正多边形的面积计算.docx

正多边形的面积计算我们知道，正四边形(正方形)面积等于a2，正三角形的面积等于匝a2我不禁想到了：那么正五边形、正六边形呢？通过画图计算， 4我发现正六边形的面积公式比较容易推导， 而正五边形的则复杂一些如图是一个边长为a的正六边形连 接 AC,DF,过 B 作 BG ± AC o ・・・BG=a，ACW3a•・ S^ABC= 1AC・BG=亨a2・ S =室 a2 x 2 + a x V3a= 3^1 a2正六边形 4 2用类似的方法，我求得了正五边形 的面积公式，不过结果十分复杂我求 得 S 、,=(2 sin 54° cos 54° + sin54°sin72°)a2我想化简这个结果 通过观察公式sin 2a = 2 sin a cos a，我发现可以将2sin54°cos 54°化简为sin108°,即cos18°得到这个结果，我挺满意，又考虑能不能把sin 54° sin 72°也变成与cos 18°有关的形式经过尝试，我进行了以下变形：sin54°sin72° = cos36°cos18°,而又 有cos 2a = 2 cos2 a - 1 ,所以cos 36° cos 18° = 2 cos318° - cos 18°。

所以 2 sin 54° cos 54° + sin 54° sin 72° = 2 cos318°・ S = 正五边形2cos3 18°a2而利用黄金三角形，可以求得cos 18° =业也5虽然 4这是根式的形式，但是代入原式会异常复杂，还不如三角函数的表示形式简明我又想有没有能够适用于所有正多边形的公式，而不用屡次尝试 化简三角函数很快，我找到了一个普遍适用的新 方法作出该正多边形的中心连接 OB,OC，过作OE^BC设该正多 边形为正n边形，边长为a・・OB=OC, 』BOC=迫,.・. BE=CE=a)BOE= 180° n 2 n・•・ CF= BE = a tan zBOE 2 tan180°nS正多边形=2na'土 =兀焉产发 nn现了这个结论，我很高兴，将n=3,n=4,n=6逐一带入，都与之前的结 果相符这时，我又联想到了圆圆可以看成正无数边形，那么圆的面积公式S =nr2与这个公式是否统一呢？我发现将边心距E= a 记圆 2tan180°n为h ,那么a= 2tan180h将其代入S 、广 七的a2得到nS =ntan180h2将这个公式与S =nr2类比，可得当正n边形变正多边形 n 圆数无限大时，ntan180就无限接近于n。

不过口七口1竺似乎不能化简而 nn我又想到了前面我用OE来近似表示半径 那如果用OB来表示呢？ 同样，我求得 OB=一土0°，记OB=h’，.•・a= 2 sin180°h’代入得 n:cos此无限接nCOS2 1竺近似nS正多边形=nsin纹cos182：h'2同上，当正n边形变数无限大时， nsin迎cos此也无限接近于n当ntan迎与nsin迎 n n n n近时，即有 tan 180 就 sin 180° cos 180°，又sina = tan a, n n n cos a等于1,即n无穷大这说明了该结论的正确性由图像可以看出，函数值无限接近食f(x) = x sin —cos- x xf(x) = nf(x) = xtan — n n。