直线的交点坐标与距离公式（含答案） 高二数学教材同步 学案（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

直线的交点坐标与距离公式 目标导航1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．3.掌握两点间距离公式并会应用.4. 用坐标法证明简单的平面几何问题．5.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.6.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离． 知识解读知识点一　两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有 .(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 .2．两直线的位置关系方程组的解一组无数组 直线l1与l2的公共点的个数一个 零个直线l1与l2的位置关系 重合 【答案】A1a＋B1b＋C1＝0 无解 无数个 相交 平行知识点二　两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.【答案】知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的 的长度夹在两条平行直线间 的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【答案】垂线段 公垂线段 知识点四 对称问题1．点关于点的对称点P（x0,y0）关于A（a,b）的对称点为P’（2a-x0,2b-y0）.2．点关于直线的对称设点P（x0,y0）关于直线的对称点为，则有，可求出x’，y’.3． 直线关于直线的对称（1） 若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2.（2） 若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行直线间的距离即可求出l1的对称直线.跟踪训练一、单选题1．若点在直线：上，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的几何意义为点到点距离的平方，其最小值即可转化为点到直线：的距离的平方.【详解】由已知的几何意义为点到点距离的平方，故其最小值为点到直线：的距离的平方，即，故选：B.2．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解；【详解】解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；故选：D3．在平面直角坐标系中，已知直线与直线互相平行，且它们间的距离是，则等于（       ）A．-6 B．1 C．0 D．2【答案】C【分析】先由直线与直线互相平行，得到，再根据两平行线之间的距离为求解.【详解】直线与直线互相平行，所以，因为两平行线之间的距离，所以，解得，整理得或-8（负值舍去），故.故选：C.4．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（       ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解.【详解】设，直线的方程为，点到直线的距离，，所以，解得：或，所以点的坐标为或.故选：A5．光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点关于轴的对称点为，再计算即为所求.【详解】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C.6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）A．无论，，如何，方程组总有解B．无论，，如何，方程组总有唯一解C．存在，，，方程组无解D．存在，，，方程组无穷多解【答案】B【分析】通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可.【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程组有唯一解.故选：B7．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（       ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等得，解得或，即直线方程为或.故选：C.8．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，直线与直线和相交，联立方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时与直线,的交点分别为，截得的线段长，符合题意.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且设直线与直线和的交点分别为解方程组，解得；解方程组，解得.由,得，解得，即所求直线的方程为综上所述，所求直线的方程为或故选：B.二、多选题9．下列说法中，正确的有（       ）A．直线必过定点B．直线在轴上的截距为1C．直线的倾斜角为D．点到直线的距离为1【答案】AC【分析】对A,化简方程令的系数为0求解即可.对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.对D,利用横纵坐标的差求解即可.【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.对B, 在轴上的截距为.故B错误.对C,直线的斜率为,故倾斜角满足,即.故C正确.对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D错误.故选：AC.10．设直线，，则下列说法错误的是（       ）A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B． 与至多有无穷多个交点C．的充要条件是D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线【答案】ACD【分析】利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D；【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C：当且时，故C错误；对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；故选：ACD11．下列说法中，正确的有（       ）A．点斜式可以表示任何直线B．直线在轴上的截距为C．直线关于对称的直线方程是D．点到直线的的最大距离为【答案】BD【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A；直接令求解直线在轴上的截距判断B；结合关于直线对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点求解即可判断D.【详解】解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确；对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误；对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.故选：BD12．下列结论错误的是（       ）A．过点，的直线的倾斜角为B．直线与直线之间的距离为C．已知点，，点在轴上，则的最小值为D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ABD【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义求出倾斜角可判断A；根据两平行线间的距离可判断B；点关于轴的对称点为，则求出最小值可判断C；求出临界值和，由可判断D，进而可得符合题意的选项.【详解】对于，因为，，所以，因为直线的倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为，故选项A错误；对于B，由可得，与平行，则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，对于C，点关于轴的对称点为，则，所以，的最小值为，故选项C正确，对于D，，，又因为直线与线段没有公共点，所以，故选项D错误，故选：ABD.三、填空题13．直线 与直线 之间的距离为_________.【答案】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】因为直线 与直线平行,而直线可化为，故直线 与直线 之间的距离为 ，故答案为：14．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为________．【答案】3【分析】要满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．利用导数的的几何意义和切线的斜率，求出切点的坐标，再根据点到直线的距离公式即可求出结果．【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，又，于是，则；所以，于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点有且仅有个，所以，解得或，又当时，函数的图象与直线没有交点，所以不满足；故．故答案为：.15．已知直线与，其中k､.若直线，则与间距离的最小值是___________.【答案】【分析】先由求出的值，再由两平行线间的距离公式表示出与间距离，从而可示出其最小值【详解】因为与，且，所以，得，所以直线，即，所以与间距离为，所以当时，取得最小值故答案为：16．设，，则的最小值为______；已知x、y满足，若，则d的最小值______．【答案】        【分析】利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求解的最小值；将已知转化为，可看作点和到直线上的点的距离之和，求出点关于直线的对称点的坐标，则的最小值为，计算可得结论．【详解】解：因为，，则，即的最小值为；，可看作点和到直线上的点的距离之和，关于直线的对称点设为，，则，解得，，所以的坐标为，则的最小值为．故答案为：；．四、解答题17．已知点，直线，直线.(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；(2)求直线关于直线的对称直线方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程【详解】(1)设点，则由题意可得，解得，所以点B的坐标为，(2)由，得，所以两直线交于点，在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，所以直线为，即，所以直线关于直线的对称直线方程为18．已知的三个顶点是，，.(1)求边的垂直平分线方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【。