高一数学人教版2019必修一上学期同步课堂 二次函数与一元二次方程不等式（知识题型）解析.docx
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2.3二次函数与一元二次方程、不等式（基础知识+基本题型）知识点一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．3.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.4.二次函数的性质 ①. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． ②. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．5.二次函数解析式的表示方法① 一般式：（，，为常数，）；知道三点的坐标用一般式。
② 顶点式：（，，为常数，）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式③交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标），当函数与x轴有两个交点时，用交点式注意中间的“-”注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.6.二次函数的图象与各项系数之间的关系 ①. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．② 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则 ③ 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 7.二次函数与一元二次方程：⑴. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ⑵. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； ⑶ 二次函数常用解题方法总结：① 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；② 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；③ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；④ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 知识点二、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为知识点三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根要点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.知识点四、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程 考点一：一元二次不等式的解法例1. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵∴原不等式的解集是.【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.考点二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0； 【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】(1) ∴原不等式的解集为.(2) Δ=a2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当Δ<0，即-2
