线性时滞系统稳定性综述.docx

线性时滞系统稳定性分析综述摘要：时滞在工程领域广泛存在，对此综述了线性时滞系统的稳定性研究方法 从频域和时域两个角度详细介绍了各种方法的特点，着重讨论基于线性矩阵不等 式(LMI)的分析方法，指出保守性是分析的重点对现有结果的保守性进行比较 和评述，并提出了改进的思路关键词：时滞系统；稳定性；保守性，线性矩阵不等式；时滞依赖Survey on the stability analysisof linear time—delay systemsAbstract：As time-delays are extensively encounted in many fields of engineering,the stability analysis method of linear time-delay systems is outlined.The characters of frequency domain method and time domain method are illustrated in detail.The linear matrix inequality (LMI) -based stability analysis approach is mainly discussed.It is pointed out that the conservatism is important for the stability analysis.Comparison and discussion are given on some existing results.FinalIy,some improvement directions are discussed.Key words ：Time-delay systems ；Stability ；Conservatism ； Linearmatrix inequality；Delay-dependentl引言从系统理论的观点看，任何实际 系统的过去状态不可避免地要对当前 的状态产生影响，即系统的演化趋势 不仅依赖于系统当前的状态，也依赖 于过去某一时刻或若干时刻的状态， 这类系统称为时滞系统。

时滞产生的 原因有很多，如：系统变量的测量(复 杂的分析仪)、长管道进料或皮带 传输、缓慢的化学反应过程等都会产 生时滞时滞常见于电路、光学、神 经网络、生物环境及医学、建筑结构、 机械等领域，由于应用背景广泛，受 到很多学者的关注从理论分析的角 度来看，在连续域中，时滞系统是一 个无穷维的系统，特征方程是超越方 程，有无穷多个特征根，而在离散域 中，时滞系统的维数随时滞的增加按 几何规律增长，这给系统的稳定性分 析和控制器设计带来了很大的困难 因此，对于时滞系统的控制问题，无 论在理论还是在工程实践方面都具有 极大的挑战性常见的时滞系统包括奇异时滞微 分系统、脉冲时滞微分系统、Lurie时 滞系统、中立型时滞系统和随机时滞 系统等其基本理论建立于20世纪五、 六十年代，迄今为止，研究的成果相 当丰富，本文作者限于水平及阅读范 围，提到的只是极其有限的一部分结 果2 时滞系统稳定性分析基本方 法从工程实践的角度来看，时滞的 存在往往导致系统的性能指标下降， 甚至使系统失去稳定性例如系统x(t) = -0.5 x(t) (1)是稳定的，但加入时滞项后，系统x(t) = —0.5x(t) +1.3x(t — 1)(2) 变得不稳定•同时，时滞也可以用来 控制动力系统的行为，例如时滞反馈 控制已成为控制混沌的主要方法之通常用泛函微分方程来描述时滞系统，以含单时滞的微分方程为例， 即x(t) = AxkBXt—h)A BwRnnx(t) =p (t),[—h,o]3)其中：h〉0为时滞，初始条件由定义在 ［-h, 0］的连续可微函数p (•)确定，系 统t〉0时的行为不仅依赖于0时刻的状 态，而且与时间段［-h, 0］内的运动有 关,因此解空间是无穷维的。

其特征 方程是含有指数函数的超越方程,即det(九 I 一 A 一 exp( 一九 h) B) = 0 (4)讨论特征根需要用到很多复变函 数的知识•早在1942年，Pontryagin就 提出了一种原则性方法一 Pon tryagin 判据来解决这一问题,之后很多工作 致力于对这一判据具体化,使之更加 实用总之,时滞系统稳定性分析方法 可分成3类2．1 无限维系统理论方法这种方法是将时滞系统看成无穷 维系统,用无穷维空间的适当算子来 描述时滞系统的状态变化,一方面可 对时滞系统进行一般建模；另一方面, 也可表述系统的可观性和可控性等结 构方面的概念2．2 代数系统理论方法代数系统理论对于时滞系统的建 模和分析都比较方便,但在控制器的 设计方面目前尚处于初期阶段,还缺 乏有效方法2．3 泛函微分方程理论方法泛函微分方程理论考虑了系统的 过去对系统变化率的影响利用有限 维空间以及泛函空间提供一套适当的 数学结构以描述时滞系统的状态变 化目前,研究时滞系统主要是应用 泛函微分方程理论,研究范围涉及稳 定性分析、控制器设计、H控制、无源 与耗散控制、可靠控制、保成本控制 H滤波、Kalman滤波以及随机控制等。

不管研究哪个分支,稳定性都是基础 对最终形成控制方案具有非常重要的 理论和现实意义时滞系统稳定性分 析的目的是希望找到计算简单、切实 有效并且保守性尽可能小的稳定性判 据,研究方法主要分为两类：一类是 以研究系统传递函数为主的频域方 法；另一类是以研究系统状态方程为 主的时域(状态空间)方法2．3．1 频域法频域法是最早提出的稳定性分析 方法,它基于超越特征方程根的分布 或复Lyapunov矩阵函数方程的解来判 别稳定性．类似于不包含时滞的线性 系统,线性时滞系统稳定的充要条件 是闭环特征方程的解均具有负实 部．由于时滞系统闭环特征方程是一 个具有无穷多解的超越方程,其稳定 性分析比无时滞系统要复杂得多．但 是利用频域法对系统进行分析具有直 观易懂的特点,只要分析系统的特征 根分布就可在一定程度上了解系统的 稳定性和动态性能,并且计算量小、 物理意义强,因此采用频域方法进行 线性时滞系统稳定性分析,具有重要 的理论意义和实际价值从频域角度出发，对系统进行稳 定性分析的方法主要包括：图解法、 解析法和复Lyapunov方法Nikiforuk于1965年提出一种简 单的双轨迹法的图解方M ukherjee在 此基础上探讨了控制环增益与系统前 向通道中时滞之间的变化关系；最近 运用双轨迹法进行时滞系统稳定性分 析的文献还有很多。

利用解析法进行相关研究的文献 包括：文献利用超越特征方程根的分 布得到了稳定的充分条件Thowsen通 过引入适当的变换，将特征方程化为 非超越的形式得到了 Routh — Hurwitz型稳定性判据Watanabe等通 过有限谱配置分析时滞系统的稳定 性文献基于Pontryagin判据提出了 适用于准多项式H(s，氓)的 Hermite-Biehler推广定理Rekasius 以时滞项的双线性变换为基础提出了 一种伪时滞法，在此基础上olgac证明 了这种双线性变换的引入有助于准多 项式H(s, ees)的稳定性分析，并可用 来方便地估计闭环特征式的虚轴零 点walton提出了一种不需要引入双 线性变换而能够删除准多项式中指数 项的直接法Zhang给出基于Lyapunov 方程的线性时滞系统稳定条件，并建 立了该条件与用于鲁棒性分析的小增 益定理之间的等价关系国内学者胥 布工、俞元洪、刘和涛、张作元等也 在这一领域进行了相关研究复Lyapunov方法是Repin于20世 纪80年代首次提出的，其思想是利用 复Lyapunov方程的正定Hermi tian矩 阵解进行稳定性分析该想法被 Brierley等用来研究复Lyapunov方程 正定Hermi tia n解的存在性，进而得到 一个具有可公度时滞的线性系统稳定 性的充要条件。

Lee等将这一结果推广 到中立型时滞系统Agathoklis等进 一步研究了具有不可公度滞后的线性 系统，得到了稳定性的充分条件虽然频域法理论上容易得到系统 稳定的充要条件，但在考虑控制器的 设计时，由于涉及到系统特征方程的 处理，计算非常复杂，特别是对于多 变量高维系统、非线性微分系统或中 立型系统．并且，频域法难于处理含 有不确定项以及参数时变的时滞系 统2．3．2时域法时域法是目前时滞系统稳定性分 析和综合的主要方法，易于处理含有 不确定项、时变参数和时变时滞的系 统以及非线性时滞系统．时域法主要 包括 Lyapunov-Krasovski i泛函法、 Lazumikhin函数法、Lyapunov函数结 合Razumikhin型定理方法、时滞不等 式方法Lyapunov泛函法和 Razumikhi n函数法，分别由 Krasovski i和 Razumikhi n于20世纪50 年代末提出，是目前应用最广泛的两 种方法.时滞不等式方法由Halana y建 立于20世纪60年代，是非线性、脉冲 变时滞等复杂时滞系统稳定性分析的 强有力工具另外，通过估计方程的 基本解矩阵也可得到稳定性条件，但 该方法依赖于不等式技巧，得到的条 件往往过于保守。

下面重点介绍 Lyapunov-Krasovski i泛函法和 Razumikhi n函数法2. 3. 2. 1 Razumikhin函数法使用Razumikhi n函数法，避免了 构造Lyapunov泛函的麻烦，被许多学 者广泛应用和推广，该方法的理论基 础是著 名的Razumikhin稳定性定理Razumikhin稳定性定理主要应用 于非线性和不确定时滞系统，用于线 性时滞系统，得到的稳定性条件相对 较为保守•这方面的成果包括：Trinh 等使用Razumikhin稳定性定理研究了 带有非线性扰的时变时滞系统的稳定 性和镇定；Park基于Razumikhin稳定 性定理首次提出了模型变换Jankovic 总结了几类时滞系统的系统化 Lyapunov-Razumikhi n函数的构造方 法等在国内，刘永清等较早研究了 线性定常时滞系统和时变时滞系统的 镇定问题关于这方面更详细的论述 可参见文献[2, 3].利用Razumikhin 函数法得到的稳定性结果与利用 Lyapuno-Krasovskii泛函法得到的结 果有些相似,对后者施加某些约束往 往即可得到前者，因而用Razumikhin 函数法得到的结果相对较为保守,但 该方法适于快变时滞系统。

一般认为 Lyapunov-Krasovs泛函法不适于快变 时滞系统，但这一看法最近发生了改 变，文献利用Lyapunov—Krasvs “方 法解决了一类区间时变时滞系统稳定 性问题，允许时滞是快变的2.3.2.2 Lyapunov—Krasovskii 泛函法Krasovskii在1963年发表的一篇 文章中，用Lyapunov-Krasovskii泛函 取代传统意义上的二次正定Lyapunov 函数，在此基础上，针对时滞系统给 出了一类新的稳定性分析方法— LyapunovKrasovskii泛函法，其思 想基础是Lyapunov一Krasovski i稳定 性定理对于复杂系统或非线性系统，Lyapunov-Krasovski i泛函的构造需 要很高的技巧，并且利用LyapunoV一 Krasovskii泛函法进行时滞系统稳定 性分析，最终得到的条件基本上都可 转化为类Riccati方程（或不等式）20 世纪80年代和90年代初期，Riccati方 法是研究热点.求解Ricca ti方程（或 不等式）主要采用迭代法，。