()(21xfxf≥） 称函数)(xf在 D 单调增加 （单调减少） 例 8、数列{ }! n、 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ −nn1、 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧−21 n都是严格增加；数列 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ n1、{}n−、 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ +nn1都是严格减少数列 例 9、幂函数αxy=，当α>0 时，在区间（0，∞+）严格增加；当αa时，在 R 严格增加；当101，在区间), 0(+∞严格增加；当10∃)(,, 0有，则称函数)(xfy=在 A 有界； 若bxfAxRb≤∈∀∈∃)(,,有，则称函数)(xfy=在 A 有上界； 若axfAxRa≥∈∀∈∃)(,,有，则称函数)(xfy=在 A 有下界； 14总结：函数值的集合{}AxxfAf∈=)()(有上界（有下界、有界） ，则称)(xf在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称)(xf在 A 无上界（无下界、无界）数学语言叙述如下： 函数)(xfy =在 A 无上界 bxfAxRbbb>∈∃∈∀)(,,有 函数)(xfy =在 A 无下界 axfAxRaaa∈∃>∀)(,, 0有 例 14、xyxycossin==、在R有界。

例 15、xarcyxycotarctan==、在有R界 例 16、证明：数列有界与 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ +⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+ n1 2) 1(1nn 例 17、证明：指数函数) 10(≠==xxxgu是否可以复合 注意：gf?是函数的一种复合运算 一般，fggf??≠例如： 设2)(,sin)(xxgxxf==但是这算满足结合律即hgfhgf????)()(= 2、反函数 2、反函数 在圆的面积公式中，rS2π=中，r是自变量，面积 S 是因变量，即对于[), 0+∞∈r，对应唯一的面积 S反之对于[)+∞∈, 0S，按照这个对应法则，也对应唯一的半径r，即πSr =，函数πSr =就是rS2π=的反函数 定义 2、)(xfy=定义域XDf=,值域YRf=,若f是11−对应)()(,2121xfxfxx≠≠∀ 则fRy∈∀，∃唯一的fDx∈与之对应使得yxf=)(，这是由fR到fD的新的对应关系，称为函数)(xfy =的反函数，表示为fRyyfx∈=−),(1 定理（反函数存在定理）若)(xfy=在 A 是严格单调函数，则存在反函数 讨论：反函数)(xfy =、fRyyfx∈=−),(1的图像。

例 4、讨论幂函数αxy =)0(≠α 例 5、讨论指数函数xay =) 1, 0(≠>aa、对数函数xyalog=) 1, 0(≠>aa 例6 、 讨 论 三 角 函 数xyxyxyxycottancossin====、、、与 反 三 角 函 数xyarcsin=、xarcyxyxycotarctanarccos===、、 例 7、求函数122 +=xx y的反函数 注意：反函数存在定理的条件是充分而非必要的 例 8、求函数 ⎩⎨⎧ aa 对数函数：xyalog=) 1, 0(≠>aa 三角函数：xyxyxyxycottancossin==== 反三角函数xyarcsin=、xarcyxyxycotarctanarccos===、、 由基本初等函数经过有限次的四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数例如xeyxxy xxybaxyxaarctan,cos1sin, 1)1 (log,22+=+= ++=+=−等等都是初等函数，这构成我们微积分研究的主要对象 2、2、两个常用不等式两个常用不等式 1、 （三角不等式）bababaRba+≤+≤−∈∀,, 2、（平均值不等式）021≥naaa…、、有naaan+++?21nnnaaanaaa1112121 ?? ++≥≥ 等号成立当且仅当1a、2a、na、?全部相等。

17第二章 极限 第二章 极限 本章介绍极限这个基本概念，它是研究微积分问题的理论基础与主要的工具因此，本章的 内容将对整个微积分学习起奠基的作用 第一节 数列极限 第一节 数列极限 1、三个数列的引例 1、三个数列的引例 例 1、计算面积：求被抛物线2xy =和直线10==xy、所围成的图形的面积 )311 (21 31 6) 12() 1(11) 1(11)1(3112 3 12 321nnnnn nininnniAnininin−−=−−==−=−=∑∑∑−===这种想法其实并不是新鲜的东西，古希腊人早有所领悟，我国魏末晋初时期的数学家刘徽， 在其所详细整理过的《九章算术》 （公元 263 年）中，创立的“割圆术” ，就是用这种数学思 想来计算圆的面积刘徽说： “割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆合 体而无所失矣 ”这种思想虽简单而朴素，但却孕育了微积分的一个重要部分：积分学 例2、 无穷级数 古人云： “一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”这是科学的见解但是，这样取下去，取下的 总量是多少？直观的看，这个总量应该是 ??+⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛++⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛+⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛+n21 21 21 2132尽管相加的项有无限多个，但是它们的和却是有限的。

无独有偶，早在公元前 450 年，古希腊有一位叫 Zeno 的哲学家，曾经提出过几个悖论向古 代数学挑战，一度造成古希腊数学的危机下面的“Achilles（希腊神话中的英雄）追赶乌 龟”为其中较为著名的一个 设乌龟在 Achilles 前面1S米处向前爬行，Achilles 在后面追赶，当 Achilles 用了1t秒时间，跑完1S米的时侯， 乌龟已经向前爬行了2S米; 当 Achilles 用了2t秒时间， 跑完2S米的时侯，乌龟又向前爬行了3S米……这样的过程可以一直继续下去，因此 Achilles 永远也追赶不上乌龟 显然，这个结论是有悖于常识，是绝对荒谬的事实上，如果将时间?、、21tt或者跑过的路程?21SS、加起来，即??++++nttt21或??++++nSSS21尽管相加的项有18无限多个，但是它们的和却是有限数 T 或 SZeno 的诡辩之处在于把有限的时间 T 或路程S 分割成无穷段?、、21tt或?21SS、，然后加以一段一段的加以叙述，造成一直永无止境的假象 这里，我们遇到了求无限个数相加的问题合理的做法是先算出它的前n项的和：nnaaaS+++=?21，再考虑∞→n时，nnaaaS+++=?21的值。

例 3、方程的解，由于a是方程02=−ax的正根，我们的问题是如何求a的近似值 取a的一个近似值00>x，第一步：求⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛+=00121 xaxx，其结果更加靠近a 事实上， axaxax−⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛+=−00121)(21)(2102 0 0axaxx−≤−= 这个表达式告诉我们：无论取初值0x如何，第一次的近似值1x是过剩近似值，不妨设0x是过剩近似值即()ax ≥0，则a的距离至多是初值0x到a的距离的一半 重复施行上述步骤， 便可以产生数列??,,,,210nxxxx其中)(2111+−−∈⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛+=Nnxaxxnnn由于， ())(21)(21 2100221axaxaxaxnnnn−≤≤−≤−≤−≤−−? 这个表达式告诉我们：对于充分大的n，数nx与a的距离要多小就可以有多小 例如，求2的近似值，取初值0x=2，反复迭代的结果是： ,41421356. 1,4142566。