1979年普通高等学校招生全国统一考试《数学》（理工农医类，全国卷）试卷.pdf

第 1 页 共 11 页19791979 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷全国卷) )数学（文、理工农医类）数学（文、理工农医类）1.1.若若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证求证:x,y,z:x,y,z成等差数列成等差数列. .2.2.化简化简: :3.3.甲甲、、 乙二容器内都盛有酒精乙二容器内都盛有酒精. .甲有公斤甲有公斤υυ1 1公斤公斤，， 乙有乙有υυ2 2公斤公斤. .甲中纯酒精与水甲中纯酒精与水( (重量重量) )之比为之比为m1:n1,m1:n1,乙中纯酒精与水之比为乙中纯酒精与水之比为m2:n2.m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少比是多少? ?第 2 页 共 11 页4.叙述并且证明勾股定理.5.5.外国般只外国般只, ,除特许者外除特许者外, ,不得进入离我海岸线不得进入离我海岸线D D以内的区城以内的区城. .设设A A及及B B是我们的观测站是我们的观测站,A,A及及B B间的距离为间的距离为S,S,海岸线是过海岸线是过A,BA,B的直线的直线. .一外国船在一外国船在P P点点. .在在A A站测得站测得∠∠BAPBAP= =αα, ,同时在同时在B B站测得站测得∠∠ABPABP= =ββ. .问问αα及及ββ满足什么简单的三角函数值不等式满足什么简单的三角函数值不等式, ,就应当向此未经特许的就应当向此未经特许的外国船发出警告外国船发出警告, ,命令退出我海城命令退出我海城? ?6.6.设三棱锥设三棱锥V-V-ABCABC中中, ,∠∠AVBAVB= =∠∠BVCBVC= =∠∠CVACVA= =直角直角. .求证求证: :△△ABCABC是锐角三角形是锐角三角形. .第 3 页 共 11 页7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.第 9 页 共 11 页取k=14.前14项的和解法二解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.9565>0,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.10.解法一解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.直线OA的方程为第 10 页 共 11 页y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,直线AB的方程为x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD│·│PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)即 x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.除以cos2θ(0≠)得(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即 x+2ycosθ=h.(Ⅱ)第 11 页 共 11 页由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴ 5y2cos2θ=x2sin2θ,由│ PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα)=xsinθ-ycosθ,│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.以下与上面的解法一相同。