2018春中考数学《中考中的古诗词》.doc

数学文化讲堂（三）数书九章——三斜求积术由中国南宋数学家秦九韶(约1202～约1261)所撰.本著以问题集的形式收录81个问题，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中就包括了“三斜求积术”.材料我国著名的数学家秦九韶于 1247年在《数书九章》中提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，减中斜平方，取相减后余数的一半的平方而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，减上面所得的那个数.相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积. 三斜求积术用现代式子表示为： S＝，其中a,b,c分别表示三角形三边长，S为面积.1. 在△ABC中，当AB＝7，AC=6,BC=5时，请运用“三斜求积术”公式计算△ABC的面积.周髀算经——勾股问题《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，同时也是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要数学成就是介绍勾股定理及其在测量上的应用.材料1《周髀算经》中有“若勾三，股四，则弦五”的记载．2. 如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）第2题图A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 材料2赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”，证明了勾股定理的准确性，如图所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.证明方法如下:设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b,斜边为c. 朱实面积＝2ab，黄实面积＝（b-a）2=b2-2ab+a2，朱实面积+黄实面积＝a2+b2=大正方形面积＝c2.3. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于________. 第3题图 第4题图4. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为___________.5. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是__________.第5题图九章算术——勾股问题《九章算术》大约于东汉初年（公元一世纪）成书，共九章，汇总了战国和西汉时期的数学成果，是当时世界上最简练有效的应用数学，其中勾股类问题至今被沿用.6. 勾股中记载这样一个问题:今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问邑方几何？意思是说：如图，正方形ABCD，E、F分别为AD、AB中点，ME⊥AD且ME＝30，GF⊥AB且GF＝750，连接MG，MG恰好过正方形端点A，则正方形ABCD的面积为______________. 第6题图 第7题图7. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”翻译为：有一个边长为1丈的正方形水池,在池的正中央长着一根芦苇,芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处,芦苇的顶端恰好到达水面．则水深尺，芦苇长尺.8. “今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”翻译：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺，葛藤生于圆柱底部A点，等距离缠绕圆柱7周，恰好长到圆柱上底面B点，求葛藤的长度是多少尺．第8题图9. “今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行.甲南行十步而邪东北与乙会.问甲乙行各几何？”译文为：已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲乙各走了多远？算法统宗——勾股问题10. 程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.第10题图海岛算经——测量问题 刘徽，公元3世纪人，中国古代伟大的数学家.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产.《海岛算经》是中国学者编撰最早的一部测量数学著作，都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数进行计算，从而求得山高或谷深，也为地图学提供了数学基础.（北师九上104页）11. “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何（如图）”.译文：有一根竹子高一丈，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高？第11题图12. 今“有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺.从勾端望谷底，入下股九尺一寸.又设重矩于上，其矩间相去三丈.更从勾端望谷底，入上股八尺五寸.问谷深几何？”题目的大意是：测量一个山谷AE的深度，拿一个高AB为6尺的矩尺△ABD放在岸上，从B端看谷底EG（D在BG上），下股AD为９尺１寸，向上平移矩尺3丈，现从B′端看谷底EG，上股A′D′为8尺5寸，试求谷深AE.第12题图 答案1. 解：在△ABC中，AB=7,AC=6,BC=5,则a=BC=5,b=AC=6,c=AB=7，∴S△ABC＝＝6.2. C【解析】如解图，延长AB交KL于点O.延长AC交ML于点P，∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝32+42＝5，由题意知BC＝BF，∠BOF＝∠BAC＝90°，∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠OBF=∠ACB,∴△OFB≌△ABC,∴OB=AC=4,同理CP＝AB＝3，∵四边形OBEK、ADJI、CHMP都是矩形，∴KE＝DJ＝AI＝AC＝4，DE＝AB＝3，JI＝AD＝AB＝CP＝HM＝3，IH＝AC＝4，∴S矩形KJML＝KJ·JM＝（KE+DE+DJ）·（JI+IH+HM）＝（4+3+4）×（3+4+3）＝110. 第2题解图 第4题解图3. 64. 5【解析】如解图，∵S正方形ABCD=13，∴AB=13，∵AG=a,BG=b,∴a2+b2=AB2=13，∵(a+b)2=a2+2ab+b2=21，∴2ab=(a+b)2-（a2+b2）=21-13=8，∴ab=4,∴S△ABG=12a·b=12×4=2，∴S小正方形=S大正方形-4S△ABG=13-4×2=5.5. 766. 900007. 12，138. 答：葛藤长29尺.9. 答：甲行24.5步，乙行10.5步.10. 答：秋千绳索的长度为14.5尺.11. 答：竹干还有4.55尺高.12. 答：谷深AE为41丈9尺.9。