数学符号知识.docx

细心整理 欢迎下载加号和减号加减运算是人类最早把握的两种数学运算 ，且载于人类最早的文字记载中；古埃及的 阿默斯纸草书就载有加号（ Sign for Addition ）及减号（ Sign for Subtraction ）：向右走的两条腿“ ”是加号，而向左走的两条腿“ ”是减号；后者于莫斯科纸 草书中就表示“平方”；古希腊的丢番图以两数并列表示相加，偶 然亦以一斜线“∕”及曲线”“分别作加号和减号使用；古印度人一般不用加号，只有在 公元三世纪的巴赫沙里（ Bakhshali ）残简中以“yu ”作加及“＋”作减；中国古代因留意以工具运算，一般运算全 在算筹或算盘上进行，只记录其结果，因此并无采纳甚么数学符号，记录时用文字表达运算 ；十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以两数并列作加而以一特殊符号“ s ”作减号；法国人许凯（ 1484 ）、意大利人帕乔利（ 1494 ）及十六世纪大多数学家都以拉丁词语plus （加）与 minus （减）之首字母分别作加号（ 或 p ）和减号（ 或 m ）；十五世纪后廿年之德国人是最早使用现代 的加号“＋”与减号“－”；德国德累斯顿（ Dresden ）图书馆所储存之手稿卷 c.80〔1486〕 中便正式使用了“＋”、 “－”号；而最先于印刷的书内使用加号“＋”与减号“－”的是捷克人维德曼（ 1489 ）；从十五世纪末至整个十六世纪，意大利人 仍以 及 作加减号；到了 1608 年，德国人克拉维乌斯于罗马出版的 《代数》 一书内采纳了“＋”“－”号，意大利人才开头采纳这两符号，但到卡瓦列里时代已很熟练；此外，英国首个使用这两符号（ 1557 ）的是雷 科德，而荷兰就于 1637 年由胡克引入这两符号，同时亦传入其它欧洲大陆国家，后渐流行于 全世界；乘号乘法（ Multiplication ）亦是最早产生的运算之一，且显现于人类最早的文字记载当中；细心整理 欢迎下载中国古人及古希腊的丢番图都不用乘号（ Signs of multiplication ） ，但后者就以两数并列表示相乘（与加法相同）；印度的巴赫沙里残简中，把数排成 表示；排成表示 x x施蒂费尔于 1545 年出版的一本算术书内以大写字母 M 及 D 分别表示乘和除；斯蒂文 于 1634 年出版的书内亦采纳 了这符号， 他以 表示现在的 3xyz 2；这儿的 sec 及 ter 分别表示其次、三个未知数；韦达（ 1591 ）以 AinB 作为 A 与 B 的乘积；一些十五世纪的手稿及印刷品仍以并列表示相乘，如 6x ，5x 2 等，但必需有 字母才行，因 5 表示 5+ 而非 5x ，这记法至今仍沿用着；西方称“Ｘ’为圣安德鲁斜十字（ St. Andrews cross ）（因安德鲁为耶稣的十二门徒之一，传奇他被钉在十字架上处死），这 名称与数学全无关系；十六世纪出版的一些数学书就有 采纳这号，但开首并非现代用法，而是以它表示两个独立的 乘法运算，如以表示现在的 315172x174715 及 395903x295448 两个乘法；奥特雷德于 1631 年在其著作 《数学之钥》（clavis mathematicae ） 中首次以“”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行 ，沿用至今；莱布尼茨于 1698 年 7 月 29 日 给 Ｊ．伯 努利的一封信内提出以圆点“． ”表示乘，以防“”号与字母Ｘ相混淆；后来以“．”表示乘法的用法亦相当流行， 现今欧洲大陆派 （德、法、苏等国） 规定以“．”作乘号；其它国家就以“”作乘号，“”．为小数点；而我国就规定以“”或“”．作乘号都可，一般于字母或括号前的乘号可略去除号细心整理 欢迎下载1544 年，施蒂费尔于其出版的《整数算术》（ Arithmetica integra ） 中以一个或一对括号作除号（ Signs for division ），如以 8〕24 或 8〕24〔 表示 24 8 ；奥特雷德就以 a〕b〔c 表示 ba=c ；Ｊ． 马 洪（ 1701 年）就以 D〕A+B-C 表 示 〔A+B-C〕 D ； 至 1545 年， 施蒂费尔又改以大写德文字母 D 表示除（ Division ），其后，斯蒂文亦采纳了这符号，他以表示 ，而戈里马德 （ 1751 年）就以反写字母 表示除， 如 12 4=3及 a2 b2 a2 ；另外，昆尼亚于 1790 年出版的《数学原理》中，以平放的 小写字母 表示除；现今之除号“”称为雷恩记号（Rahns notation ），是瑞士人Ｊ．Ｈ．雷恩于 1659 年 出版的一本代数书中引用为除号； 至 1668 年，他这本书之英译版面世， 这记号亦得以流行 ，沿用至今； 此外，莱布尼兹于他的一篇论文《组合的艺术》“ Dissertatio de arte combinatoria ”内首以冒号“：”表示除，后亦渐通用， 至今仍采纳；等号相等（ equal ）是数学中最重要的关系之一；等 号（ Sign of Equality ）之显现与方程有关，数学于萌芽 时期已有了方程的记载，因此亦有了表示相等关系的方法；“方程”的概念早于中国古代已显现，但它是 以“列表”（算筹布列）的方法解之，并不需等号，而书写时就以汉字“等”或“等于”表示；阿默斯纸草书 中以“ ”表示相等；丢番图就以“ ”或间中以“”为等号；巴赫沙里残简中以相当于 pha 的字母为等号；到了十五世纪，阿拉伯人盖拉萨迪以“ ”表示相等；雷格蒙塔努斯就以水平 之破折号“──”为等号，如 表示 x 2+3x=30 ；帕乔利亦以破折号为等号， 但 较长且记于数字之下，如 表示x 2-y 2 =36 ；雷科德于 1557 年出版的《砺智石》一书中 ，首次采纳现今通用之等号“＝”，因此这符号亦称为雷科德符号（ Recordes sign ）；不过，这符号之 推广很缓慢，其后的闻名人物细心整理 欢迎下载如开普勒、 伽里略与费马等人常以文字或缩写语如 aequals, aeqantar, ae, esgale 等表示相等； 1637 年，笛卡儿仍以“＝” 表示现代“”号之意，而以“ ”为等号；直至十七世纪末期，以“＝”为等号才被人们所接受 ，并渐得通用；不等号不等号（ Sign of inequality ）是用以表示两个量数之间大小关系的符号；现在常用的有 “≠”（不等号）、“＞”（大于号）及“＜”（小于号）；１６２９年， 在法国数学家日纳尔的代数教程里， 用 “ＡffＢ”代表Ａ大于Ｂ， 以及用“Ｂ ξＡ”代表Ｂ小于 Ａ； １６３１年，英国闻名的代数学家哈里奥特（１５６０－１６２ １）在其出版的数学著作中，第一创用了“＞ ”（大于号）及“＜”（小于号），但未被实时采纳；同时期的英国数学家奥特雷德（１５７０－１６６０）亦发 明白以“ ”表示大于，以 “ ”表示小于的符号，这种符号，至十八世纪仍被采纳；至近代，“＞”及“＜”分别表示大于及小于的符号，逐步被统一及广泛采纳；并以“ ”“”及“≠”来表示为大于、小于及等于的否定号；“大于”和“小于”符号英国人哈里奥特于 1631 年开头采纳现今通 用之“大于”号＞及“小于”号＜，但并未为当时数学界所接受；直至百多年后才渐成标准 之应用符号；1655 年沃利斯曾以 表示“等于或大于” ，到了 1670 年，他以 及 分别表示“等于或大于”和“等于或小于”；据哥德巴赫于 1734 年 1 月写给欧拉的一封信所述，现今通用之≧ 和≦符号为一法国人Ｐ．布盖（ 1698-1758 ） 所第一采纳；然后逐步流行；细心整理 欢迎下载庞加莱与波莱尔于 1901 年引入符号 << （远 小于）和 >> （远大于），很快为数学界所接受，沿用至今；括号括号﹝bracket ﹞是用来规定运算次序的符号；括号主要分为四类，包括大括号「 { }」、中括号「 [ ] 」、小括号「 〔 〕 」以及比较少用的括线「─」；最早显现的括号是小括号「 〔 〕」，于 1544 年显现；直至 17 世纪，中括号「 [ ] 」才显现于 英国瓦里斯﹝1616 ─1703 ﹞的著作中，至于括线就由 1591 年韦达﹝1540 ─1603 ﹞第一采纳，而大括号「 { } 」就约在 1593 年由韦达第一引入；至 1629 年，荷兰的基拉德采纳了全部括号， 18 世纪后始在世界通用；分数符号分数分别产生于测量及运算过程中； 在测量过程中， 它是整体或一个单位的一部份； 而在运算过程中，当两个 数（整数）相除而除不尽的时候，便得到分数；其实很早已有分数的产生， 各个文明古国的文化也记载有关分数的学问； 古埃及人巴比伦人亦已有分数记号， 至于古希腊人就用 L" 表示 ，例如：αL"=1 ， βL"=2 ，及 γL"=3等；至于在数字的右上角加一撇点「 ’」，便表示该数分之一；至于中国，很早就已采纳了分数，世上最早的分数争论显现于《九章算术》，在《九章 算术》中，有系统的讨 论了分数及其运算；（《九章算术》「方田」章「大广田术」指出：「分母各乘其余，分子从之；」这正式的给出 了分母与分子的概念）；而古代中国的分数细心整理 欢迎下载记数法，分别有两种，其中一种是汉字记法，与现在的汉字记数法一样 ：「 分之 」；而另一种是筹算记法：用筹算来运算除法时，当中的 「商」 在上， 「实」（即被除数） 列在中间， 而「法」（即除数）在下，完成整 个除法时，中间的实可能会有余数，如下列图，即表示分数 ；在公元 3 世纪，中国人就用了 这种记法来表示分数了；古印度人的分数记法与中国的筹算记法是很相像的， 例如 ； 在公元 12 世纪，阿拉伯人海塞尔最先采纳分数线；他以 来表示 ；而斐波那契 是最早把分数线引入欧洲的人； 至 15 世纪后， 才被逐步形成现代的分数算法； 在 1530 年 ，德国人鲁多尔夫在运算 + 的时候，以 运算得 ，到后来才逐步的采纳现在的分数形式；1845 年，德摩根在他的一篇文章「函数运算」（ The Calculus of Functions ）中提出以斜线「 /」来表示 分数线；由于把分数 以 a/b 来表示，有利于印刷排版，故现在有些印刷书籍也有采纳这种 斜线「 /」分数符号；比例号细心整理 欢迎下载比例号（ sign of proportion ）是用来表示比例关系的记号，现代常用的比例号“：”是由 １７世纪德国数学家莱布尼兹 （１６４６－１７１６）所创立的；而这样的比例号亦曾出 现于１７６０年法国人克雷罗（１７１３－１７６５）所出版的书内；小数符号中国是最早采纳小数的国家；早于三世纪，刘徽注《九章算术》的时候，已指出在开方不尽的情形下，可以十进分数（小数）表示；在元朝刘瑾（约 1300 年）所著的《律吕成书》中更把现今的 106368.6312 之小数部分降低一行来记，可谓是世界最早之小数表达法；除中国外，较早采纳小数的便是阿拉伯人卡西；他以十进分数（小数）运算出π的 17 位有。