实验2 空间图形的画法(基础实验).doc

项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验2空间图形的画法（基础实验）实验目的学握用Mathcmatica绘制空间曲面和|11|线的方法.熟悉常用空间|11|线和空间|11|面 的图形特征，通过作图和观察，提高空间想像能力.深入理解二次Illi面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D主要用于绘制二元函数z = f（x.y）的图形.该命令的基木格式为 Plot3D[f[x,刃,{x,x 1 ,x2},{y,y I ,y2}，选项]其中f[x,刃是的二元函数,xl,x2表示x的作图范FR, yl,y2表示y的作图范围. 例如，输入Plot3D[x 人 2+*2, {x,・2,2}, {y,・2,2）]则输出函数z = x2+j2在区域-215,常常需要增加一些点以使曲面更加精致，可能要 用更多的时间才能完成作图.选项Viewpoint用于选择图形的视点（视和），英默认值为 VicwPoint・>{1.3,・2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D用于作曲面时，该命令的基本格式为ParametricPlot3D[ {x[u,v],y[u,v],z[u,v] },{u,ul ,u2 ）,{v,v 1 ,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式.uI,u2是作图时参数u的范围,vl,v2是参数v的 范围.例如，对前面的旋转抛物面，输入 ParametricPlol3D[{u*Cos[vJ,u*Sin[v]AiA2}JiK0,3）,{v,0,2 Pi）] 同样得到曲面Z = / +）,2的图形（图2.2）.图2・2山于自变戢的取值范围不同，图形也不同.不过，后者比较好的反映了旋转曲面的特点，因 而是常用的方法.又如，以原点为中心,2为半径的球面.它是多值函数，不能用命令Plot3D作图.但是，它的 参数方程为x = 2sin cos0, y = 2sin sin 0,z = 2cos0 <（p< 龙、0 <0< In,因此，只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}] 便作出了方程为?4-x2 + y2=22的球面（图2.3）.2图2.3.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为ParametricPlot3D[ (x[t],y[t],z[t]),{t,tl ,t2}，选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式.tl,t2是作图时参数t的范围. 例如，空间螺旋线的参数方程为x = cosr, y = sin t.z = t/i 0(0 12]则作出了 12幅曲面图,选中任一幅图形,双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1(教材例2.1)作出平面z=6 — 2x — 3y的图形，其中0 3^PlolRange->{0.4}・BoxRalios・>{ ij J)]则输出函数的图形2・7・观察图形，理解选项PlotRange->{0,4）和BoxRatios・>{ 1丄1}的含义.选项 BoxRatios 的默认值是{1,104}.2图2・7例2・3（教材例2.3）作出函数z—与厂7的图形.输入命令Plot3D[-x *y*Exp[-xA2-yA2], {x<3,3）, {y厂 3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形（图2.8）・图2.8例2.4（教材例2.4）作出函数z=cos（4x2+9y2）的图形. 输入Plot3D[Cos[4xA2+9yA2],（x,-1J },{y,-l,l ）,Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30False]则输出网格形式的曲面图2.9.这是选项Shading->False起的作用，同时注意选项Boxed->False 的作用.图2.9例2.5 （教材例2.5）的图形.二次曲面x = 2 sin u cosv.y = 3sin w sin v,z = cosw, (0 < < 龙,0 30]作出椭球面知才这是多值函数，用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该Hllifli的参数方程为则输出椭球面的图形（图2.10）.其中选项PlotPoints.>30是増加取点的数量，可使图形更加光滑.图 2.10例2・6(教材例2.6)作出单叶双曲面疋+匚一二=1的图形.I 4 9曲面的参数方程为x = seen sin v5 y = 2secu cosv.z = 3tanw, ( -tt/2 < u v 龙/2,0 < v < In.) 输入PiirametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[uJ),{urPi/4,Pi/4), {v,0,2 Pi) ,PlotPoints->30] 则输出单叶双曲面的图形(图2.11).211iisiiis11T/vt/t/们图 2.112 2 2例2・7作双叶双曲面二+二-丄=_1的图形.1.52 1.42 1.32曲面的参数方程是x = 1.5 cot u cos v, y = 1A cot u sin v, z = 1.3 esc u.其中参数^Ide ntity];(*DisplayFunction->Identity是使图形暂时不输出的选项*)sh2=ParametricPlot3Df {1.5*Cot[u]*Cos[v]J .4*Cot[u] *Sin[v],1.3/Sin[u]} A u,・Pi/2 厂 Pi/1 ()()()},{v,・Pi,Pi) ,DisplayFunction->Identity];Show[sh 1 ,sh2,DisplayFunction->SDisplayFunctionJ广命令 Show[shl,sh2]是把图形 shl,sh2 放置在一起，DisplayFunction->SDisplayFunction 是恢复显示图形的选项*)输出为图2.12.图 2.12例2.8可以证明：函数z = xy的图形是双曲抛物面.在区域-2 < %< 2,-2 < >- < 2 作出它的图形.输入Plo(3D[x*y, {x,・2,2},{y,・2,2 ),BoxRatios-> {1,1,2},PIotPoints->30]输出图形略.也可以用ParametricPlot3命令作出这个图开彳，输入ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],rA2*Cos[t]* SinRl), {r,0,2}, {t,0,2 Pi) ,PlotPoints->30]输出为图2.13比较这些图形的特点.例2.9(教材例2.7)作出圆环x = (8 + 3 cos v) cos u. y = (8+ 3 cos v)sin u.z =7sin v ,(()Identity]; g2=ParametricPlot3D[ {2Cos[u]A2,Sin[2uJ,v},{u