林花苑高中数学同步辅导讲义第六讲幂函数与复合函数初步.doc

幂函数与复合函数初步教师用讲义1、幂函数概念：一般地，形如的函数都称为幂函数，其中为常数．备注：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图像都通过点；  （2）如果，则幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数； （3）如果，则幂函数在区间上是减函数．2、特殊幂函数的图像和性质：当分别为时，幂函数图像如下图：备注：幂函数的图像主要分以下7类：（1）当时，图像过点平行于轴，但扣去点的一条“断”直线；（2）当为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点；（3）当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；（4）当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像在第一、而象限，但不过原点；（5）当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像在第一、三象限，但不过原点；（6）当为正分数时，设（为互质的正整数） ①如果都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点； ②如果为偶数，为奇数，则幂函数为非奇非偶函数，图像在第一象限及过原点； ③如果为奇数，为偶数，则幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点．（7）当为负分数时，设（为互质的正整数） ①如果都是奇数，幂函数为奇函数，图像在第一、三象限；②如果为偶数，为奇数，则幂函数的图像只在第一象限；③如果为奇数，为偶数，则幂函数为偶函数，图像在第一、二象限．3、复合函数（外函数，内函数为）（1）复合函数求定义域：由外到内；（2）复合函数求值域：由内到外；（3）复合函数单调性：同增异减． （4）求复合函数的单调区间的步骤： ①求定义域：求使函数有意义的自变量的取值范围； ②拆分：将复合函数分解成两个简单的函数：和； ③画图：分析内、外及复合函数的单调性，并画出函数图像； ④结论：根据图像得单调区间．例1、 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围．考点一：幂函数的定义例一：（1）下列函数中是幂函数的是（ ） A．（为非零常数且） B．C． D．   （2）幂函数的图像过点，则的解析式是 ．  （3）幂函数的图像经过点，则满足的的值是 ．  （4）实数满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D．  （5）已知幂函数在第一象限内的图像如图所示，且分别取，则相对应于的的值依次为 ．练习：（1）在下列函数中，是幂函数的有 ．    （2）已知幂函数的图像经过点，则 ．    （3）设幂函数的图像经过点，则函数的值域为 ．考点二：幂函数的图像和性质例二：（1）函数是幂函数，且当时是减函数，求实数；（2）幂函数是偶函数，且当时是减函数，求整数的值．练习：已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数（1） 求函数的解析式；（2） 讨论的奇偶性．练习：函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数解是 ．练习、（1）已知函数，且，则的取值范围是 ．   （2）已知函数满足①求的值并求出相应的的解析式； ②对于①中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由．考点三：复合函数的理解例三：（1）已知，求（2）已知函数，若，则实数 ．（3）已知，求和的表达式． 考点四：复合函数的单调性例四：求下列函数的单调区间：  （1） （2） （3）    （4）例五：求下列函数的单调区间：  （1）； （2）； （3）； （4）练习：（1）已知函数的单调增区间为，求函数的单调区间    （2）已知函数，求函数的单调区间．例六：已知函数，且．试问，是否存在实数，使得在为减函数，并且在为增函数，若有，求出相应的，若无，说明理由．演练1、（1）已知函数①，②，③，④，⑤，⑥；其中是幂函数的是 ．（2）幂函数的图像经过点，则 ．       （3）若四个幂函数在同一坐标系中的图像如图，将从小到大排列是 ．演练2、已知点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义证明；（3）问为何值时有．演练3、已知函数是幂函数，且当时是减函数．（1）求实数的值；（2）求函数的定义域，判断其奇偶性并证明．演练4、（1）若是一次函数，且，则 ． （2）已知函数在区间是增函数，则函数的递增区间是 ．演练5、已知函数（为负整数）的图像经过点，，设．问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若有，求出相应的，若无，说明理由．能力提升例：如果，则（ ） A． B． C． D． E．。