3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法.ppt

第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理 问题的提出：在前一章，我们介绍了能用初等方法求解的问题的提出：在前一章，我们介绍了能用初等方法求解的一阶方程的几种类型，但同时指出，大量的一阶微分方程是不一阶方程的几种类型，但同时指出，大量的一阶微分方程是不能用初等方法求出其通解的．另一方面，实际问题所需要的往能用初等方法求出其通解的．另一方面，实际问题所需要的往往是要求满足某种初始条件的解．因此现在我们把注意力集中往是要求满足某种初始条件的解．因此现在我们把注意力集中在在Cauchy问题问题的求解上．与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分的求解上．与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，我们往往用数值法求解（以后会学到的计算方法课程内方程，我们往往用数值法求解（以后会学到的计算方法课程内容之一）容之一） ．在用数值法求．在用数值法求Cauchy问题解之前，需要在理论上问题解之前，需要在理论上先解决下面两个基本问题：先解决下面两个基本问题：需解决的问题需解决的问题§§3.1 3.1 解的存在唯一性定理与解的存在唯一性定理与逐步逼近法逐步逼近法3.1.1 3.1.1 存在唯一性定理存在唯一性定理一、一、 定理定理1 1 考虑初值问题考虑初值问题证明证明思路思路(2) (2) 构造构造(3.3)(3.3)近似解函数列近似解函数列(1) (1) 初值问题初值问题(3.1)(3.1)的解等价于积分方程的解等价于积分方程的连续解的连续解. .( (逐步求逐步求(3.3)(3.3)的解的解,Picard,Picard逐步逼近法逐步逼近法) )由于由于即即下面分五个命题来证明定理下面分五个命题来证明定理, ,为此先给出为此先给出积分方程的解积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数含有未知函数, , 则称这样的关系式为积分方程则称这样的关系式为积分方程. .积分方程积分方程命题命题1 1 初值问题初值问题(3.1)(3.1)等价于积分方程等价于积分方程证明证明即即反之反之故对上式两边求导故对上式两边求导, ,得得且且构造构造PicardPicard逐步逼近函数列逐步逼近函数列问题问题: : 这样构造的函数列是否行得通这样构造的函数列是否行得通, , 即上述的积分是否有即上述的积分是否有意义意义? ?注注: :命题命题2 2证明证明 ( (用数学归纳法用数学归纳法) )证明证明 考虑函数项级数考虑函数项级数它的前它的前n n项部分和为项部分和为命题命题3 3对级数对级数(3.9)(3.9)的通项进行估计的通项进行估计于是由数学归纳法得知于是由数学归纳法得知, ,对所有正整数对所有正整数n,n,有有现设现设命题命题4 4证明证明即即命题命题5 5证明证明由由综合命题综合命题1 1——5 5得到存在唯一性定理的证明得到存在唯一性定理的证明. .一、一、 定理定理1 1 考虑初值问题考虑初值问题命题命题1 1 初值问题初值问题(3.1)(3.1)等价于积分方程等价于积分方程命题命题2 2命题命题3 3命题命题4 4命题命题5 5二、存在唯一性定理的说明二、存在唯一性定理的说明 为了保证方程为了保证方程(3.1)的初值解的唯一性，较为著名的常用的的初值解的唯一性，较为著名的常用的充要条件就是定理充要条件就是定理3.1中所给的中所给的LipschitzLipschitz条件条件.但这个条件却并但这个条件却并非非必要必要的！的！例例1 试证方程试证方程经过经过xOyxOy平面上任一点的解都是唯一的平面上任一点的解都是唯一的.证明证明故其通解为故其通解为但是，我们有但是，我们有从而方程的右端函数在从而方程的右端函数在y=0y=0的任何领域上并不满足的任何领域上并不满足LipschitzLipschitz条件条件这个例子说明这个例子说明LipschitzLipschitz条件并不是保证初值解唯一的条件并不是保证初值解唯一的必要条件必要条件．．三、一阶隐方程解存在唯一性定理三、一阶隐方程解存在唯一性定理定理定理2 2考虑一阶隐方程考虑一阶隐方程则方程则方程(3.5)(3.5)存在唯一解存在唯一解满足初始条件满足初始条件3.1.2 3.1.2 近似计算和误差估计近似计算和误差估计求方程近似解的方法求方程近似解的方法---Picard---Picard逐步逼近法逐步逼近法, ,这里这里注注 (3.19)(3.19)式可用数学归纳法证明式可用数学归纳法证明则则例例2 2 讨论初值问题讨论初值问题解的存在唯一区间解的存在唯一区间, ,并求在此区间上与真正解的误差不超并求在此区间上与真正解的误差不超解解由于由于由由(3.19)(3.19)例例3 3 求初值问题求初值问题解的存在唯一区间解的存在唯一区间. .解解例例4 4 利用利用PicardPicard迭代法求初值问题迭代法求初值问题的解的解. .解解与初值问题等价的积分方程为与初值问题等价的积分方程为其迭代序列分别为其迭代序列分别为取极限得取极限得即初值问题的解为即初值问题的解为作业作业P88 1,3,4,8(P88 1,3,4,8(思考思考) )。