2023~2023学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案.docx

2023~2023学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案 ; 西南交通大学2023－2023学年第(二)学期半期考试题班级学号姓名 一、单选题〔共5个小题，每题4分，共20分〕． 《密封装订线密封装订线密封装订线 1．累次积分《d《《20cos《0f(rcos《,rsin《)rdr可表示成【D】1y《y200x《x2〔A〕《dy《01011《y201《x2f(x,y)dx〔B〕《dy《10f(x,y)dx f(x,y)dy〔C〕《dx《0f(x,y)dy〔D〕《dx《0解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：0《x《1,0《y《x《x2， 所以故选D 2. 两直线x《1《y《1z《1《与x《1《y《1《z相交，那么必有【D】 2《535〔C〕《《《 〔D〕《《424〔A〕《《1 〔B〕《《《x《t《1《解：直线x《1《y《1《z的参数方程为：《y《t《1，将此参数方程代入直线《z《t《《t《6y《1z《1t《2t《1《x《1《《《，得t《2《，解得《 5，故故选〔D〕2《2《《《《《4x3《y33．极限lim2=【A】x《0x《xy《y2y《0 (A) 0(B) 1(C)1 (D)不存在极限 2x3《y3(x《y)(x2《xy《y2)《lim《lim(x《y)《0，故故选〔A〕解；因为lim2。

22x《0x《xy《y2x《0x《0x《xy《yy《0y《0y《04．曲面xyz《2的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V《【C】 (A)3 (B)6 (C) 9 (D)12解：设曲面xyz《2在第一卦限的任意一个切点为(x,y,z)，那么切平面方程为：yz(X《x)《xz(Y《y)《xy(Z《z)《0，其中xyz《2，即yzX《xzY《xyZ《3xyz《6，那么该切平面与三个坐标轴的交点分别为：(666,0,0)，(0,,0)，(0,0,)，xzxyyz那么该切平面与三个坐标面所围四面体的体积V《故故选〔C〕16663636《《《9， 226yzxzxy(xyz)25．二元函数z《f(x,y)在(x0,y0)处可微的充沛条件是【D】 (A) f(x,y)在(x0,y0)连续；(B) fx《(x,y)，fy《(x,y)在(x0,y0)的某领域内存在；(C) 当(《x)2《(《y)2《0时，《z《fx'(x0,y0)《x《fy'(x0,y0)《y为无穷小量； (D) 当(《x)《(《y)《0时，22《z《fx'(x0,y0)《x《fy'(x0,y0)《y(《x)《(《y)22为无穷小量；解：根据二元函数在某一点处可微分的定义和可微的必要条件，可知故选〔D〕。

二、填空题〔共5个小题，每题4分，共20分〕． 6．点(4,1,《6)关于直线L:x《1yz《1《《的对称点坐标为(2,5,2) 23《1x《1yz《1《《上的投影点，从而所求点即为点23《1解法一：〔先求出点(4,1,《6)在直线L:(4,1,《6)关于该投影点的对称点〕《x《2t《1x《1yz《1《《《直线L:的参数方程为：《y《3t， 23《1《z《《t《1《那么点(4,1,《6)在直线L:x《1yz《1《《上的投影点可设为(2t《1,3t,《t《1)， 23《1从而有(2t《3,3t《1,《t《5)(2,3,《1)《0，即2(2t《3)《3(3t《1)《(《t《5)《0《t《1， 故点(4,1,《6)在直线L:x《1yz《1《《上的投影点为(3,3,《2)， 23《1 从而点(4,1,《6)关于直线L:点，即为(2,5,2)x《1yz《1《《的对称点即为点(4,1,《6)关于点(3,3,《2)的对称23《1解法二：〔直接设所求点的坐标，然后根据所求点与已知点所构成的向量垂直于已知直线的方向向量，并且所求点与已知点的中点在已知直线上〕《(x《4,y《1,z《6)(2,3,《1)《0《《设所求点的坐标为(x,y,z)，根据条件，得《x《4《1y《1z《6《1，《2《2《2《23《1《《x《2《解得《y《5，即所求点为(2,5,2)。

《z《2《7．已知A《(《3,0,4)，B《(5,《2,《14)，那么《AOB的角平分线上的单位向量c《《《016(2,1,1)《x《4t《3《解一：因为BA《(8,《2,《18)，那么直线AB的参数方程为：《y《《t，《z《《9t《4《记《AOB的角平分线与直线AB的交点为C(4t《3,《t,《9t《4)，且点C(4t《3,《t,《9t《4)位于线段AB内，从而t《0；OA《OC那么根据条件，有点C(4t《3,《t,《9t《4)到直线OA、OB的距离相等，即OA《OB《OCOB，也即(《3,0,4)《(4t《3,《t,《9t《4)(5,《2,《14)《(4t《3,《t,《9t《4)， 《(《3,0,4)(5,《2,《14)《t(4《8,22t《t11,36)《3t(4《,11,《3t)《15《2(4, 11,3)(4t《,1t1,t3)《从而有5《3t《t《2《t《1或t《《1〔舍去〕， 211故点C(4t《3,《t,《9t《4)为C(《1,《,《)，22111从而与向量OC《(《1,《,《)同方向的单位向量c0《《(2,1,1)；226 解二：取OA的单位向量a0《110《3,0,4b《，的单位向量OB《《《5,《2,《14《，从而《AOB的515角平分线所在直线的方向向量为a0《b0《11422《《,《,《《《3,0,4《《《5,《2,《14《《《《《，从515151515《《16(2,1,1)。

而可得《AOB的的角平分线方向的单位向量为c0《《xzzz28．设z《z(x,y)由方程《ln确定，那么dz《dx《dyzyx《zy(x《z)解法一：先求出《z《z《z《z，，再利用二元函数全微分的公式写出dz《dx《dy 《x《y《x《y对方程xz，得 《ln两边分别关于x、y求偏导〔其中z《z(x,y)〕zy《z《zy《zz《xy1《z《zzx《zy《zz2《y《x《《《，《2 《《《22zzy《x《xx《zz《yzy《yy(x《z)《z《zzz2故dz《dx《dy《dx《dy《x《yx《zy(x《z)〔或令F(x,y,z)《xz11x1《《《ln，那么F《《,F《,F《《《， xyz2zyzyzzF《F《y《z《zzz2《zz《zz2x所以，从而dz《 dx《dy《dx《dy〕《《《,《《《《《x《yx《zy(x《z)《xF《z《x《yFy(z《x)zz解法二：利用多元函数全微分形式的不变性求解 对方程xz《ln两边同时取全微分，得 zyxz11111d()《d(ln)《d(x)《d(lnz《lny)《x(《2)dz《dx《dz《dy zyzzzzy1111zz2《x(《2)dz《dx《dz《dy《dz《dx《dy，zzzyx《zy(x《z)zz2即dz《dx《dy。

x《zy(x《z) 9. 函数u《xy2z在点(1,《1,2)处沿方向(2,《4,1)的方向导数最大解：由方向导数与梯度的关系可知，三元函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)沿梯度gradf(x0,y0,z0)方向的方向导数最大，且方向导数的最大值为gradf(x0,y0,z0)从而此题所添的方向即为gradu(1,《1,2)《(y2z,2xyz,xy2)10. 计算《dy《1edx《《1dy《221214yyx1yy(1,《1,2)《(2,《4,1)311edx《e《e282yy《x《edx《《1dx《2edy《《1《xe《dxx22《《x21x1yxyxxyx解：因为《1214dy《1edx《《1dy《22yyx1y《《1(xe《xex)dx《211《1114e《《(x《1)ex《1《3e《《0《(《1e2)《《3e《1e2，《《《《182222《《8yy所以《dy《1edx《《1dy《221214yyx1311edx《e《e282yx三、计算题和应用题〔共5个题，每题12分，共60分，要求有必要的步骤〕． 11.求椭球面2x2《3y2《z2《9与锥面z2《3x2《y2的交线上点(1,《1,2)处的切线与法平面方程。

解：椭球面2x2《3y2《z2《9在点(1,《1,2)处的法向量为：n1《(2x,3y,z)锥面z2《3x2《y2在点(1,《1,2)处的法向量为：n2《(3x,y,《z)(1,《1,2)(1,《1,2)《(2,《3,2)《(3,《1,《2)，在椭球面2x2《3y2《z2《9与锥面z2《3x2《y2的交线上点(1,《1,2)处的切线的方向向量为：s《n1《n2《(2,《3,2)《(3,《1,《2)《(8,10,7)， 从而所求切线方程为：x《1y《1z《2《《， 8107法平面方程为8(x《1)《10(y《1)《7(z《2)《0，即8x《10y《7z《12《01《2z12. 设z《f(esiny,x《y,)，求x《x《yx22 。