(完整版)二次根式的混合运算.docx

二次根式的混合运算 【教学进度】二次根式§11.6【教学内容】 二次根式的混合运算【重点难点剖析】一、主要知识点 1．有理化因式：见课本 P198 第 11 行~第 12 行 2．二次根式混合运算(1) 二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用(2) 二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行二、重点剖析1. 有理化因式 _(J)二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如 込的有理化因式可以是、3,2舅,3打……但在一般情况下，手们所找的有理化因式应是最简单的，例如：-J8的有理化因式为<1，5 J2 - 3运的有理化因式为5<2 + 3<52)一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形：④ m、】a + n^b 和 m：a — njb2. 分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母3. 二次根式混合运算注意事项(1) 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根 式中仍然适用2) 二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式3) 二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成 一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。

4) 在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用a +b 1 1abab<3 -迈 +J1 — 1 1 1 = + 例如可以由 =—+ 丁来计算=■ = —=— + —（抒-⑵（迈—1） <2 — 1 <3-迈二迈+1 +打+迈=1 + 2迈+运典型例题】例 1 计算1）<5 —忑—2 + 丁3/ I n ab ；—— n 阪、 , n（3） （a2 — mn + ）十 a2b21m m m X n m（4） *b 十（\.：3 + \：2） + （、：3 +、：2）十 \；6分析（1）可运用a2 - b2二（a + b）（a - b）计算（ 2）每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算（ 3 ）把括号中的每一项化成最简二次根式，再根据整式除法法则，a十b二a - 进行运算b解（1）（4）可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算〜 1 1+ J5 1-V5、」+ J5 1 -45, 1 ，- 1原式=（2 + 亠）（2 -》）=「5 U = 1（2 +、•-'3）22）原式=2 2込（訂-1）22<3G-'5 + v'3）3）（訂+叽3 -1） 蒂-朽）（杼+打）（2-朽）（2 +再）15 f5 - <15 + 3 - （7 + 4 ⑶一2 2^.a2 ；——ab 、—— 1 ■——、 1 \m原式二（ mn - mn + mn） •m m m a 2 b 2 \ na2 — ab +1 .— 1 ■— a2 — ab +1 a2 + ab +1= mn •——-——v mn = • mn = " a 2 b 2 mn<6G；3 -迈）ab :m a 2 b 2 n a 2 b 2 mn a 2 b 2v 6 <3 + 迈 <6G；3 - •、◎） G：'3 +、◎） •、帀+ = +•<3 + 迈 a 6 G/3 + •迈）（再-迈） <6 •話=3迈-2壬3 +丄託+1再=-<2 - 5密2 3 2 376 + 4 J3 + 3 J2例2 化简（*6 + ^'3）（神 3 + \! 2）分析本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来，\ 6 + 4^3 + 3i：2 = G 6 + \；3） + 3（^3 + 丫 2），可运用关系：4）原式=又不可能直接约分，但如果注意到a +b 1 1+ ~来计算。

abab3G/3 + 迈）解原式=（•話+朽）（启+迈）+ （韶+ •+ +迈）1 3= + 爲+帝 <6 + <3=y3 -迈+ ：：6 -打=屈-迈 例3先化简再求值4「 a + ^b ]

分析 先对v 11 - 6迈进行化简，11- 6迈可以进行配完全平方解 <11 - 6迈=v 11 - 2価=f 9)2 - ^18 + (迂)2 = “3-迈)2=< 9 — J2 = 3 - \:2 通过估算可知3 -巨 的整数部全为1，则 y = (3 -迈)-1 = 2 -迈/. x + y + — = 1 + (2 一、：2) + . = 3 一、；2 + 2 + ^2 = 5y 2-^2例6把下列各式分母有理化12 1(1) (2)分析 分母里所含根号的个数多于两个，分母有理化时注意技巧，(1)题可分子分母同乘以、辽+ 43 + 45 , (2)题先用因式分解的方法把分母化为积的形式12^/2 + 爲 + J5) 12(血+爲 + 45解(1)原式= =—(J2 + P3 - J5)&2 + 43 + 巧) 2J6=2込+ 3迈+顾(2)原式=(1 +、②+ 朽(1+迈)=G/2 +1)^/3 +1)(p'2 —1)(*''3 — 1) v6 - J2 - \!3 +1例 7 已知 a = v 17 — 1，求(a5 + 2a4 —17a3 — a2 + 18a —17)19"的值分析 直接把a的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式同时变形，再代入计算解 *.* a —<17 — 1 a +1 =、：17 (a+1) 2=17原式=L5 + 2a4 - (a +1)2 - a3 - a2 + [(a +1)2 +1] - (a +1)2 ^999=[a 5 + 2a 4 — (a 5 + 2a 4 + a 3) — a 2 + (a 2 + 2a + 2)a — a 2 — 2a —1]1999=(-a 3 一 a 2 + a 3 + 2a 2 + 2a 一 a 2 一 2a 一 1)1999 = (-1)1999 = -1点评：由a +1 = J17 即(a +1)2 二 17，本题中的一 17a3写成-(a +1)2 -a3 , 18a 写成 17a+a=[(a +1)2 + 1]a，以便对所求代数式进行化简求值例8计算 I： 2 —斗 3 —、•' 2 + . 3分析注意 2 -13 - 丫 2 + I：3 <02 -訂2 +运都不能配成完全平方可用方程的思想方法求解。