新高考数学二轮复习巩固练习10 导数解答题之零点问题（解析版）.doc

微专题10导数解答题之零点问题 【秒杀总结】1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．【典型例题】例1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知函数.(1)若存在极值，求的取值范围；(2)当时，讨论函数的零点情况.【解析】（1）因为，所以，当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去；当，即时，令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以在取得极大值，符合题意；综上：，故实数的取值范围为.（2）当时，，则，令，则，（i）当时，，则单调递减，即单调递减，注意到，，所以存在唯一的使，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，注意到，，，则，所以在和上各有一个零点；（ii）当时，，故，令，则，所以在上单调递减，故，所以，故在上无零点；（iii）当时，，则，令，则，所以在上单调递减，又，故，所以，故在上无零点；综上：在和上各有一个零点，共有两个零点.例2．（2023春·全国·高三竞赛）已知函数．设为的导函数．(1)证明：有且仅有一个极值点；(2)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由．【解析】（1）证明：因为，所以设，，所以，其中恒成立，令，，则，因为，所以，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增；又，，，所以，使得 ，即，故对于有，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点.（2）的所有零点之和大于，理由如下：函数，其导函数，，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减，又，所以，因为，所以，所以，又，故，使得，，使得，于是可得：当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，故，则，所以存在使得，所以，又，所以，则存在使得，又，所以函数在区间上无零点；故函数在上有两个零点，且，由可得：，所以，又，所以，根据，可得：，，并且函数在上单调递减，所以，即，故的两个零点之和大于.例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，讨论函数的零点个数.【解析】（1）因为，所以，令，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，所以，则，所以切线的斜率为，又切点为，所以切线方程为，即.（2）令，则，该式等价于或，当时，有，令，，则的解的个数即为与的交点个数，易知开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，且，而在上单调递增，，所以在上单调递减，且，作出与的图像，如图，所以与的交点只有一个，且为，故只有一个解；当时，因为当时，该式不成立，所以，令，则，令，则，令，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故，所以在上单调递增，因为，所以存在，使得，则在上，在上，所以在上，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递减，在上调递增，因为，所以，即，所以，因为在上单调递增，，所以，故，又因为，所以方程无解，即方程无解，故无解；综上：当时，与只有一个解，即只有一个零点.例4．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知函数是的导函数．(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若，判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由．【解析】（1）由题意在上恒成立，得 ，即恒成立，令，则 ，当时，，令，即，则，得，令，即，或得 或，所以在和为减函数，在上为增函数， ，，故， 故，即，综上 ，实数的取值范围 .（2）由题意， ,由，得 ，令 ， 令， ,令在上单调递减,注意到,∴存在,使，且当时， ， 单调递增,当时，，单调递减, 且 , ,所以在和上各有一个零点，设为，且当时，单调递减；时，单调递增，当时，单调递减且 ，∴当时， ，当 时，，故在上有唯一的零点，设为，且当 ，时， ，在上单调递减；当 时，，在上单调递增．注意到 ， ，所以：在和上各有一个零点，设为，所以共两个零点，故方程在内实数解的个数为2.例5．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的图象与函数的图象仅有一个交点M，求证：曲线与在点M处有相同的切线，且．【解析】（1）定义域为R，所以，①当即时，恒成立，函数在上为单调递减函数．②当即时，令得：，令得：或，所以，函数在上单调递增，在和上单调递减综上所述，当时，函数在上为单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减；（2）构造，所以．记，恒成立，即在上单调递增．而，，所以存在唯一的使得，即，由，可得，，所以，，所以，即曲线与在点M处有相同的切线．又因为当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在上取得极小值，也是最小值，即，由于函数的图象与函数的图象仅有一个交点M，所以，即，故，，所以在上单调递减，所以，综上，曲线与在点M处有相同的切线，且．例6．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知函数，为其导函数.(1)若，求的单调区间；(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【解析】（1）函数，，则，令，则，设，则，得，故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，所以，又时，，又，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故的单调减区间为，增区间为；（2）关于的方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，又，①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，又时，，，则函数在上有两个零点；②当时，，得，，（i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；综上，实数的取值范围.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的极值点.(1)求；(2)证明：有两个零点，且其中一个零点；(3)证明：的所有零点都大于.【解析】（1），则，因为是函数的极值点，所以，即，解得.当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是函数的极小值点，故；（2）由(1)知，，令，则，作和函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有2个交点，且一个交点分布在上，另一个分布在上，所以方程有2个解，即函数有2个零点.易知2是函数的一个零点，设另一个零点为，又，，所以，又函数在定义域上连续，由零点的存在性定理，知；（3）由(1)知，，当时，，当时，令，则，设，则，，令或，令，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，，得所以，又，所以当时，，作出函数和的图象，如图所示，由图可知，两函数图象的交点的的横坐标都大于，故函数的所有零点都大于.例8．（2023秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知函数．(1)求的导函数的单调区间；(2)若方程（）有三个实数根，且，求实数 a的取值范围．【解析】（1）函数f(x)的定义域为记，则．当时，，则在上单调递增，当时，记，所以时，，递减；时，，递增，的极小值为，即有，因此， g(x)在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）令方程（）有三个实数根等价于F(x)有三个零点，，当时，因为，则，此时F(x)在无零点；当时，由（1）知在上单调递增，显然，，因此存在，使得，，单调递减，，单调递增，①若，则，不符合题意； ②若，，当时，，，在上无零点，当时，，在上无零点，不符合题意，③若，则，，于是，而当时，，，但的取值集合是，因此存在，使得，当时，令，，令，则，即在上单调递增，，在上单调递增，，因此当时，，有，因为当时，二次函数的值域是，于是得当时，，因此存在，使得，此时当时，，即函数F(x)在上单调递减，由因此存在，使得，从而当时，F(x)有三个零点，且，所以实数a的取值范围是．例9．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数和，(1)求在处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求的取值范围；(3)若与有相同的最小值．①求出；②证明：存在实数，使得和共有三个不同的根、、，且、、依次成等差数列．【解析】（1）因为，则，所以，，所以，在处的切线方程为.（2）当时，不等式等价于．设，则，且.对于函数，.（ⅰ）当且时，，故，则在上单调递增，因此；（ⅱ）当时，令得，．由得，，故当时，，在单调递减，因此，不合乎题意.综上，的取值范围是．（3）①的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.函数的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，其中，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.②由①可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即方程的解的个数为.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为.当，由①讨论可得、仅有一个解，当时，由①讨论可得、均无根，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，其中，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且，当时，，即，即，当时，，即，即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的根、，此时有两个不同的根、，故，，，，所以，即，即，故为方程的解，同理也为方程的解，又可化为，即，即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故，即.【过关测试】1．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数．(1)若时，，求实数a的取值范围；(2)讨论的零点个数．【解析】（1）的定义域是，．①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，满足题意； ②当时，令，由，得，．当时，，，所以在上单调递减，所以，不满足。