高考数学考点拾分培优讲义-第5讲 复合函数的不动点基本分析策略.docx
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第5讲 复合函数的不动点基本分析策略在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，那么我们就称该函数为“不动点”函数.在教学复合函数时，往往要涉及到不动点问题，在实际教学过程中，本知识点讲解不透彻或者不到位的情况较常见，导致学生学得云里雾里，半懂不懂的.本专题就这个知识点位系统归纳复习.一、 函数的不动点1.定义：已知函数 , 若存在 , 使得 ，则称为函数 的不动点.不动点实际上是方程组 的解 的横坐标， 或两者图象的交点的横坐标.当然, 这个方程组根据函数 的不同，可能有多解.例如 1: 的解只有一个 ，故函数 有一个不动点 例如 2: 的解为 ，故函数 有两个不动点 二、函数的稳定点1.定义： 已知函数 , 若存在 ，使得 ，则称为函数 的稳定点.三、函数的不动点与稳定点的关系:1. 若为函数 的不动点，则必为函数 的稳定点.证明是非常简单的！因为 , 所以 , 即 , 故也是函数 的稳定点.例如 3: 设 , 令 , 解得 ；故函数 有一个稳定点 ，也是不动点.2. 函数的稳定点可以不是函数的不动点例如 4: , 令 , 因为不动点必为稳定点, 所以该方程一定有两解 ，由此因式分解，可得 还有另外两解 , 故函数 的稳定点有 其中 是稳定点, 但不是不动点.3.不动点是函数图象与直线 的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.4.若函数 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的.证明：若函数 有不动点，显然它也有稳定点 ;若函数 有稳定点 , 即 , 设 , 则 ，即 和 都在函数 的图象上,假设 , 因为 是增函数，则 , 即 , 与假设矛盾;假设 , 因为 是增函数，则 , 即 , 与假设矛盾;故 , 即 有不动点 .题型一内层定义域确定【典例1】设函数fx=ex+x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]解析：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b），其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]根据，化简整理得ex=x2﹣x+a记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1≤a≤e，即实数a的取值范围为[1，e]，故选A能力达标训练1.设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：因为函数在定义城内单增函数，所以有解等价于有解，故在上有解，令即，令则，；当时，，单调递增当时，单调递减∴，故实数的取值范围为.故选: C2.设函数（为自然对数的底数），若存在实数使成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：由题意可知,根据反函数定义可得,为的反函数所以存在实数使成立即等价于存在实数,使得与的图像有交点,且交点横坐标在根据为单调递增函数时,其反函数与的交点必在上因为为单调递增函数，即与有交点,且交点横坐标在，所以，则,令,易证为单调递增函数，所以，故选:B3.设函数（），若存在，使得，则a的取值范围为（ ）A． B． C． D．解析：因为,所以,因为与关于直线对称所以,因为,所以,即则,所以设,因为在上单调递增,所以因为存在,使得,所以故选:B题型二内层自变量是函数【典例2】设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【分析】将问题转化为方程，有解，两边平方转化为在有解，分离参数，令，利用导数求出的值域即可求解.解析：由为增函数可得，又可知，则问题等价于方程，有解，即在有解，分离参数可得令，，所以函数在上单调递增，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究方程的解，考查了等价转化的思想，属于中档题.【典例3】设函数，若曲线上存在点，使得成立，求实数的取值范围.【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.解析：当时，取得最大值当时，取得最小值即函数的取值范围为，若上存在点，使得成立则，.又在定义域上单调递增.所以假设，则（c），不满足.同理假设，也不满足.综上可得：.，.函数，的定义域为等价为，在，上有解，即平方得则设则由得，此时函数单调递增由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即（1），当时，（e），则.则.【典例4】已知，设函数，存在满足，且，则的取值范围是______.【分析】求得关于对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得的取值范围.解析：由于存在满足，且所以图象上存在关于对称的两个不同的点.（1）对于，交换得即构造函数（）所以的零点满足由得由得即，由于，所以解得.（2） 设，则M关于y=x对称的点在上由，得，则当时，①，两式相减，得，所以②将②代入①，得，又，所以令，则，，即，解得，综上，a的取值范围为.故答案为：能力达标训练4.设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：由题意可得，，曲线上存在点，使得存在，，使成立．函数在它的定义域内单调递增，下面证明．假设，则（c），不满足．同理假设，则不满足．综上可得：．则问题等价于方程，有解即在有解，分离参数可得令，∵所以函数在上单调递增，所以，所以.5.设函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：由曲线上存在点，使得可得，所以，即存在，使成立所以，即，令因为， 所以在上为增函数，所以，即所以，故选：D6.设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是( )A． B． C． D．解析：法一：由题意可得，而由可知，当时，＝为增函数∴时，．∴ 不存在使成立，故A，B错；当时，＝，当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．法二：显然，函数是增函数，由题意可得，，而由可知，于是，问题转化为在上有解．由，得，分离变量，得，因为，，所以函数在上是增函数于是有，即，应选D．7.已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）A． B． C． D．解析：由题意，曲线上存在点，使得所以．记，若，则所以，不满足，同理也不满足所以，所以，所以所以记则，记，因为所以在上单调递减，因为，所以时，因为，所以所以的最大值为故选：D.8.已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________．解析：曲线上存在点,.函数在上单调递增.下面证明.假设,则,不满足.同理假设,则不满足.综上可得:.令函数,化为 .令 ,.,函数在单调递增..的取值范围是.9.已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.解析：结合函数的解析式：可得：令y′=0，解得：x=0，当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减则当x=0时，取最大值，最大值为e，∴y0的取值范围（0，e]结合函数的解析式：可得：x∈（0，e），，则f（x）在（0，e）单调递增，下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c>y0则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c
