三年级奥数之和、差与倍数的应用题.doc

和、差与倍数的应用题　　一、和差问题　　说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：大数=（和+差）÷2小数=（和-差）÷2　　会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.　　先看几个简单的例子.　　例1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？　　解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此　　数学得分=（95×2＋8）÷2＝99.　　语文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.　　答：张明数学得99分，语文得91分.　　注：也可以从 95×2-99＝91求出语文得分.　　例2 有 A，B，C三个数，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求这三个数.　　解：从B+C＝197与A+C＝149，就知道B与A的差是197-149，题目又告诉我们，B与A之和是252.因此　　B=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，　　A＝252-150＝102，　　C＝149-102＝47.　　答：A，B，C三数分别是102，150，47.　　注：还有一种更简单的方法　　（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）.　　上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和.　　A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此　　C＝299-252＝47，　　B＝299-149＝150，　　A＝299-197＝102.　　例3 甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？　　解：画一张简单的示意图，　　就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多　　5＋7＋ 5＝ 17（千克）　　因此，甲、乙两数之和是 75，差为17.　　甲筐苹果数=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.　　乙筐苹果数=75-46＝29（千克）.　　答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克.　　例4 张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？　　解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是 270元，差是 210元.　　外衣和鞋价之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.　　外衣价与鞋价之差是140，因此　　鞋价=（240-140）÷2＝50（元）.　　答：买这双鞋花50元.　　再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.　　例5 李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？　　解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有　　钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.　　晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.　　因此　　钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.　　现在已把问题转化成标准的和差问题了.　　钟停的时间=（160＋120）÷ 2＝ 140（分钟）.　　路上用的时间=160-140＝20（ 分钟）.　　答：李叔叔的钟停了2小时20分.　　还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：　　以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以　　上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）÷2＝20（分钟）.　　钟停时间=2小时 40分钟-20分钟　　=2小时20分钟.　　例6 小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？　　解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（张）.　　现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意　　1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.　　1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.　　从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是　　[21.4＋（21.4-3.2）]÷（1.5＋ 0.7）＝ 18（张）.　　因此，甲卡张数是　　（18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（张）.　　乙卡张数是 18-11＝ 7（张）.　　答：小明买甲卡11张、乙卡7张.　　注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.　　例7 有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是240厘米，大长形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？　　解：大长方形（A）的周长是原长方形的　　长×2+宽×4.　　大长方形（B）的周长是原长方形的　　长×4+宽×2.　　因此，240+258是原长方形的　　长×6+宽×6.　　原长方形的长与宽之和是　　（240＋258）÷6＝83（厘米）.　　原长方形的长与宽之差是　　（258-240）÷2＝9（厘米）.　　因此，原长方形的长与宽是　　长：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.　　宽：（83-9）÷2＝37（厘米）.　　答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米二、倍数问题　　当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.　　例8 有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.　　解：两堆棋子共有87＋69＝156（个）.　　为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子　　156 ÷（1＋3）＝39（个）.　　第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是　　87-39＝48（个）.　　答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.　　例9 有两层书架，共有书173本.从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书？　　解：我们画出下列示意图：　　我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本，即　　173-38-6＝129（本）　　恰好是3份，每一份是　　129÷3=43（本）.　　因此，第二层的书共有　　43×2 + 6＝92（本）.　　答：书架的第二层有92本书.　　说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.　　例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？　　解：设六年级学生人数是“1份”.　　男生是4份-23人.　　女生是3份+11人.　　全校是7份-（23-11）人.　　每份是（975+12）÷7＝141（人）.　　男生人数=141×4-23＝541（人）.　　女生人数=975-541＝434（人）.　　答：有男生541人、女生434人.　　例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？　　　　70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双？　　解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6（份）.400＋70将是 3+1＋6＝10（份）.每份是　　（400＋70）÷10＝47（双）.　　原有旅游鞋 47×4=188（双）.　　原有皮鞋 47×6-70＝212 （双）.　　答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双.　　设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.　　下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.　　年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变.　　例12 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？　　解：父女相差36岁，这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的（5-1）倍.　　36÷（5-1）＝9.　　当时女儿是9岁，14-9＝5，也就是5年前.　　答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍.　　例13 有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.　　解：画出下面示意图：　　我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.　　因此每份是　　（300-70）÷2＝ 115（立方米）.　　要注入的水量是　　115-70=45 （立方米）·　　答：每个水池要注入45立方米的水.　　例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.　　例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？　　解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份.　　题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是2＋1＝3（份）.　　今年，哥弟俩年龄之和是　　3＋2=5（份）.　　每份是 55÷5＝ 11（岁）.　　哥哥今年的岁数是 11×3＝33（岁）.　　答：哥哥今年33岁.　　作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.　　例15 父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁.　　问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？　　解：现在父母年龄之和是　　38＋ 36 ＝ 74.　　现在儿子年龄的 4倍是 11×4＝44.相差　　74-44＝ 30.　　从4倍来考虑，以后每年长1×4＝4，而父母年龄之和每年长1＋1＝2.　　为追上相差的30，要　　30÷（4-2）＝15（年）·　　答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍.　　请读者用例15的解题思路，解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一。