第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明.doc

第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明（第课时）三角式的化简与恒等式证明 升 次 与 降 次角 的 配 凑 玉 拆 项异 角 化 同 角异 名 化 同 名切 割 化 弦常 用 的 证 明 方 法条 件 等 式 证 明恒 等 式 证 明证 明 化 简 的 常 用 方 法对 化 简 结 果 的 要 求化 简重点：三角恒等变换难点：灵活运用公式能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明运用三角函数关系式和诱导公式化简证明高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换，难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握1．化简⑴ 对化简结果的要求①能求出值的要求出值；②使三角函数种数尽可能少；③使项数尽可能少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数注意：某些化简题的答案可能不止一种例如化简 的结果就可能有两种： 或 x2sin53xcos24)3cos(2x，它们都是对的，很难说哪一个更简单⑵ 化简常用的方法在化简中，常用的方法有：切割化弦，异名化同名，异角化同角，角的配凑，拆项，降次与升次等例 1．化简 )4(sin)ta(21co2神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！解：∵ ，∴ ，2)4()( )4cos()4sin(∴ 原式 12cos)2sin(c)()i(2)(co)tan(2s  。

点评：本题使用了切割化弦的方法2．证明⑴ 证三角恒等式证三角恒等式时，先观察左右两边：①是否同名函数？②是否同角函数？③次数是否相同？④是繁还是简？⑤是和差还是积？然后再选择解题途径如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名） ，如下面的例 3；如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式， （异角化同角） ；如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次” ；一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简） ，如例 2，如果两边都繁，则变两边（左右归一） ，如例 4；有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项例 2．求证： 3cotse1cosin分析：此题同角不同名，不同次，左边繁故试从左边往右边变，并把 、 都变sec为 、 sin证明： sin)co1(csincos1is1insecco1si 332tini)s(i例 3．求证： 266 s3co(sin1分析：此题同角，不同名，但只有正弦和余弦，左边 6 次，右边 4 次，左边繁故试从左边往右边变，并把“1”改写为“ ”2si证明：左边 )co(n)(i 632 )cos(sinsi3cosn 66422466 右边2sii3证毕。

例 4．已知 ，027求证： . 222 cos1inta)cos1)((secco1s 分析：此题同角不同名，两边都繁，故两边都变证明：左边 0sinta1sintasintasinitansit22   右边 ，01)cot(tan1cottan1sicotan122  ∵ 左边=右边∴ 结论成立例 5．求证： 410cos3sin证明：左边 10cosin2i3ii 42i)(10cosin2330s ∴ 结论成立点评：本题用三角函数值来替换数字本题也可以直接利用公式 ，其中 ， )si(cossin2xbaxba abtrco0⑵ 证三角条件等式证三角条件等式可以先把结论化简再代入条件，也可以直接把条件变形得出结论例 6．已知 ， ，求证：)s(b)sin(2)(cos22ab证明：由 可得 ①co asincos由 可得 ②in isi①× + ②× 得 ③s co)(nb①× - ②× 得 ④i sis③ +④ 得 。

2 )in(2)(cos22ab点评：本题直接把条件变形得出结论1 2 3 4 5 6 7 8切割化弦 √ √ √异名化同名 √异角化同角 √角的配凑 √拆项 ●降次与升次 √左右归一 √ √用三角函数值替换数字 √ √ √能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！1．化简 （ ） cos1cs36027解法一：∵ ，∴ ， ，36027in1cos原式  222 in)(si)1(s)(os)( cotinic1in解法二：∵ ，∴ ，36027805原式 sinco1si)2ta(t1cos1cs cotinsin)()( 点评：解法一中要注意， 在第四象限，故 ；解法二中也要注意 的范sini22围，以便使用半角公式 时，好确定是取正号还是负号cos12ta2．求证： 435tgt证明：左边 ,2sin85co3sinco5sin3coi5sin 右边 ,i2i42i44∵ 左边=右边∴ 原式成立点评：本题使用切割化弦、异角化同角、左右归一3．求证： 。

340340tgtgt证明：左边 21)(2ttt右边360401tgtg∴ 原式成立点评：本题把数值用三角函数来代替4．求证： tgAA1sinco22证明：左边 )sin)(cosin(co)sin)(co(2AA 右边tgAAA1cosinisincoi∴ 原式成立点评：本题把数值用三角函数来代替（利用变形 ） 22cossin5．求证： 2sin432tgc证明：左边 2sincosicosincocsi1 22442424 t右边 ，insino3∵ 左边=右边∴ 原式成立点评：本题使用左右归一、切割化弦、异名化同名6．求证： 4172cos36证法一：左边 右边  4136sin36sin27co36incsi证法二：左边 108)()s(右边 )5(4518si218i 2点评：证法一使用角的配凑；证法二使用 in7．求证 23cossin14466证明：左边 23cosin2in3si3cosin)(i 244442 66  点评：本题使用用三角函数值来替换数字、降次。