2022年孤立子及孤子方程读书笔记.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 孤立子与孤子方程一、 孤立子的讨论历史1834年,英国 Scott. Russell偶然观测到一种神奇的水波：一条在狭窄河道的船被两匹马拉着前进； 突然,船停了下来, 河道内被船体 带动的水团并未停止, 他们集合在四周猛烈第扰动着, 然后出现一个长度约 30英尺,高约 1～1.5 英尺的滚圆而平滑的庞大孤立波峰,以每小时约 8～9 英里的速度向前推动了 1～2英里, 最终最终消逝在逶迤的河道中；Russell 认为他观测到的是流体运动的一个稳固解,并称之为“ 孤立波” ；但是, Russell 并未能胜利证明并使物理学家信服他的观点；1895年,荷兰数学家 Korteweg和他的同学 de Vries 在长波近似和小振动的前提下,建立了单向运动方程t3gx〔12+2+122〕2l233x讨论了浅水波的运动, 〔KdV〕：其中为波峰高度, l 为水深, g 为重力加速度,、均为常数；通过求解该方程,得到了与 了孤立波的存在；Russell 描述一样的孤子解,从而从理论上证明然而,孤立波的稳固性并未得到解决 ,以及两个孤立波的碰撞后是否会被破坏？（非线性方程不满意叠加原理,人们担忧碰撞可能会破坏孤子解）；由于担忧孤立波“ 不稳固” 从而没有太大物理意义,孤立波的讨论并没有大规模开展；1955年,物理学家 Fermi,Pasta, Ulam非线性振子试验；将 64个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦； 初始时能量集中在一个质点上, 期望经过相当长时间后非线性作用会使能量均分、各态历经等现象显现；结果发觉,经过相对长时间后, 几乎全部能量又回到了初始分布； 后来Toda讨论类似的问题－－晶体内部非线性振动时得到孤立波解,该现象才得以说明；1962年,Perring 和Skyrme（Nucl. Phys. 31,550）讨论基本粒子模型的sin-Gordon 方程,得到该方程孤立波解的解析解, 并发觉该解具有弹性碰撞 的特点,即碰撞后两个孤立波解也保持有原有的外形和速度；1965年,美国物理学家 Kruskal 和Zabusky〔Phys.Rev.Lett. 15,240〕 用数值；模拟方法讨论了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程,进一步证明了孤立波相互作用后不转变波形的论断；由于这种孤立波具有类似与粒子碰撞不变的性质, 他们命名这种孤立波 〔Solitary Waves〕为孤立子 〔Solitons〕以后的二十多年, 孤立子理论的讨论蓬勃进展,讨论和应用的领域包括： 流名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 体物理、固体物理、基本例子物理、 等离子体物理、 凝结态物理、超导物理、激光物理、生物物理等；二、 孤立子的定义及特点孤立波及孤立子定义通常我们把非线性进展方程的局部行波解 ,成为“ 孤立波” ；所为局部,是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定常数的情形； 我们把这些稳定的孤立波, 即通过相互碰撞后的、 不见消逝而且波形和速度也不会转变或者只有柔弱转变的孤立波称为“ 孤立子” ；孤立子一般具有以下特性（1）空间局域化（能量比较集中于一个局域）；（2）单个孤子是一个行波解；（3）他们是稳固的；（4）两个孤子相互作用时显现弹性散射现象 （即波形和波速能复原到原状） ；孤立子的外形对于一大批非线性的波动方程和方程组,它们的孤立子一般具有如下四种形状,分别叫做钟型（ a）、蜗旋型 〔b〕 、扭结型 〔c〕 、反扭结型 〔d〕 ：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、 几类经典的孤子方程具有孤立子解的方程称为孤子方程；本节叙述一些孤子方程与孤子解,这些孤子解具有弹性碰撞的特性；（1） Korteweg-de Vris 方程（ KdV方程）Korteweg-de Vris 方程的一般形式为：t x xxx 0其中 可正可负；该方程可以看成是色散方程与一个非线性方程的叠加：1、考察一个具有色散的线性波动方程：txxx0该方程的解具有如下形式：kkkt〕]k3k0exp[ 〔 i kx其中k为常数,不同的重量以不同的速度传播,这种现象称为色散；因此,一个由多个k组成的脉冲随着它向前传播将会散开；2、另一方面,没有色散的非线性方程：tx0f xct〕,c该方程具有形式解：脉冲的不同点的速度不同,于是脉冲向前传播时因挤压变形：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对一些特别的具有色散的非线性方程（例如 Korteweg-de Vris 方程）,如由于非线性引起的脉冲的挤压与由色散引起的扩展相互抵消,就可以使行波保持一个永久的外形,从而得到孤子；KdV方程具有孤立子解：〔 , 〕12a2sec h2[ 〔 a x4 2 a txx0〕]a x 为常数,sechx2〔exe〕1；该孤立子解具有以下空间外形：KdV方程描述了弱非线性、 弱色散系统,包括浅水波、 等离子体中离子声波,磁流体动力学波等；一些相当广泛的弱非线性相互作用下的波动方程组,他们都可以归结为 KdV方程；（2） 非线性薛定厄（ Schr.dinger ）方程非线性薛定厄（ NLS〕方程为：i 其中xx||20〔 , 〕 x t 为复函数NSF方程的孤立子解具有如下形式：=0sec [20〔xat〕]exp[ia 2〔xbt〕]’的速度；其中 a b 分别是‘envelope ’和‘carrierNSL方程描述了具有弱非线性和强色散系统,例如：深水波,光纤中信号的传播和流体中的涡旋 〔Vortices〕等；一个负常曲率曲（3） sine-Gordon 方程 sine-Gordon 〔sG〕 方程第一是在微分几何学显现的,面对应于 sine-Gordon 方程的一个非零解； sG方程用于讨论基本粒子的运动,也经常用在晶格错位等系统；该方程的形式为：名师归纳总结 xxttsin第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sG方程具有三种基本的孤立子解：（a） 扭结解：4tan1{exp[〔xctx0〕 /x 0〔1c2〕]}2〕]}（b） 反扭结解：4tan1 {exp[〔xct〕 /〔1c（c） 吸引子解：名师归纳总结 1 4 tan {〔tana〕sin[〔cosa tt0〕]sec [〔sina〕〔xx0〕]第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于 sG方程的解,我们给出一个简洁的力学图象：对于 sG方程 ：xxttsinct c 为常数的粒子在在势场假定其解具有行波解的形式：〔 , 〕〔 〕,x代入 sG方程,得到：〔1c2〕sinVm〔1c2〕其中V1cos将看成振幅,看成时间,上述方程对应于一个V〔 〕中的运动；四、求解孤子方程的孤立子解给定一个非线性方程, 一般情形下,没有一般的方法知道它是否存在孤子解,或如何来查找孤子解；以下是一些胜利应用一些特别系统的方法：（1）反散射方法（2）Backlund 变换名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）Hirota 方法（4）数值方法（可适用于不行积系统）这里不做具体介绍；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页。