高中数学第四讲 坐标变换.doc

第四章第四章 坐坐 标标 变变 换换一、学习目的一、学习目的通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义 和性质；熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、 移轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用．本章计划 12 学时，总结与复习 3 学时．二、重点、难点二、重点、难点 （一）教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质； （二） 教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析4.1 平面的仿射坐标变换平面的仿射坐标变换4.1.1 点的仿射坐标变换公式点的仿射坐标变换公式平面上给了两个放射坐标系：和为说话方便起见，前一个称12[ ; ,]O e eu r u u r''' 12[;,]O e eu u r uu r为旧坐标系，简记为；后一个称为新坐标系，简记为点（或向量）在中的IIIMu rI坐标系称为它的坐标（或旧坐标） ；在中的坐标称为它的坐标（或新坐标） 为了研IIIII 究同一点的坐标与坐标的关系，就首先要确定与的相对位置MIIIIII设的原点坐标的坐标是，设的基向量,的坐标分别是，II'000(,)xyII' 1eu u r ' 2euu r I1121(,)aa。

现在我们来求点的坐标与它的坐标之间的关系1222(,)aaMI( , )x yII''( ,)x y因为，图 1eu r0' 2euu r' 1eu u r'0Muu r2eu u r图 4.1'''''' 0 10212'' 0 10211 121221 12221'''' 112101212202()()()()()()(),OMOOOMx ey ex ey ex ey ex a ea ey a ea ea xa yx ea xa yy euuuu ruuuu ru u ruu ruuuu ru ru u ru ru u ru ru u ru ru u ru ru u r所以(4.1)''11210 ''21220, .x a xayx yaxayy 公式称为平面上坐标到的点的仿射坐标变换公式它把任意一点的坐标(4.1)IIIMI表示成它的坐标的一次多项式 x yII'',x y定理定理 4.14.1 平面上点的仿射坐标变换公式的系数行列式不等于零，即(4.1)111221220.aa aa证明证明：假设中系数行列式为零，则由定理 1.4 知，与共线矛盾。

所以结论成立4.1)由于公式中的系数行列式（记为）不等于零，因此把看成的方程组，可(4.1)d(4.1)'',x y以求得唯一解：012' 2212220120 022110' 2111210110 22011()(4.2) 11()xxaxa xa ya xa yyyaddaxxya xa ya xa yayydd公式把任意一点的坐标表示成它的坐标的一次多项式，称它是到(4.2)MII'',x yI, x y的点的仿射坐标变换公式点的仿射坐标变换公式4.1.2 向量的仿射坐标变换公式向量的仿射坐标变换公式现在来看平面上的向量的坐标与它的坐标之间的关系设mu rI( , )u vII''( , )u v，其中的坐标为,的坐标为则12mM Mu ruuuuuu riMI( ,)iix yII''(,),1,2.iixyi '''' 21112212011 12110'''''' 112121211121'''' 21212222021 12210'''''' 212122212122()()()(),()()()(),uxxa xa yxa xa yxaxxayya ua vvyya xa yya xa yyaxxayya ua v即(4.3)'' 1121 '' 2122,.ua ua vva ua v 称为平面上坐标到的向量的仿射坐标变换公式向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量的坐标(4.3)IIImu rI表示成它的坐标的一次其次多项式（即没有常数项） ，这是与点的坐标变换公, u vII'',u v式不同的地方。

平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看， 则点和向量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别；但是如果取两个仿射坐标系 （它们的原点不重合） ，通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式中有常数项，而向量的坐标变换公式中就没有常数项4.1)(4.3)由于中系数行列式不为零，因此可反解出：(4.3)(4.4)' 2212' 21111() ,1().ua ua vdva ua vd 这是到的向量的仿射坐标变换公式由看出，的基向量的坐标分别是III(4.4)I12,e eu r u u r22211211(,),(,)aaaadddd作业：习题 4.1：3§§4.2 矩阵及其运算矩阵及其运算4.2.1 矩阵的概念及矩阵的运算矩阵的概念及矩阵的运算定义定义 4.1 个实数排成行，列的一张.表s ng(1,2,, ;1,2,, )ija is jnLLsn111212122212nnsssnaaa aaaaaa    L L LLLL L称为一个矩阵sn定义定义 4.2 两个矩阵，如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称,A B它们是相等的矩阵，。

AB （（1））矩阵的加法和数量乘法矩阵的加法和数量乘法定义定义 4.3 若都是矩阵，则(),()ijijAaBbsn，111112121121212222221122:nnnnsssssnsnababab abababABababab  L L LLLL L这种运算称为矩阵加法（或减法） 定义定义 4.4 若都是矩阵，是实数，则()ijAasnk，111212122212:nnsssnkakaka kakakakAkakaka   L L LLLL L这种运算称为矩阵的数量乘法 矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律：对任意的矩阵，实数，有sn, ,A B C, k l(1); (2)()(); (3)0; (4)()0; (5)1; (6) ()() ; (7)(); (8) ().ABBAABCABCAAAA AAk lAkl Akl AkAlAk ABkAkB  （二）（二） 矩阵的乘法矩阵的乘法定义定义 4.5 若都是矩阵，都是矩阵，则规定乘以得到一个()ijAasn()ijBbn rAB矩阵（记作） ，的元素是的第 行元素与的列元素乘积之和，即srABAB( , )i jAiBj的元素：，其中。

AB( , )i j1nikkj ka b1,2,, ;1,2,,is jrLL矩阵乘法满足下述规律：对任意的矩阵，实数，有sn, ,A B Ck(1)()()();(2) ()();(3)()();(4) ()()().AB CA BCA BCABACBC ABACAk ABkA BA kB结合律左分配律右分配律（三）（三） 矩阵的转置矩阵的转置定义定义 4.64.6 把一个矩阵的行、列互换得到的矩阵称为的转置转置，记为（或） s nAAA'A矩阵的转置满足下列规律：(1)();(2) ();(3) ();4().t tttttttttAAABABkAkAABB A（）定义定义 4.74.7 级矩阵如果满足：nA，tAA则称是对称矩阵对称矩阵A4.2.34.2.3 方阵的行列式方阵的行列式若，则称是非奇异的非奇异的；否者称为奇异的奇异的0A A定理定理 4.24.2 若和都是级矩阵，则 ABn= A.ABB定义定义 4.84.8 若对于级矩阵，存在矩阵，使得nAB,=AB BAI 则称是可逆矩阵可逆矩阵，称是的逆矩阵逆矩阵。

ABA定理定理 4.34.3 矩阵可逆的充分必要条件是（即非奇异） A0A A命题命题 4.14.1 若对于方阵，存在方阵，使，则是的可逆矩阵，并且AB=EABA-1A =B 利用命题 4.1 容易证明可逆矩阵具有下述性质：（1）若均是级可逆矩阵，则可逆，并且,A BnAB111().ABB A（2）若可逆，则也可逆，并且AtA11 t()() .tAA（3）若可逆，则.A1tAA4.2.54.2.5 正交矩阵正交矩阵定义定义 4.94.9 若一个级矩阵适合 nA=EtAA则称是正交矩阵正交矩阵A 命题命题 4.24.2 级矩阵是正交矩阵的充分必要条件为nA.-1=tAA从而矩阵是正交矩阵的充分必要条件为.tAAE容易证明正交矩阵有下述性质：（1）若均是级正交矩阵，则也是正交矩阵；,A BnAB（2）若是正交矩阵，则也是正交矩阵；AtA（3）若是正交矩阵，则或（在证明这条性质时，要用到这一事实） AA =1-1tAA命题命题 4.34.3 是正交矩阵的充分必要条件为：的每一行元素的平方和等于 1，每两行对AA 应的元素乘机之和等于零，即4.15（）211,1,2,, ;nik kainL（4.16） 10,;nikjk ka aij命题命题 4.44.4 是正交矩阵的充分必要条件为：的每一列元素的平方和等于 1，每两列对AA 应的元素乘机之和等于零。

§4.3 平面直角坐标变换平面直角坐标变换设，（I[O;e1,e2],II[O;e'1,e'2]）都是直角坐标系，本章§1 和§2 中12[ ;,]O e er r12[; ,]O e e u r u u r关于仿射坐标变换的一般结论和方法对于直角坐标变换都成立本节来进一步研究直角坐 标变换的特殊性4.3.14.3.1 直角坐标变换公式直角坐标变换公式设的 I 坐标为为的 I 坐标分别为，则 I 到 II 的过渡O0012(,),,xye eu r u u r11211222(,),(,)aaaa矩阵是A=   22211211 aaaa定理定理 4.4 设 I 和 II 都是直角坐标系，则 I 和 II 的过渡矩阵是正交矩阵；并且 II 到A I 的过渡矩阵是A证明证明 因为,并且 I 是直角坐标系，所以有'''' 1212e11,eeeu ru u ru ru u r ，(4.18)0.aaaa1,aa1,aa222112112 222 122 212 11由命题 4.4 知，是正交矩阵AII 到 I 的过渡矩阵为，由于是正交矩阵，所以。

1AA1tAA I 到 II 的点的直角坐标变换公式为：.''x0022212111              yxyx aaaay于是，II 到 I 的点的直角坐标变换公式为：.1''00222112110022211211                   yyxxaaaa yyxxaaaayxI 到 II 的点的直角坐标变换公式为：.''''u22211211              vuyx aaaav于是，II 到 I 的点的直角坐标变换公式为：              vu yx aaaav'' 'u'221221114.3.24.3.2 直角坐标变换中的过渡矩阵直角坐标变换中的过渡矩阵直。