[工学]第四章 控制系统的分析方法完成.ppt

第四章 控制系统的分析方法 Ø早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个系统的 冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方程的子程序， 然后将已经获得的系统模型输入计算机，通过计算机的运算 获得冲激响应的响应数据，然后再编写一个绘图程序，将数 据绘制成可供工程分析的响应曲线ØMATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现，给控 制系统分析带来了福音Ø控制系统的分析包括系统的时域分析、稳定性分析、频域分 析及根轨迹分析第一节 控制系统的时域分析第二节 控制系统的稳定性分析第三节 控制系统的频域分析第四节 控制系统的根轨迹分析主要内容:第一节 控制系统的时域分析一、时域分析的几个基本概念 1 典型环节 2 传递函数：输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 3 闭环系统的开环传递函数 4 系统的开环增益 5 控制系统的稳定性 6 控制系统的快速性 7 控制系统的准确性：稳态误差 8 控制系统的性能指标：上升时间、峰值时间、超调量、 调节时间等二、用拉氏变换定义传递函数传递函数是基于微分方程与Laplace变换引出的概念，不 表明系统的物理性质只要动态性能相似，不同的系统可以 用同一传递函数描述。

MATLAB函数命令：拉氏变换函数：F=laplace()单位阶跃函数：Heaviside(t) 不能直接调用，必须当一 个符号对象加以定义与使用，即sym(‘heaviside(t)’)单位脉冲函数：Dirac(t) u=sym(‘Dirac(t)’)例：系统在激励r(t)=1(t)+t*1(t)的作用下，测得的系统响 应为： 已知系统的初始状态为零，求系统的传递函数 Mylaplace.m程序如下：syms t s r R c C; r=1*sym('Heaviside(t)')+t*sym('Heaviside(t)') ; c=t+0.9-0.9*exp(-10*t); R=laplace(r) C=laplace(c) G0=C/R G=factor(G0)一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应 来描述响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数 作用下对象的响应，控制系统常用的输入函数为单位阶 跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）在MATLAB的 控制系统工具箱中提供了求取这两种输入下系统响应的 函数。

三、时域分析的一般方法q求取系统单位阶跃响应：step()q求取系统的冲激响应：impulse()1、step()函数的用法 exp4_3_.mqy=step(num,den,t)或 y=step(sys,t),其中num和den分别为系统传递函数描述中 的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end 等步长地产生出来sys是系统模型,可由函数求得,例sys=tf(num,den) 该函 数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵q[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵，iu用 来指明输入变量的序号x为系统返回的状态轨迹q如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调 用以下的格式：step(sys)；step(sys,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；q线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取，其调用格式为： dc=dcgain(num,den),dc=dcgain(sys)或dc=dcgain(a,b,c,d)q[y,x,t]=step(num,den)或[y,x,t]=step(sys),此时时间向量t由系统模型的特性自 动生成, 状态变量x返回为空矩阵。

程序如下：num=[20]; den=[1 8 36 40 0]; sys1=tf(num,den); sys=feedback(sys1,1); t=0:0.1:10; y=step(sys,t); plot(t,y) %dc=dcgain(numc,denc) dc=dcgain(sys)已知二阶系统传递函数，当 ＝1时，绘制阻尼比从 0.1到1时的阶跃响应.num=1;i=0; for bc=0.1:0.1:1 den=[1,2*bc,1];t=[0:0.1:19.9]';sys=tf(num,den); i=i+1;y(:,i)=step(sys,t); end plot(t,y)变化时阶跃响应如下2、impulse()函数的用法求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致y=impulse(num,den,t)；[y,x,t]=impulse(num,den)；[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)仿真时间t的选择：q对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式 可以确定 。

q对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选 大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间q一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确定，然后根据结果 ，最后确定合适的仿真时间q在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般 不易取太大q例exp4_6_.m二、常用时域分析函数时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为，系统 特征如：上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能从时间响应上 反映出来MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应、冲激响 应等进行仿真的函数外，还提供了大量对控制系统进行时域分析的函 数，如：covar：连续系统对白噪声的方差响应initial：连续系统的零输入响应lsim：连续系统对任意输入的响应对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dstep， dimpulse等它们的调用格式与step、impulse类似，可以通过help命令来察看自学 给定输入的响应函数:求给顶输入信号u的时间响应:lsim(sys,u,t)y=lsim(sys,u,t)[y,t,x]-lsim(sys,u,t,x0)例:G(s)=1/s+1,输入正弦信号，观察输出信号的相位差．num=1;den=[1 1];sys=tf(num,den); t＝0:0.01:10; u=sin(2*t); lsim(sys,u,t); hold on; plot(t,u,':');图形如下：三、时域分析应用实例MATLAB的step()和impulse()函数本身可以处理多输入多输出 的情况，因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增 加而变得复杂。

例Myk.m：已知一个单位反馈系统： 试绘制系统当k分别为1.4,2.3,3.5时的单位阶跃响应曲线MATLAB程序如下： clear num=1;den=conv(conv([1 0],[0.5 1]),[4,1]); rangek=[1.4,2.3,3.5]; t=linspace(0,20,200)’; for j=1:3s1=tf(num*rangek(j),den);sys=feedback(s1,1);y(:,j)=step(sys,t); end plot(t,y(:,1:3)),grid gtext(‘k=1.4’),gtext(‘k=2.3’);gtext(‘k=3.5’)第二节 控制系统的稳定性分析q对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半 平面，则系统是稳定的q对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面 的单位圆内，则系统是稳定的q若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或 若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内， 则系统是最小相位系统一、系统稳定及最小相位系统判据2、直接判别（代数稳定性判别）MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此 可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否 为最小相位系统进行判断。

二、系统稳定及最小相位系统的判别方法1、间接判别（工程方法）劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定 ，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔 维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定代数稳定判据的MATLAB实现：求解高次方程的根在当今计算机信息时代是很容易实现的， Matlab用roots()函数求解多项式的根调用格式：root(P) P是 降幂排列多项式系数向量输出是求出的根，存放在ans中若 能求得P，则根就可以求出，并进而判断所有根的实部是否小于 零若系统闭环特征方程的所有根的实部都小于零，则系统闭环 是稳定的，只要有一个不小于零，则系统不稳定例：设系统特征方程为试判别系统的稳定性MATLAB语段：P=[1 2 3 4 5];roots(P)执行结果ans=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i特征根中有2个根的实部为正值，所以系统是不稳定的例exp4_1.m 已知某系统的模型如右所示：要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统例exp4_2.m系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统 是否为最小相位系统。

ii=find(条件式)用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示 例如 exp4_1.m中的条件式为real(p>0)，其含义就是找出极点 向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii 向量中去这样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的 序号返回到ii下如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为 找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向 量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系 统稳定的结论pzmap(p,z)根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图第三节 控制系统的频域分析q频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出 带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征q频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关 系特性频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：一、频域分析的一般方法q求取系统对数频率特性图（波特图）：bode()q求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：nyquist()q频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种典型方法采用这种方法 可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念比较明确， 对于诸如防止结构谐振、抑制噪声、改善系统稳定性和暂态性能等问题，都 可以从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。

通常将频率特 性用曲线的形式进行表示，包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称 幅相曲线，MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数1、对数频率特性图（波特图） exp4_10.m exp4_10_.mq对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图横坐标为 频率w，采用对数分度，单位为弧度/秒；纵坐标均匀分度，分别为幅值 函数20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示 MATLAB提供了函数bode()来绘制系统的波特图，其用法如下： qbode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组Bode图，它们是针对连续状态 空间系统[a,b,c,d]的每个输入的Bode图其中频率范围由函数自动选取 ，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点qbode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图qbode(num,den)或bode(sys)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表 示的系统的波特图。