2022年切换系统知识总结.docx

切换系统来源于实际把握系统 ,所以对其争论不但是现代把握理论进展的需 要,更是试图解决大量实际问题的迫切需求 .不同于一般系统 ,切换系统在运行过程中,切换规章起着重要作用 ,不同的切换规章将导致完全不同的动态特点 :如干个稳固的子系统在某一切换规章下可导致整个系统不稳固 .而如干个不稳固的子系统在适当的切换下可使整个系统稳固 ,即其子系统的稳固性不等价于整个系统 的稳固性 .1999 年 Daniel Liberzon和 A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳固性分析的综述文章 ,并归结为如下三个基本问题 :问题 1:切换系统在任意切换下渐近稳固的条件 ;问题 2:切换系统在受限切换下是否渐近稳固 ;问题 3:如何设计切换信号 ,使得切换系统在该切换信号下渐近稳固 .以上三个问题是在争论切换系统稳固时密不行分的.我们在争论切换系统稳固性的时候,大多围绕这三个问题开放 .在对把握系统进行分析的过程中,已经有了很多的争论方法,在争论切换系统的稳固性时, 我们经常用到的方法有：单 Lyapunov 函数方法,共同 Lyapunov 函数方法,多Lyapunov 函数方法,共同把握 Lyapunov 函数方法,backstepping 方法,LMI 等.切换系统基本学问定义 1 一个切换系统被描述成以下微分方程的形式（ ） （ 1）其中这里 ： 是一族 的充分正就函数, ： 是关于时间的分段 .常值函数,称为切换新号. 有可能取决于时间 t 或状态 （ ） ,或两者都有. P 是某个指标集.以下非特别指明假设 P 都是有限集.假如这里全部的子系统都是线性的,我们就得到一个线性切换系统,（ 2）1 任意切换下稳固很明显,为了争论切换系统在任意切换下的稳固性, 我们必需假设全部系统都是稳固的, 这点对于切换系统的稳固只是必要条件. 我们要争论的是为了使切换系统在任意切换下稳固仍需要什么条件.存在共同 Lyapunov 函数是系统在任意切换下渐近稳固的充要条件,因而寻求共同 Lyapunov函数存在的条件是解决稳固性问题的一个途径.共同 Lyapunov 函数法与传统的 Lapunov 直接法基本是一样的.其主要思想是 :对于切换系统, 假如各子系统存在共同 Lyapunov函数,那么系统对于任意的切换序列都是稳固 的.定理 1 Lapunov 稳固性定理为争论切换系统的稳固性供应了一个基本工具,具体如下 :对于切换系统（ 1）,假如存在正定连续可微的函数 V： ,正定连续的函数 W： ,中意,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载那么明显系统是稳固 〔渐近稳固 〕的.假如 是径向无界的,就结果是全局的.因此,这样一个 Lapunov 函数〔称为共同 Lyapunov 函数〕是争论切换系统的一个重要课题.对于线性系统 〔1〕,一般要找的是二次 Lyapunov 函数.定义 2 给定一组稳固矩 , ,如存在一个正定矩阵 P>0使得,就称它为 , 的一个共同二次 Lyapunov函数.引理 1 假如切换系统的子系统存在不稳固的凸组合,（ ）其中, , ,那么该切换系统不具有共同 Lyapunov函数.由以上引理可见,切换系统存在共同 Lyapunov函数 的必要条件为切换系统的子系统的凸组合均稳固.另外,对于以下一对二阶渐近稳固的线性系统仍有以下充分必要条件., ,考虑两个子系统的矩阵凸组合, , （ ）定理 2 一对二阶渐近稳固的线性切换系统具有共同二次 Lyapunov函数当且仅当 , 和 , 中的矩阵都稳固.定理 3 假如 ： 是由一些可交换的 Hurwitz 矩阵组成的有限集,那么这个相应的线性切换系统（ 2）是全局一样指数稳固的.令 , 是一个给定的由交换的 Hurwitz 矩阵构成的集合, 令 是下面的 Lyapunov方程的唯独的正定解对于 i=1,⋯,m,令 是下面的 Lyapunov方程的唯独的正定解然后函数是所期望的给定的线性切换系统 （ 2）的一个二次共同 Lyapunov 函数. 由以下公式给出由于 , 是可交换的,所以我们可以将上式可以重新写成下面的形式可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载这里 .定理 4 假如 ： 是由可交换的一次连续可微的斜向量场组成的有限集,并且全部的子系统的原点是一个全局渐进稳固的平稳点, 那么交换的切换系统（ 1）是全局一样渐进稳固的.这里没有给出共同 Lyapunov 函数的明确结构,有两种方法能够构造这样的一个函数,但是,他们都要依靠更强的条件：系统（ 1）的各子系统是指数稳固的.并且仅仅给出一个局部的共同 Lyapunov 函数.方法一 考虑这样一个线性化的矩阵, .假如非线性的斜向量场可交换,那么线性化的矩阵 也可交换.（假设, , ）.线性化的矩阵可交换是一个弱解条件. 矩阵 是 Hurwitz 的当且仅当斜向量场 是指数稳固的.这样对于线性化的系统的一个二次共同 Lyapunov 函数,就可以作为这个有限子族非线性系统原点处的一个局部的共同 Lyapunov函数.方法二 令 ,系统（1）的各子系统 是指数稳固的.对于任意的 ,令 （ , ）表示系统 （ ）中意初始条件 的解,定义（ ） （ , ）（ ） （ （ , ） , i=2,⋯,m这里 T 是一个足够大的正常数.那么 是一个各子系统的局部共同 Lyapunov 函数.假如函数 ： 中意全局 Lipschitz 条件,,那么我们就得到一个全局的共同 Lyapunov函数.定理 5（共同 Lyapunov存在逆定理）假设切换系统（ 1）是全局一样渐进稳固的,集合 （ ）： 对 有界,函数 （ ）对于 x 和一样的 p 中意局部Lipschitz 条件,那么这个系统的各子系统有一个径向无界的光滑的共同 Lyapunov函数.2 受限切换稳固多 Lyapunov函数法是 Branicky从切换系统的特点动身提出的,这是由于共同 Lyapunov要中意的条件往往过强,实际系统中存在共同 Lyapunov函数的情形并不多见,而且很多切换系统虽然不存在共同 Lyapunov函数,却可以选择适当可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的切换信号使系统渐近稳固.对于这样的系统,多 Lyapunov 函数法是一种有效的方法.多 Lyapunov函数:为切换系统定义一组 Lyapunov-like 函数 ,然后判定切换系统稳固性.对于系统（ 1）,假设各个子系统切换时状态不发生跳变,平稳点为 , （ ）是全局 Lipschiz连续的,所谓 Lyapunov-like函数 是定义在区域 上的一个连续可微的实值函数,且中意以下条件〔1〕 正定性: , ,当 , （ ）〔2〕 导数负定 :当切换到子系统 （ （ ））时,其相应的 Lyapunov函数 单调递减,即, .共同 Lyapunov 函数法争论切换系统对于任意切换序列是否稳固,而多Lyapunov 函数法争论系统对于一类切换序列是否稳固.定理 6 如切换系统（1）的各子系统都是全局渐进稳固的, 令 , 是相应的各子系统的径向无界的 Lyapunov 函数,如存在一族正定的连续函数, ,中意对于每一对切换时刻 , , ,中意 , 并且 , ,（ ）就切换系统（ 1）是全局渐进稳固的.基于逗留时间的稳固性对于切换系统, 即使各个子系统均渐近稳固, 假如切换不当, 也可能使这个系统不稳固.直观地说,这是由于切换引起的“系统能量”增长趋势超过了各稳 定子系统对“系统能量”的衰减作用.一个自然的想法是,假如在各稳固子系统 内停留的时间足够长,以对消并超过切换引起的“系统能量”增长趋势,那么切 换系统就可以稳固了.这一方法被称为“长驻留时间” .衡量逗留时间长短的最简洁直接的方法就是引入一个正常数 ,假设相邻切换时刻相差不小于 的切换信号 〔即每次在子系统的逗留时间不小于 〕,我们考虑在这样一类切换信号下系统的稳固性. 对于线性切换系统, 假如各个子系统均渐近稳固, 那么只要切换信号中意在各个子系统内的逗留时间足够长, 即只要足够大,就可以保证线性切换系统全局指数稳固,并且仍可以定量运算出逗留时间的下限.在确定条件下,仍可以将上述结论推广到非线性切换系统.在这里,我们仅以一组全局指数稳固的非线性系统为例来说明基于逗留时间的稳固性条件.假设切换系统（ 1）的各子系统是全局指数稳固的,对于任意的 ,都存在对应的 Lyapunov函数 中意（ 3）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（ 4）其中 , , 是正常数.由（ 3）和（ 4）我们能够得到,这里 , .这样 （ ） （ ） 当 , （ ） .下面我们考虑以下两个子系统的情形 P={1,2}, =1, , =2,, , .由以上不等式我们知道（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）只要 足够大, 就可以保证 ,引用多 Lapunov 函数稳固性条件可见,只要切换信号中意在各个子系统内的驻留时间 足够大（其实只需（ ） ）,就可以保证切换系统全局渐近稳固.平均驻留时间平均驻留时间是将所考虑的切换信号扩充到只要随着时间区段的增长切换次数不会增加太快的切换信号.或者是线性增长 ,就 称为是平均驻留时间.定理 7 对于切 换系 统（ 1 ）, 假如各子 系统 都存在连续可 谓的 函数, , , 是两个 类函数, , 是正常数,如中意, ,, ,, ,就系统（ 1）对于有平均驻留时间 的任意切换信号是全局渐进稳固的.单 Lyapunov方法单 Lyapunov 函数作为一种特别的多 Lyapunov 函数是针对每个子系统都可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载不稳固提出的 ,一般结合凸组合技术来使用. 单 Lyapunov 方法为第一的选用方法.令 V 是切换系统所对应的 Lyapunov 函数,单 Lyapunov 的本质可描述为： 1〕 当第 i 个子系统被激活时, V 递减. 2〕 第 i 个子系统激活时 V 的末端值作为下一个被激活系统时 V 的初始值.它与多 Lyapunov 函数不同的是不要求Lyapunov 函数在整个空间上都是递减的.3 稳固的切换信号从应用角度看, 这方面的内容意义最大, 由于切换系统的精华在于 “切换”,即设计一组切换信号使切换系统在这组切换信号下稳固. 这是切换系统争论的重要内容.虽然切换系统是由如干子系统和一组切换信号组成, 但绝不是各个子系统简洁的叠加,切换信号的作用同样相当重要.其中,线性矩阵不等式方法,凸 组合技术,线性化手段以及完备集概念都被应用到此领域中.这部分主要讲的是依靠于状态的稳固, 书中所争论的也主要是线性矩阵, 用到的关键技术是凸组合.下仅以子系统为 2 的情形说明.定理 8 如矩阵 , 存在一个 Hurwitz 的凸组合, 那么就存在一个依靠于状态的策略使得 的线性切换系统（ 2）二次稳固.（它的逆也成立）.现在的切换系统争论也主要集中于争论具有特定结构的系统, 设计一组切换信号使系统稳固.纵观近年来的切换系统进展, 随着运算机技术的飞速进步和普及应用为切换 系统实施把握供应了坚实的物质基础和宽敞的进展前景, 。