五章数学概念和数学原理学与教的心理分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,五章数学概念和数学原理学与教的心理分析,第五章 数学概念和数学原理学与教的心理分析,第一节 数学概念学与教的心理分析,,,第二节 数学原理学与教的心理分析,,一、概念的含义,,,（,一）概念的定义,,认识论中概念被定义为,,,“反映客观事物的共同本质属性的思维形式.”,,这一定义表明，,,概念不同于感觉和知觉，感觉反映着刺激物,,的个别属性，知觉反映客观事物的不同属性，,,而概念则反映客观事物的共同本质属性.,,,下面的两个例子可以帮助我们理解概念的这,,一哲学定义.,,,在心理学中，一般把概念定义为,,“,符号所表征的具有共同本质特征的同类事、物或性质,.”,,根据这一定义，我们在日常生活与工作中所使用的词语或其它符号，只要是正确的表征一个类别的事、物或属性，这个符号就代表一个概念.,,例如，中文符号“球”和英文符号“sphere” 对于受过教育的中国人和英国人来说，所表征的的都是一个类别，即是球体而不是长方体、锥体或者其它的几何体，他们都表示同一概念.,,,（二）概念的构成,,1、概念的命名和定义,,人们对客观现实的认识并不只是限于具,,事物的个别属性上.学习者经感觉和知觉形成,,表象，通过对表象的加工处理，抽象概括出,,反映一类事物的本质属性，于是学习者脑中,,就形成了概念.,,这时候的概念是私人的，它以表象的形式,,出现在学习者脑中，要想进行交流或者记载,,下来，就必须借助于言语或符号来表达.,,,表达概念的一种方式是给概念命名,.,,表示概念的符号称为概念的名称.一个符号一旦成为某一概念的名称，那么它就成了这个概念的代名词.只要一听到、看到或通过其它方式知道符号后，就可以唤起脑中的概念.,,概念的名称是一种符号规定，它不是最重要,,的，重要的是名称所代表的内容.,,,表达概念的另一种方式是给概念下定义,，即揭示概念这一类事物的共同本质属性，并用精炼的语言符号予以描述.,,2、概念的内涵和外延,,概念的内涵是指某一类事物的共同本质属性.,,概念的外延是指概念所反映的对象的全体,.,,,例如，数学中的“三角形”这个概念，其内涵就,,是本质属性：有三条边且彼此首尾相连接，其外,,延就是所有的三角形.,,,概念的外延中的具体对象叫做概念的例证，概,,念的外延之外的对象叫做概念的反例.,,概念的内涵和外延之间是一种反变关系,，,,即概念的内涵越多，其外延就越小；概念的内涵,,越少，其外延就越多.,,例如，在“平行四边形”的内涵中加上 ……；,,去掉“两组对边平行”的属性，就得到……,,3、概念的类别,,(1)具体概念和定义性概念,,,具体概念是指能通过观察直接获得的概念,.,,例如，“多”、“少”、“上”、“下”、学前儿童脑中的“球”概念都是一些具体概念.后者是儿童在平时接触汽球、篮球、排球、足球、网球、乒乓球、西瓜、鸡蛋这些近似球形的具体模型中形成的.,,定义性概念只能通过下定义的方式才能获得,.,,如数学中的“球”概念就是一个定义性概念，它只能通过下定义的方式获得.仅仅靠观察，学习者即使观察再多的球形物体，也不会获得“球”这个定义性概念.,,数学科学中的概念都是定义性概念.,,作为教育的数学，初中数学教科书中的概念,,并不都是严密的定义性概念，这些概念是通过给,,出概念的例证方式来予以描述的，教材回避了“定,,义”.,,如“代数式”这一概念，人民教育出版社初中代数教材第一册（上）（1992年版）第6页中是这样给出的：“上面的例子中出现了这样的式子.像这样的式子都是代数式.”到了本章的小结与复习（第33页）才给出所谓的定义性概念：“代数式是用基本运算符号（运算包括加、减、乘、除以及以后要学的乘方、开方）把数、表示数的字母连接而成的式子.”,,(2)精确概念和模糊概念,,,精确概念是指那些内涵明确，容易用某,,种规则揭示出来的概念,.,,如“矩形”、 “圆周率”、“正弦函数”这些概,,念都是精确概念.,,模糊概念是那些内涵不明显并难以用某种,,规则加以揭示的概念,.,,如书、游戏、数、式子、直线、平面这些,,概念都是模糊概念.后面四者在数学中被称为,,原始概念.,,,(3)日常概念和科学概念,,,日常概念是指未经专门的教学，而在日常,,生活中通过辨别学习、积累经验而掌握的概念,.,,如儿童脑中的“垂线”概念是日常概念，因为,,儿童根据日常经验认为垂线是与水平线垂直,,的线.,,科学概念则是在教学过程中通过揭示概念的内涵,,而形成的概念.,,,,,,二、概念的获得,,,,,概念的获得意味着要求学生掌握一类事物的,,共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属,,性，能列举出概念的例证和反例.,,,,儿童获得概念的三种基本形式是,,,,概念的形成、,,概念的同化、,,和概念的顺应.,,,,（一）概念获得的心理分析,,1.,概念的形成（concept formation）,,,概念的形成是指从大量的具体例子出,,发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的,,过程.,,,学生如何通过概念的形成方式来获得“扇形”这,,个数学概念.（P130）,,,,,,由于儿童，尤其是学前儿童的认知结构中的,,概念都是一些比较具体的概念，缺乏精确的定义,,性概念，而且理解能力有限，因此，他们获得概,,念的典型方式是概念的形成.,,例如，我们完全可以让儿童背诵“圆”这个数学,,概念：“圆是平面上到定点的距离等于定长的点的,,集合.”但是他们能否获得这个概念的意义呢？,,事实上，囿于认知水平，儿童是不可能获得这,,个精确概念的.他们只能从大量的圆形的例证和反,,例中归纳出一些视觉上的共同属性，从而获得具,,体的、模糊的、日常的圆概念.,,以概念的形成方式获得精确概念的心理过程如图5-3所示.……（P131）,,,,2．概念的同化（concept assimilation）,,,同化是指学习者的认知结构吸收新的信息，从而使,,原有的认知结构发生变化的过程.,,,概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念,,来理解接纳新概念的过程.,,,概念的同化过程不仅使新概念获得了意义，而且扩,,大和深化了原有的认知结构.,,在数学中，大多数概念是以,属概念（在概念的从属关,,系中，外延大的概念称为属概念）加种差（即关键属性,）,,的方式定义的.同化以这种方式定义的概念，,实质上就是,,对属概念重新进行分类，分类的依据是种差，并借助于具,,体的例证进行,.,,例如，要同化梯形的概念：“一组对边平行而另一组对边,,不平行的四边形叫做梯形.”就要对属概念“四边形”进行分,,类，分类的依据是,种差,：“一组对边平行而另一组对边不,,平行”.于是，从属概念中就分化出一个新的,种概念,“梯形,,再借助于丰富的例证，学习者就明确了梯形概念的内涵,,和外延.,,同化的结果，梯形概念获得了心理意义，原有的数学,,认知结构得到扩展和深化.,,,概念同化的心理过程见图5-4.,,（p133）,,,3．概念的顺应（concept accommodation）,,,顺应原本是一个生物学概念，它是指有机体调节自己,,的内部结构以适应特定刺激情境的过程.,,所谓概念的顺应，是指当原有的认知结构不能同化新,,概念时，就要调整或改变原有的认知结构，以便概括新,,概念.,,例如，当学生同化不了正、负数的概念时，可以采取,,顺应的方式。

具体做法是，,,首先，通过概念形成的方式帮助学生建立新观念：,,“现实世界中存在着大量的具有相反意义的量.”,,然后通过提出问题使学生体会到：要清楚地区分这两,,种不同的量，揭示它们之间的关系，只有算术数是不够,,的.,,最后再指出，如果把其中的一种量规定为正的，那么,,另一种量就是负的.前者用“+（算术数）”来表示，后者,,用“-（算术数）”来表示，由此就引出了正、负数的概念.,,,,（二）数学概念的两种教学模式,,由于获得概念的主要方式是概念的形成和概念,,的同化,因此，数学概念的教学主要采取两种模式.,,1．概念形成的教学模式,,概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的,,过程，因此，对于那些初次接触或较难理解的概,,念，可以采用概念的形成方式进行学习.,,其教学过程如图5-4所示. (p133),,,,,,,2．概念同化的教学模式.,,,,概念的同化实质上是学习者利用已掌握的概念去,,理解新概念，或者对原有的概念重新进行加工整理的过,,程，它是一种有意义的学习.,,以概念的同化方式来学习新概念必须具备三个条件:,,一是学习者必须具备“我要学”的动力；二是新概念必须,,有逻辑意义；三是学生原有的认知结构中必须具备同化,,新概念所需要的观念.,,这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念之间,,的关系.这就要求教师必须了解学生对原有概念掌握的,,情况.原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就,,越容易. 其教学过程如图5-12所示.,,,,三、促进数学概念学习的教学建议,,,数学概念的教学过程大致分为概念的引入、概念的理,,解和概念的运用三个阶段.,,,（一）概念的引入,,概念的引入是学生获得概念的前奏，并极大地影响着,,学生对概念的理解和运用.因此，数学概念的引入是数学,,概念教学的一个重要环节.由于概念的形成、概念的同化,,和概念的顺应是获得概念的三种方式，因此，数,,学概念的引入可以按这三种方式来进行.至于使用哪一种,,引入方式，教师可以根据概念的定义形式来选取.另外，,,由于概念的学习是一种有意义的学习，因此在引入概念时,,还要考虑学生认知的心理特点.,,,,1. 根据概念的定义形式引入,,,数学中的概念一般都是比较精确的定义性,,概念.概念定义的形式多种多样，不同形式的,,定义要考虑不同的引入方式.,,,（1）如果概念是以属概念加种差的形式给出，,,那么这一类概念一般按概念同化的方式引入.,,此时，教师应着重讲解定义中的属概念和种差，,,使学生明确，新概念既具有属概念的一切属性，,,又具有自身所特有的关键属性（种差）.,,,,（2）在以属概念加种差的形式定义的概念中，有些概念,,的属概念的内涵很少，外延很大，而种差较为抽象，学生,,同化有困难.这时，教师应该避开抽象内涵的讲解，从概,,念的外延入手，选择概念形成的方式来引入.,,例如，等比数列的概念：“如果一个数列从第二项,,起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就,,叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.”,,如果学生的认知水平较高，那么可以按概念同化的方,,式来引入.但如果学生的认知水平较低，那么可以按概念,,形成的方式来引入.,,,（3）对于以发生式定义（即以被定义概念所反映,,的对象产生或形成的过程为种差的定义）的概,,念，应该按概念同化的方式来引入.,,但此时教师讲课的重点不只是讲解定义的种,,差，还要通过实验演示其发生过程，让学生具体,,操作，体验其形成过程，以帮助学生把握概念的,,关键属性.例如，对于椭圆概念 ……,,,,（4）对于形式定义的概念，一般按概念同化的方式来,,引入.教师应强调抓住定义的模型，任何突破模型的形式,,都不是定义本身.例如，幂函数的定义.,,在形式定义中，对于规定定义要讲清两点：一是规定,,的必要性，即为什么要规定；二是规定的合理性，即这样,,规定的道理.,,对于那些处于概念体系中起着基础作用和核心作用的,,形式定义的概念如正、负数和复数，由于学生缺乏适当,,的、用于同化的观念，也缺乏属于直接经验的、用于概括,,的例证，因此，这一类概念应按概念顺应的方式来引入.,,事实上，数学概念的定义形式不限于以上几种，这些,,概念的引入应具体问题具体分析.,,,,2.根据学生认知的心理特点引入,,,,概念学习是有意义的学习，根据有意义学习的条件，,,学习者必须具备有意义学习的心向.要做到这一点，除了,,激发外在动机的手段之外，教师应根据学生认知的心理特,,点，充分激发学生的内在动机.,,学生认知的心理特点，一方面表现为天生就具备的积极,,向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表现为心理平衡倾向.,,如果教学内容具有新奇性、运动性、可探索性等特点，,,那么就能激发学生的求知欲.一旦他们觉得“有趣”，就,,能自觉地集中注意力，全神贯注地学习.,,原苏联教育家奥加涅相教授指出：“学生学习数学的,,好坏很大程度上取决于学习兴趣的产生和保持.”因此，,,在引入新概念时，若能注意引入方式的趣味性，就会收到,,良好的教学效果.,,例如，在引入等速螺线概念时，教师告诉学生：一只,,蚂蚁，在一根竖直不动的教鞭上向上竖直爬行，其轨迹是,,一条射线；如果蚂蚁不动，教鞭绕其端点旋转，蚂蚁的轨,,迹是一个圆周；如果蚂蚁沿教鞭爬行，教鞭又在竖直平面,,上绕其一个端点作匀速旋转，蚂蚁的轨迹是什么呢？这样,,就很自然地引入了等速螺线的概念.又如用“一尺之棰，日,,取其半，万世不竭.”来引入数列极限的概念，就能激发学,,生的兴趣，有利于极限概念的理解.,,,心理平衡倾向是指个体对心中的问题非要解决,,不可，以获得心理满足的倾向.,,教师在引入新概念时，若能注意提问激疑，设置悬念,,,就能充分调动学生的思维，使他们自觉积极地学习新概念.,,,,(二)概念的理解,,,,概念的引入是数学概念教学的第一个环节，它为正确,,理解概念奠定了基础.但要使学生透彻理解并掌握所学的,,概念，教师还要注意以下四个方面.,,,1．加强对概念的解剖分析,,数学概念是借助于数学语言符号来表达的，其用语、,,用词一般都非常严密、精炼，具有高度的概括性，因而，,,有的概念叙述十分简练，寓意深刻；有的用符号、式子表,,示，比较抽象.对这些概念，教师必须抓住概念中的关键,,词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子的内,,在含义，使学生深刻理解概念的本质属性.,,,,,,2.利用变式，突出概念的本质属性,,,变式是指概念例证在非本质属性方面的变化.,利用变式的目的是通过非本质属性的变化来,,突出本质属性，使获得的概念更精确、更稳定.,,,,3.注意概念的对比和直观化,,,数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能,,将它们有机地联系在一起进行类比，就可以收到,,由此及彼、温故而知新的效果.如分数和分式的类,,比、数列极限和函数极限的类比、平面几何与立,,体几何的类比等.,,,数学概念通常是经过多层次的抽象概括而得,,的，它往往脱离了具体的原型.对这类比较抽象的,,概念，应引导学生将概念具体化、形象化，借助,,于直观图形，使抽象的数学概念成为看得见摸得,,着的事物.,,,,4. 注意概念体系的建构,,,,在数学概念教学中，不但要使学生掌握单个的概念，,,而且还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认知结构.,,,,新概念是在原有概念的基础之上形成的，或是原有概念的限,,制、延伸或扩充.因此，新旧概念之间有着内在的联系，如相邻关,,系、对立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，这,,些联系是我们建构概念体系的前提.,,,,在经过每一章节的学习之后，应引导学生将所学的概念加以整,,理、归类，理清概念之间的关系，特别是种属关系，将这些概念联,,点串线，建立章节或学科的概念网络体系，使概念纵横贯通，有助,,于学生深化对概念的理解.学生一旦形成了这样的概念体系，不仅,,有利于概念的贮存和检索，而且有助于理解和吸收新概念.,,,,,,(三)在实践中运用概念,,,数学概念教学的目的主要是，使学生深刻地理,,解概念，牢固地掌握概念，灵活地运用概念.,,因此，在学生获得概念之后，就要在实践中运,,用概念.在实践中运用概念的过程，实质上是概念,,具体化的过程，而概念的具体化有助于学生对概,,念的深刻理解和牢固地掌握概念.,,,讨论、思考问题：,,1. 数学概念获得的心理意义是什么？,,2. 举例说明数学概念获得的三种方式。

3. 数学概念分成哪些类别？,,。