新版【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：2.3空间直角坐标系程含答案.doc

新版数学北师大版精品资料第1课时　空间直角坐标系及点的坐标 [核心必知]1．空间直角坐标系(1)右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系．(2)坐标系中相关概念．如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系．[问题思考]1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．讲一讲1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．[尝试解答]　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O­xyz.∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．练一练1．如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝.∴E点的坐标为.∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.同理可得G点坐标为.讲一讲2．求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[尝试解答]　如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB.则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)．A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：(1)P(x，y，z)关于原点对称,P1(－x，－y，－z)；(2)P(x，y，z)关于x轴对称,P2(x，－y，－z)；P(x，y，z)P3(－x，y，－z)；P(x，y，z)P4(－x，－y，z)．记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”．(3)P(x，y，z)P5(x，y，－z)；P(x，y，z)P6(－x，y，z)；P(x，y，z)P7(x，－y，z)．练一练2．设正四棱锥S­P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图)．正四棱锥S－P1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，∵d(P1P2)＝a，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，∴P1，P2.P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称．∴P3，P4.又∵|SP1|＝a，|OP1|＝a，∴在Rt△SOP1中，|SO|＝ ＝a.∴S.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[错解]　如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．显然A(0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．[错因]　因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．[正解]　取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝，∵A，B，C均在坐标轴上，∴A，B，C，点A1与C1在yOz平面内，∴A1，C1，点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.∴B1，∴各点的坐标为A，B，C0，，0，A10，－，1，B1，C1.1．z轴上点的坐标的特点是(　　)A．竖坐标为0B．横坐标，纵坐标都是0C．横坐标为0D．横，纵，竖坐标不可能都是0解析：选B　点在某坐标轴上时，其他两轴对应的坐标均为零，点在z轴上，所以其横、纵坐标都是0.2．已知空间直角坐标系中一点A(－3，1，－4)，则点A关于x轴对称点的坐标为(　　)A．(－3，－1,4)　　　　　　B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)解析：选A　点A关于x轴的对称点A′的y、z坐标都变为相反数，x坐标不变，∴A′(－3，－1,4)．3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)A．y轴上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．yOz平面上解析：选C　点的纵坐标为0，∴点在xOz平面上．4．在空间直角坐标系O­xyz中，点P(1,2,3)关于xOz平面的对称点的坐标是________．解析：求点P关于xOz平面的对称点，只要将y坐标变为原来的相反数，∴对称点的坐标是(1，－2,3)．答案：(1，－2,3)5．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．解析：设其中点为M(x，y，z)，由中点坐标公式可知x＝＝4，y＝＝0，z＝＝－1，故M的坐标为(4,0，－1)．答案：(4,0，－1)6.如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，B′D′的中点，其中|AB|＝4，|BC|＝3，|DD′|＝2.求点E，F的坐标．解：∵点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，而点E的z坐标为1，∴E(3,4,1)．∵点F在坐标平面xDy上的射影的点的坐标为，而点F的z坐标为2，∴F.一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．其中正确叙述的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3 D．4解析：选C　①错误，②③④正确．2．已知点A(－3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　)A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3)C．(3，－1，－4) D．(4，－1,3)解析：选C　空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．∴A(－3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4)．3．在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是(　　)A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称 D．以上都不对解析：选B　∵P，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，∴P，Q关于yOz平面对称．4．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是(　　)A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线解析：选D　(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为(　　)A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7解析：选D　两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.二、填空题6．点A(－5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．解析：点A(－5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为(5,5，－6)．答案：(5,5，－6)7．点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为________．解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为(－2,4，－6)．答案：(－2,4，－6)8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M在xOz上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2。