工科数学分析基础上册D44傅里叶级数.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第四节第四节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数第四章第四章 傅里叶级数傅里叶级数 四、周期为四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动简单的周期运动 :(谐波函数谐波函数)( A为为振幅振幅, 复杂的周期运动复杂的周期运动 :令令得函数项级数得函数项级数 为为角频率角频率, φ为为初相初相 )(谐波迭加谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系证证:同理可证同理可证 :正交正交 ,上的积分等于上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2  的周期函数的周期函数 , 且且右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有证证: 由定理条件由定理条件,①①②②对对①①在在逐项积分逐项积分, 得得目录 上页 下页 返回 结束 ( (利用正交性利用正交性) )类似地类似地, 用用 sin k x 乘乘 ①① 式两边式两边, 再逐项积分可得再逐项积分可得目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 ①① 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式由公式 ②② 确定的确定的①①②②以以的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数称为函数 简介简介 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设设 f (x) 是周期为是周期为2  的的周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的的傅傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且且有有 x 为间断点为间断点其中其中( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.简介简介 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2  的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明说明:f (x) 的情况见右图.目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2  的周期函数的周期函数 , 上的表达式为上的表达式为将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数.解解: 它在它在 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 当时, 级数收敛于目录 上页 下页 返回 结束 周期延拓傅里里叶展开上的傅里叶级数定义在定义在[–  , ]上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开的傅氏级数展开法法其它目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数将函数则则解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶级数叶级数.2 为为周期周期的函数的函数 F(x) , 目录 上页 下页 返回 结束 当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得说明说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.目录 上页 下页 返回 结束 设已知又目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为周期为2  的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设的表达式为 f (x)  x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数. f (x) 是周期为2 的周期函数,它在解解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此目录 上页 下页 返回 结束 n＝1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图. n＝2n＝3n＝4n＝5目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义在定义在[0, ]上的函数展成正弦级数与余弦级上的函数展成正弦级数与余弦级数数周期延拓 F (x) f (x) 在 [0, ] 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 [0, ]上展成目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:在端点 x = 0,  , 级数的和为0 , 与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 目录 上页 下页 返回 结束 再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 令 x = 0 可得即目录 上页 下页 返回 结束 四、周期为四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数周期为 2l 的函数 f (x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式目录 上页 下页 返回 结束 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2) 在一个周期内只有有限个极值点设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶级数展开式为(在 f (x) 的连续点处)其中定理定理.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:其中(在 f (x) 的连续点处)如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)其中注注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数都收敛于如果 f (x) 为奇函数, 则有 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有在 x = 2 k 处级数收敛于何值?目录 上页 下页 返回 结束 (2) 将 作偶周期延拓, 则有。