地球椭球及投影理论.ppt

第四章第四章 地球椭球数学投影的基本理论地球椭球数学投影的基本理论14.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球地球椭球是选择的旋转椭球, ,旋转椭球的形状和大小旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数常用子午椭圆的五个基本几何参数( (或称元素或称元素):):• 长半轴长半轴ａａ• 短半轴ｂ短半轴ｂ• 椭圆椭圆的扁率的扁率• 椭圆椭圆的第一偏心率的第一偏心率• 椭圆椭圆的第二偏心率的第二偏心率 通常用通常用a , 2§为简化书写，还常引入以下符号椭球基本参数及其互相关系椭球基本参数及其互相关系34.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1、大地坐标系、大地坐标系大地经度大地经度B 大地纬度大地纬度L 大地高大地高H 42、、空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原点坐标原点位于总地球椭球位于总地球椭球( (或参考椭球或参考椭球) )质心；质心；Z Z轴轴与地球与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X X轴轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点道面的交点G G；；Y Y轴轴与此平面垂直，且指向东为正。

与此平面垂直，且指向东为正 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分 常用坐标系及其关关系常用坐标系及其关关系53、、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L，，在过在过P点的子午面上，以点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系在平面直角坐标系在该坐标系中，该坐标系中，P点的位置用点的位置用L, x, y表示 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系64、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P点的大地经度点的大地经度L，，在此子午面上以椭圆在此子午面上以椭圆中心中心O为原点建立为原点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系; 以椭球长半径以椭球长半径a为半为半径作辅助圆，延长Ｐ径作辅助圆，延长Ｐ２２Ｐ与辅助圆相交ＰＰ与辅助圆相交Ｐ１１点，则点，则OP１１与与x轴夹角称为轴夹角称为P点的点的归化纬度归化纬度u 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系7常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系5 5、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，是椭球面上一点，MN是过是过M的子午线，的子午线，S为连接为连接MP的大地线长，的大地线长，A为大地线在为大地线在M点的方位角。

点的方位角 以以M为极点；为极点； MN为极轴；为极轴； P点极坐标为（点极坐标为（S, A)8常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系4.2.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系•子午平面坐标系同大地坐标系的关系 9常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系 令令: pn=N10常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系l空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系11常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系 l空间直角坐标系同大地坐标系空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：在椭球面上的点：不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：12常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系l由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标13•B、、u、、 φ之间的关系之间的关系 §B和u之间的关系 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系14常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系n U、、φ之间的关系之间的关系n Ｂ、Ｂ、φ之间的关系之间的关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当过计算，当B=45°时时154.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线法截线。

Ÿ子午圈曲率半径16椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径17椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径18Ÿ卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈卯酉圈: :过椭球面上一点的法线，可作无限个法截过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈相截形成的闭合的圈称为卯酉圈 Ÿ 麦尼尔定理麦尼尔定理: : 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径19椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径20Ÿ卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈曲率半径的特点: : 卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径恰恰好好等等于于法法线线介介于于椭椭球球面面和和短短轴轴之之间间的的长长度度，，亦亦即即卯卯酉酉圈圈的的曲曲率率中中心心位位在在椭椭球球的的旋旋转转轴上。

轴上 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径21Ÿ主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以以上上讨讨论论的的子子午午圈圈曲曲率率半半径径M M及及卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径N N，，是是两两个个互互相相垂垂直直的的法法截截弧弧的的曲曲率率半半径径，，这这在在微微分分几几何何中中统称为主曲率半径统称为主曲率半径 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径22椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径23椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径2425Ÿ任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径26• 任意法截弧的曲率半径的变化规律: ＲＲＡＡ不仅与点的纬度不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法有关，而且还与过该点的法截弧的方位角截弧的方位角A有关 当Ａ＝０当Ａ＝０°°时，变为计算子午圈曲率半径的，即时，变为计算子午圈曲率半径的，即ＲＲ００＝Ｍ；＝Ｍ； 当Ｒ当ＲＡＡ＝＝90°°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０９０＝Ｎ主曲率半径主曲率半径M及及N分别是Ｒ分别是ＲＡＡ的极小值和极大值的极小值和极大值。

当当A由由0°→°→90°°时，Ｒ时，ＲＡＡ之值由Ｍ之值由Ｍ→→Ｎ，当Ｎ，当A由由90°→°→180°°时，Ｒ时，ＲＡＡ值由值由N→→Ｍ，可见ＲＭ，可见ＲＡＡ值的变化是以值的变化是以90°°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的为周期且与子午圈和卯酉圈对称的 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径27l 平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R R 等于该点子午等于该点子午圈曲率半径圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径N N的几何平均值的几何平均值 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径28ŸM，N，R的关系 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径29§对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径304.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算Ÿ子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 31椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算32椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径33Ÿ如如果果以以B B＝＝9090°代代入入，，则则得得子子午午椭椭圆圆在在一一个个象象限限内内的的弧弧长长约约为为10 10 002 002 137137m m。

旋旋转转椭椭球球的的子子午午圈圈的的整整个个弧弧长长约约为为40 40 008 008 549.995549.995m m即即一一象象限限子子午午线线弧弧长长约约为为10 10 000000kmkm，，地球周长约为地球周长约为40 00040 000kmkmŸ为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B１１及Ｂ２间的弧长，只需按及Ｂ２间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的式分别算出相应的X１１及及X２２，，而后取差：而后取差：ΔΔＸＸ＝Ｘ＝Ｘ２２－Ｘ－Ｘ１１，该，该ΔΔＸ即为所求的弧长Ｘ即为所求的弧长Ÿ当弧长甚短当弧长甚短( (例如例如X≤40kmX≤40km，，计算精度到计算精度到0.0010.001m)m)，，可视可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径午圈的曲率半径M Mｍｍ  椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算34§由子午弧长求大地纬度 迭代解法迭代解法: : §平行圈弧长公式 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算35椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算§ 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较364.5 大地线大地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢一条线呢? ? 它应是大地线。

它应是大地线Ÿ相对法截线相对法截线 37Ÿ相对法截线相对法截线 大地线大地线38Ÿ相对法截线的特点相对法截线的特点: :Ø当当A，，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一正反法截线则合二为一Ø在通常情况下，正反法截线是不重合的因此在通常情况下，正反法截线是不重合的因此在椭球面上在椭球面上A，，B，，C三个点处所测得的角度三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角将不能构成闭合三角形为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单形为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形线构成的单一的三角形 大地线大地线39大地线大地线Ÿ大地线的定义和性质大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线大地线40 大地线的性质大地线的性质: :Ÿ大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角的夹角 §在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。

在地面上测得的方向、距离等，大地线为依据在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离应当归算成相应大地线的方向、距离Ÿ长度差异可忽略长度差异可忽略, ,方向差异需改化方向差异需改化 大地线大地线41Ÿ大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 大地线的微分方程大地线的微分方程42大地线的微分方程大地线的微分方程43大地线的微分方程大地线的微分方程Ÿ大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数式中常数常数式中常数C也叫大地线常数也叫大地线常数  44§当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时§当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时§由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出 454.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。

是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差 归算的两条基本要求：归算的两条基本要求： ①①以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； ②②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素•将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三三差改正差改正 46•垂线偏差改正垂线偏差改正 以测站以测站A为中心为中心作出单位半径的作出单位半径的辅助球辅助球, ,u是垂线是垂线偏差，它在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上的圈和卯酉圈上的分量分别以分量分别以ξ,ηξ,η表示，表示，M是地面观测目标是地面观测目标m在球在球面上的投影垂线偏差对水平方向的影响是面上的投影垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1) 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面47•标高差改正 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面48§截面差改正截面差改正 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面49• 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ可以认为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ００表表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。

1.1.垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面502.高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面51电磁波测距的归算电磁波测距的归算 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面52地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面53 大地测量主题解大地测量主题解算算4.7.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 主题解算分为主题解算分为: : 短距离短距离(<400(<400kmkm) ) 中距离中距离(<1000(<1000km)km) 长距离长距离(1000(1000kmkm以上以上) ) 541.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算接在地球椭球面上进行积分运算•主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 大地测量主题解算大地测量主题解算552.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按按椭椭球面上的已知球面上的已知值计值计算球面相算球面相应值应值，即，即实现椭实现椭球面球面 向球面的向球面的过过渡；渡；2)2)在球面上解算大地在球面上解算大地问题问题；；3)3)按按球球面面上上得得到到的的数数值值计计算算椭椭球球面面上上的的相相应应数数值值，，即即实实现现从从圆圆球向球向椭椭球的球的过过渡。

渡典型解法：典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 Ÿ 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算可适应解算，也适用于长距离解算可适应20 00020 000kmkm或更长的或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义具有重要意义 大地测量主题解算大地测量主题解算564.7.2 勒让德级数式勒让德级数式 为了计算为了计算 的级数展开式，关键问题是推求的级数展开式，关键问题是推求各阶导数各阶导数 大地测量主题解算大地测量主题解算57•一阶导数：一阶导数：•二阶导数：二阶导数： 大地测量主题解算大地测量主题解算58•三阶导数三阶导数 大地测量主题解算大地测量主题解算59 大地测量主题解算大地测量主题解算60 大地测量主题解算大地测量主题解算61 大地测量主题解算大地测量主题解算62§4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式 高高斯斯平平均均引引数数正正算算公公式式推推导导的基本思想：的基本思想： 首首先先把把勒勒让让德德级级数数在在 P P１１点点展展开开改改在在大大地地线线长长度度中中点点M M展展开开，，以以使使级级数数公公式式项项数数减减少少，，收收敛敛快快，，精精度度高高；；其其次次，，考考虑虑到到求求定定中中点点 M M 的的复复杂杂性性，，将将 M M 点点用用大大地地线线两两端端点点平平均均纬纬度度及及平平均均方方位位角角相相对对应应的的 m m 点点来来代代替替，，并并借借助助迭迭代代计计算算便便可可顺利地实现大地主题正解。

顺利地实现大地主题正解 大地测量主题解算大地测量主题解算63(1)建立级数展开式建立级数展开式: 大地测量主题解算大地测量主题解算64同理可得同理可得: (2) 大地测量主题解算大地测量主题解算65 大地测量主题解算大地测量主题解算66 大地测量主题解算大地测量主题解算(3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:67大地测量主题解算大地测量主题解算69§同理可得：同理可得：大地测量主题解算大地测量主题解算70 Ÿ注意： 从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算Ÿ除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”714.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:7273Ÿ已知：求得：744.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 Ÿ白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想: : 以辅助球面为基础以辅助球面为基础, ,将椭球面三角形转换为辅将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形助球面的相应三角形, ,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系, ,将将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。

最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上 这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式元素与球面上相应元素之间的关系式, ,同时也要解同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法决在球面上进行大地主题解算的方法 75§在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算球面上大地主题正算: : 已知已知 求解求解 球面上大地主题反算球面上大地主题反算: : 已知已知 求解求解761、球面三角元素间的相互关系、球面三角元素间的相互关系77• 球面上大地主题正解78• 球面上大地主题反解方法球面上大地主题反解方法 792 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式80§在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:81Ÿ白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1.1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.球球面面上上任任意意一一点点纬纬度度等等于于椭椭球球面面上上相相应应点点的的归归化纬度化纬度。

8283§以上为白塞尔微分方程以上为白塞尔微分方程.84 3 、、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分8586§积分得到下式：积分得到下式：87§反算反算:§正算正算: 迭代法迭代法: 直接法:88§适合于反算:§适合于正算: 迭代法: 直接法:8990§将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分截去4倍角项，其值小于0.0001秒91§正算：正算：§反算：反算：924 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.计算辅助函数值，解球面三角形可得计算辅助函数值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及α,ββ 93§4.计算球面长度计算球面长度 迭代法: 直接法:94§5.计算经度差改正数计算经度差改正数§6.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 95965 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 1.1.辅助计算辅助计算972.用用逐逐次次趋趋近近法法同同时时计计算算起起点点大大地地方方位位角角、、球球面面长长度度及及经差经差 ，，第一次趋近时，取第一次趋近时，取δδ＝０。

＝０98•计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3. 计算大地线长度计算大地线长度S 4. 计算反方位角计算反方位角991001014.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 1、地图数学投影变换的意义和投影方程、地图数学投影变换的意义和投影方程§ 所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学投影变换的基本概念投影变换的基本概念102 2 、、地图投影的变形地图投影的变形1.长度比 : 长度比长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段就是投影面上一段无限小的微分线段ds，，与椭球面上相应的微分线段与椭球面上相应的微分线段dS二者之比二者之比 不不同点上的长同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1032.主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。

其中最大及最投影后一点的长度比依方向不同而变化其中最大及最小长度比的方向，称为主方向小长度比的方向，称为主方向 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的这两个方向就是长度比在平面上的投影也必是相互垂直的这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向的极值方向，也就是主方向 投影变换的基本概念投影变换的基本概念104 投影变换的基本概念投影变换的基本概念 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆105 3.投影变形 1 1））长度变形长度变形 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1062））方向变形方向变形 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1073））角度变形：角度变形： 角度变形就是投影前的角度角度变形就是投影前的角度u u 与投影后对应角度与投影后对应角度u u’’之差之差 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1084））面积变形：面积变形：P-1P-14.8.3 4.8.3 地图投影的分类地图投影的分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类1 1））等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。

角投影称为正形投影 2））等积投影：投影前后的面积不变形等积投影：投影前后的面积不变形. . 3））任意投影：既不等角，又不等积任意投影：既不等角，又不等积. . 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1092.按经纬网投影形状分类按经纬网投影形状分类 1））方位投影方位投影 取一平面与椭球极点相切，取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该将极点附近区域投影在该平面上纬线投影后为以平面上纬线投影后为以极点为圆心的同心圆，而极点为圆心的同心圆，而经线则为它的向径，且经经线则为它的向径，且经线交角不变线交角不变 Light Source投影变换的基本概念投影变换的基本概念110 2））圆锥投影圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面开成平面 Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念投影变换的基本概念1113））圆柱圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)投影投影 取圆柱取圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面影到圆柱面(或椭圆柱面或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。

平面 Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念投影变换的基本概念1123.3.按投影面和原面的相对位置关系分类按投影面和原面的相对位置关系分类1)1)正正轴轴投投影影：：圆圆锥锥轴轴( (圆圆柱柱轴轴) )与与地地球球自自转转轴轴相相重重合合的的投投影影，，称称正正轴轴圆圆锥锥投投影影或正或正轴圆轴圆柱投影2)2)斜斜轴轴投投影影：：投投影影面面与与原原面面相相切切于于除除极极点和赤道以外的某一位置所得的投影点和赤道以外的某一位置所得的投影3)3)横横轴轴投投影影：：投投影影面面的的轴轴线线与与地地球球自自转转轴轴相相垂垂直直，，且且与与某某一一条条经经线线相相切切所所得得的投影比如横的投影比如横轴椭圆轴椭圆柱投影等柱投影等 除除此此之之外外，，投投影影面面还还可可以以与与地地球球椭椭球球相相割割于于两两条条标标准准线线，，这这就就是是所所谓谓割割圆圆锥锥，，割割圆圆柱柱投影等投影变换的基本概念投影变换的基本概念1134.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 1、、 高斯投影概述高斯投影概述v 控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求 （（1）采用等角投影）采用等角投影(又称为正形投影又称为正形投影) （（2）长度和面积变形不大）长度和面积变形不大 （（3）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体域联成整体 v 高斯投影描述高斯投影描述 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系114高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系• 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面面上，再将此柱面展开即成为投影面 。

115投影带：投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围；作为投影范围； 1）分带原则）分带原则 （（1）限制长度变形使其不大于测图误差；）限制长度变形使其不大于测图误差； （（2）带数不应过多以减少换带计算工作带数不应过多以减少换带计算工作l 我国规定按经差我国规定按经差6°和和3°进行投影分带进行投影分带高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系2）分带方法）分带方法116高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系• 6°带带: 自自0°子午线起每隔经差子午线起每隔经差6°自西向东分带，依次自西向东分带，依次编号编号1，，2，，3，，…60我国6°带中央子午线的经度，由带中央子午线的经度，由73°起每隔起每隔6°而至而至135°，共计，共计11带，带号用带，带号用n表示，中央子午线表示，中央子午线的经度用Ｌ的经度用Ｌ００表示 带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系： ＬＬ００＝６ｎ－３＝６ｎ－３• 3°带带: 自东经自东经1.5°子午线起，每隔子午线起，每隔3°设立一个投影带，设立一个投影带， 依次编号为依次编号为1，，2，，3，， …，， 120带；中央子午线经度依次带；中央子午线经度依次为为3°, 6°, 9°, … , 360°。

带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系：117• １１.5°带或任意带带或任意带: 工程测量控制网也可采用１工程测量控制网也可采用１.5°带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6°或或3°带相联系带相联系 n=L/3(四舍五入四舍五入)Ｌ０＝Ｌ０＝3ｎｎ高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系118高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系例：某控制点例：某控制点 P 点点按按3°带：带：按按6°带：带：119 在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴横坐标轴 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系120 6°带与带与3°带的区别与联系区别带的区别与联系区别 6°带：从带：从 0°子午线起划分，带宽子午线起划分，带宽6 °，用于中小比例，用于中小比例尺（尺（1：：25000以下）测图；以下）测图； 3°带：从带：从 1.5°子午线起划分，带宽子午线起划分，带宽3°，用于大比例尺，用于大比例尺（如（如1：：10000）测图。

测图 3°带是在带是在6°带的基础上划分的，带的基础上划分的，6°带的中央子午线及带的中央子午线及分带子午线均作为分带子午线均作为3°带的中央子午线，其带的中央子午线，其奇数带奇数带的中的中央子午线与央子午线与6°带带中央子午线中央子午线重合，重合，偶数带偶数带与与分带子午分带子午线线重合高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系121高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l国家统一坐标国家统一坐标在我国在我国x坐标都是正的，坐标都是正的，y坐标的最大值坐标的最大值(在赤道上在赤道上)约为约为330km为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上上500 000m此外还应在坐标前面再冠以带号这种坐此外还应在坐标前面再冠以带号这种坐标称为标称为国家统一坐标国家统一坐标例如：例如： Y=19 123 456.789m该点位在该点位在19带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去减去 500 000m，，最后得最后得 y = -376 543.211(m) 122高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系§分带存在的问题？分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。

用带重叠的方法解决此问题123§高斯投影特点：高斯投影特点： 正形投影，保证了投影的角度的不变性，图形的正形投影，保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性 由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系1242、椭球面元素化算到高斯投影面、椭球面元素化算到高斯投影面125 3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角这是通过计算相应直线组成的三角形内角这是通过计算方向的曲方向的曲率改化率改化即方向改化来实现的即方向改化来实现的§椭球面三角系归算到高斯投影面的计算椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1）将起始点）将起始点P的大地坐标的大地坐标(L，，B)归算为高斯平面归算为高斯平面直角坐标直角坐标 x,y；；为了检核还应进行反算，亦即根据为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y反算反算B，，L，，这项工作统称为这项工作统称为高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算。

 2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边上相应边P’K’的坐标方位角，这是通过计算该点的的坐标方位角，这是通过计算该点的子子午线收敛角午线收敛角γ及及方向改化方向改化δ实现的126 因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作 § 当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算邻带换算 4) 将椭球面上起算边将椭球面上起算边PK的的长度长度S归算归算到高斯平面到高斯平面上的直线长度上的直线长度s这是通过计算距离改化这是通过计算距离改化Δｓ实现的ｓ实现的127正形投影的一般条件正形投影的一般条件4.9.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件1、长度比的通用公式、长度比的通用公式128正形投影的一般条件正形投影的一般条件129正形投影的一般条件正形投影的一般条件将上述两式代入（将上述两式代入（4-334）式，整理，令）式，整理，令130正形投影的一般条件正形投影的一般条件131正形投影的一般条件正形投影的一般条件2、柯西、柯西.黎曼条黎曼条件件132正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形条件正形条件m m与与A A无关，即满足：无关，即满足：133正形投影的一般条件正形投影的一般条件则有：则有：§柯西柯西-黎曼条件黎曼条件134正形投影的一般条件正形投影的一般条件考虑到考虑到F=0，，E=G，长度比公式简化为，长度比公式简化为135§把把 代入（代入（4-347），考虑下式），考虑下式正形投影的一般条件正形投影的一般条件136§柯西柯西-黎曼条件的另一种解释方法黎曼条件的另一种解释方法正形投影的一般条件正形投影的一般条件137正形投影的一般条件正形投影的一般条件l如果点在子午线上：如果点在子午线上：L=常数，常数，dl=0l如果点在平行圈上：如果点在平行圈上：B=常数常数 dB=0138正形投影的一般条件正形投影的一般条件§ 三角形三角形ABB’与与ACC’相似相似139高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式1、高斯投影坐标正算公式、高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件： (1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。

投影具有正形性质，即正形投影条件高斯投影坐标正算公式推导如下：高斯投影坐标正算公式推导如下：140高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算1) 由由第一个条件第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线 x为为l的偶函数，而的偶函数，而y则为则为l的奇函数的奇函数2) 由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件141§由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式递推公式高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算142高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算m0=? ３３) 由第二条件由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长即当即当 l=0 时时,143高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算144高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算将各系数代入，略去高次项，精度为将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m145高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算2、高斯投影坐标反算公式、高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标是椭球面，已知的是平面坐标 (x, y)，，要求的是大地坐要求的是大地坐标标 (B，，L)，，相应地有如下投影方程：相应地有如下投影方程：同正算一样，对投影函数提出三个条件。

同正算一样，对投影函数提出三个条件146高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算1) 由由第一个条件第一个条件可知可知2) 由由第三个条件，正形条件第三个条件，正形条件147高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算148高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算3) 由第二条件由第二条件依次求各系数依次求各系数因为因为所以所以149高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算150高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算151高斯投影几何解释高斯投影几何解释3、高斯投影正反算公式的几何解释、高斯投影正反算公式的几何解释152高斯投影几何解释高斯投影几何解释153高斯投影的特点高斯投影的特点高斯投影的特点高斯投影的特点 　　　　(1)当当l等于常数时，随着等于常数时，随着B的增的增加加x值增大，值增大，y值减小；无论值减小；无论B值为正值为正或负，或负，y值不变这就是说，椭球面值不变这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道线和赤道 154高斯投影的特点高斯投影的特点　　　　(2)当当B等于常数时，随着等于常数时，随着l的增加，的增加，x值和值和y值值都增大。

所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影都增大所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极相垂直凹向两极　　　　(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大愈厉害，长度变形也愈大1554.9.4高斯投影坐标计算算例高斯投影坐标计算算例1) WGS84 (6378137 , 298.257223563) A001 2463376.6502 49592.07212) GDZ80 (6378140,298.257) A001 2463377.7973 49592.09553) BJ54 (6378245,298.3) A001 2463420.5657 49592.9084A001：156平面子午线收敛角平面子午线收敛角4.9.5 平面子午线收敛角公式平面子午线收敛角公式 1、平面子午线收敛角的定义、平面子午线收敛角的定义1572、、公式推导公式推导 1））由大地坐标由大地坐标L、、B计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角γγ的公式的公式 平面子午线收敛角平面子午线收敛角158(1)γ(1)γ为为l l的奇函数，而且的奇函数，而且l l愈大，愈大，γγ也愈大；也愈大；(2)(2)γγ有有正正负负，，当当描描写写点点在在中中央央子子午午线线以以东东时时，，γγ为为正正；在西时，；在西时，γγ为负；为负；(3)(3)当当l l不变时，则不变时，则γγ随纬度增加而增大随纬度增加而增大平面子午线收敛角平面子午线收敛角159平面子午线收敛角平面子午线收敛角2.平面坐标平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角γ的公式的公式160方向改化公式方向改化公式4.9.6 方向改化公式方向改化公式161方向改化公式方向改化公式1、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导 在球面上四边形在球面上四边形ABED的内角之和等于的内角之和等于360°+ε 由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即相等，即162方向改化公式方向改化公式163方向改化较精密公式方向改化较精密公式 方向改化公式方向改化公式164方向改化公式方向改化公式1654.9.7 距离改化公式距离改化公式1661) s与与D的关系的关系167§当当δδ取最大取最大40″″，，s=50km时，代入上式得。

因此，时，代入上式得因此，用用D代替代替s在最不利情况下，误差也不会超过在最不利情况下，误差也不会超过1mm而实际上，边长要比而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会短得多，此时误差将会更小所以在应用上，完全可以认为大地线的平更小所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度面投影曲线的长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D 1682、长度比和长度变形、长度比和长度变形1）用大地坐标）用大地坐标 (B , l) 表示的长度比表示的长度比m的公式的公式1692）用平面坐标）用平面坐标 (x , y)表示的长度比表示的长度比m的公式的公式170(1)长度比长度比m只与点的位置只与点的位置 (B，，l)或或 (x ,y) 有关2)中央子午线投影后长度不变中央子午线投影后长度不变 (3)当当y≠0(或或l≠００)时，时， m恒大于恒大于1 (4)长度变形长度变形(m-1)与与y２（２（或或l２）２）成比例地增大成比例地增大 ,而对某而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形一条子午线来说，在赤道处有最大的变形 1713、距离改化公式、距离改化公式 将椭球面上大地线长度将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上，变为描写在高斯投影面上，变为平面长度平面长度D。

1724.9.8 高斯投影的邻带坐标换算高斯投影的邻带坐标换算(1)位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西东、西带带)的控制网的控制网 173邻带换算方法：邻带换算方法： (2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中到同一带中 (3)当大比例尺当大比例尺(1∶ ∶10 000或更大或更大)测图时，特别是测图时，特别是在工程测量中，要求采用在工程测量中，要求采用3°带、带、1.5°带或任意带，而国带或任意带，而国家控制点通常只有家控制点通常只有6°带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了6°带同带同3°带带(或或1.5°带、任意带带、任意带)之间的相互坐标换算问题之间的相互坐标换算问题174§4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用横轴墨卡托投影概念通用横轴墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影属于横轴等角割椭圆柱投影 ,它的投影条件是取第3个条件“中央经线投影长度比不等于1而是等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为m0＝0.9996的高斯投影。

175176§基本公式如下：177§UTMUTM投影变形的特点：投影变形的特点： UTM投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使得Ｂ＝０°，ｌ＝３°处的最大变形值小于0.001而选择的数值两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约±１８０ｋｍ(约±１°４０’)处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值 UTMUTM投影带的划分：投影带的划分： UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号1，2，3，…，60连续编号，每带经差为６°，从经度180°Ｗ和17４°Ｗ之间为起始带(1带)，连续向东编号 178§直角坐标系的实用公式：4.10.2高斯投影簇的概念高斯投影簇的概念 高斯投影簇是概括依经线分带的一簇横轴等角投影它应满足的投影条件是：1.中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；2.投影具有等角性质；3.中央经线上的长度比 179 180高斯投影簇变形的特点：1.设q=0，则m０＝１，该投影即为高斯.克吕格投影2.设q=0.0004，K=0，则m０＝0.9996，该投影即为通用横轴墨卡托投影。

3.设q=0.000609，K=1，则，该投影即为双标准经线等角横椭圆柱投影4.设q=0.000609，K=1.5，则，该投影在分界子午线与赤道交点处变形最大，达0.077% 181§4.11 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述 4.11.1兰勃脱投影基本概念兰勃脱投影基本概念 兰勃脱(Lambert)投影是正形正轴圆锥投影设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥面与椭球面一条纬线相切，将椭球面上的纬线投影到圆锥面上成为同心圆，经线投影圆锥面上成为从圆心发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线(一般为中央经线L０)，将圆锥面切开而展成平面，从而实现了兰勃脱切圆锥投影 1821831844.11.2兰勃脱投影坐标正、反算公式兰勃脱投影坐标正、反算公式1 兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立 185§子午线方向长度比:§纬线向长度比:§正形投影条件:1862、、大地纬度差同等量纬度差的关系式大地纬度差同等量纬度差的关系式 已知 即可求 . 187188§采用级数的回代公式可得:1893 常数常数ββ及及K的确定的确定 条件:190§因为将上述两式代入微分方程得:则有:即可求得191§根据兰勃脱割圆锥投影特殊条件：两条标准纬线(B１，Ｂ２)的投影不变形，也就是说，这两条标准纬线投影前后的长度相等，即长度比ｍ１＝ｍ２＝１。

解方程得 192§4 兰勃脱投影坐标的正反算公式兰勃脱投影坐标的正反算公式1.兰勃脱投影坐标的正算兰勃脱投影坐标的正算(B, l) l=L-L0,求求x, y 兰勃脱切圆锥投影：兰勃脱切圆锥投影：193§兰勃脱割圆锥投影：兰勃脱割圆锥投影：194§兰勃脱投影坐标的反算公式兰勃脱投影坐标的反算公式195§方向改化及距离改化的简化公式： §4.11.3兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用 196§兰勃脱投影变形的特点兰勃脱投影变形的特点: : 在标准纬线Ｂ０处，长度比为1，没有变形当离开标准纬线（Ｂ０）无论是向南还是向北，｜ΔＢ｜增加，｜ｘ｜数值增大，因而长度比迅速增大，长度变形(m-1)也迅速增大因此，为限制长度变形，必须限制南北域的投影宽度，为此必须按纬度分带投影 197198§兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，它的长度变形(m-1)与经度无关，但随纬差ΔＢ，即纵坐标x的增大而迅速增大，为限制长度变形，采用按纬度的分带投影，因此，这种投影适宜南北狭窄，东西延伸的国家和地区这些国家根据本国实际情况，采用相应的分带方法和统一的坐标系统。

但与高斯投影相比较，这种投影子午线收敛角有时过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯投影要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投影 199。