数学分析报告10.4二元函数地泰勒公式.doc

word§10.4 二元函数的泰勒公式二元函数的两个〔一阶〕偏导函数， 仍是与的二元函数假如他们存在关于和的偏导数，即〔〕， 〔〕， 〔〕， 〔〕.称它们是二元函数的二阶偏导〔函〕数.二阶偏导数至多有2个通常将〔〕记为或.〔〕记为或. (混合偏导数)〔〕记为或. (混合偏导数)〔〕记为或.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为二元函数的阶偏导数.二元函数的阶偏导数至多有2个.二元函数z=(x,y)的阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号或 表示二元函数的阶偏导数，首先对求阶偏导数,其次对求阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般元函数的高阶偏导数.例1 求函数的二阶偏导数.解=， =.=.=.=. (=)=.例2 证明：假如u=,r=,如此++=0.证明由§10.3例2，有=，=，=.=(=) = =+.同样，可得=+,=+于是，++= =+=.由例1看到，=，即二阶混合偏导数〔先对后对和先对后对〕与求导的顺序无关那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢？否！例如，函数f(x,y)= 在原点〔0, 0〕的两个偏导数(0,0)于(0,0)都存在，且事实上，由偏导数定义，有(0, 0)==0(0, 0)==0= ==.(, 0)= ==.(0, 0)===(0, 0)===于是，那么，多元函数具有什么条件，它的混合高阶偏导数与求导的顺序无关呢？有下面的定理：定理1 假如二元函数在点P(x,y)的邻域G存在二阶混合偏导数与 ，并且它们在点P(x,y)连续，如此= 证法 根据一阶、二阶偏导数的定义，有===设=从而,=.同样方法，有=.定理1的实质是上述两个累次极限相等，即两个累次极限可以交换次序.由此可见，证明定理1要构造函数.证明当与充分小时，使，从而，与,设. 〔1〕令,(1)式可改写为.函数在以和为端点的区间可导，根据微分中值定理，有 =，.在存在，将看作常数，再根据微分中值定理，有，，. (2)再令，同样方法，有，，. (3)于是，由〔2〕式和〔3〕式，有=.与 在点连续，当时，有=.例3 证明：假如如此+=++.证明于是，即定理1的结果可推广到元函数的高价混合偏导数上去.例如，三元函数关于的三阶混合偏导数共有六个：假如它们在点所有的高阶混合偏导数都连续，如此偏导数〔亦称一阶偏导数〕有两个，二阶偏导数只有三个，三阶偏导数只有四个.一般情况，阶偏导数只有个.二. 二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式能够推广到多元函数上来.关于多元函数泰勒公式的作用和意义与一元函数泰勒公式一样，不再重述.为书写简便，只讨论二元函数的泰勒公式.讨论二元函数泰勒公式的方法是作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数在点的函数值在点展成泰勒公式，作辅助函数即显然，于是，函数在点展成的泰勒公式就是一元函数在点的泰勒公式〔即麦克劳林公式〕在的值.定理2 假如二元函数在点的领域存在阶连续的偏导数，如此有 〔4〕其中符号表示偏导数在的值，(4)式称为二元函数在点的泰勒公式.证明 设由条件，函数在区间存在阶连续导数.从而，可将函数展成麦克劳林公式，即特别地，当时，有求即求复合函数的高级导数.由复合函数微分法如此，有 (根据定理1) 同法可得，令，有将上述结果代入的展开式中，就得到二元函数在点的泰勒公式：在泰勒公式(4)中，令就得到二元函数的麦克劳林公式〔将与分别用与表示〕： 〔5〕 在泰勒公式(4)中，当时，有或 〔6〕〔6〕式是二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个在泰勒公式〔4〕中，当时，有 〔7〕例4 将二元函数展成麦克劳林公式.解 函数在存在任意阶连续偏导数，且与是任意非负整数.由公式〔5〕，有不难看到，将中的当作一个变量，用一元函数的麦克劳林公式得到的结果与上述结果是一致的.不难将上述二元函数的泰勒公式推广到元函数上去.例如，假如三元函数在原点的领域存在阶连续偏导数，如此三元函数的麦克劳林公式为例5 当都很小时，将超越函数近似表为的多项式.解 将三元函数展成麦克劳林公式〔到二阶偏导数〕，有同样同样同样于是，即三、二元函数的极值在实际问题中，不仅需要一元函数的极值，而且还需要多元函数的极值。

本段讨论二元函数的极值，其结果可以推广到n元函数上去.定义设二元函数在点的领域，有如此称是函数的极大点〔极小点〕.极大点〔极小点〕的函数值称为函数的极大值〔极小值〕.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.哪些点可能是函数的极值点呢？即是函数的极值点的必要条件是什么呢？有下面定理：定理3假如二元函数在点存在两个偏导数，且是函数的极值点，如此 与 .证明是函数的极值点，即是一元函数的极值点.根据一元函数的极值的必要条件，是一元函数的稳定点，即同法可证，.方程组的解〔坐标平面上某些点〕称为函数的稳定点.定理3指出，二元可微函数的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数〔双曲抛物面〕显然，点是函数并不是函数的极值点.事实上，在点的任意邻域，总存在着点，使;也总存在点，使，所以点不是极值点.那么什么样的稳定点才是极值点呢？即是函数的极值点的充分条件是什么呢？定理4设二元函数有稳定点，且在点的邻域1)假如，如此是函数的极值点:ⅰ)(或)，是函数的极小点；ⅱ)(或)，是函数的极大点.2)假如，不是函数的极值点.证明是函数的稳定点，有 与 当与充分小时，讨论的符号.由泰勒公式〔7〕，有〔〕又二阶偏导数在点连续，当与时，有于是，其中比是高阶无穷小.因此，当与充分小时，的符号由的符号决定.因为h与k不能同时为零,不妨设(当时，，可得一样的结论).令，如此的符号由的符号决定.由一元二次方程根的判别式,有1) 假如判别式,对任意实数,与(或)有一样的符号,即是函数极值点:ⅰ)(或),有,即是函数的极小点;ⅱ)(或),有,即是函数的极大点. 2) 假如判别式,方程有两个不同的实根与,设,在区间内与区间外有相反的符号,即不是函数的极值点.注当判别式时,稳定点可能是函数的极值点,也可能不是函数的极值点.例如,函数不难验证，是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点每个函数的判别式.显然，稳定点是函数的极小点；是函数的极大点；却不是函数的极值点.求可微函数的极值点的步骤：第一步：求偏导数，解方程组.第二步：求二阶偏导数，写出第三步：将稳定点的坐标代入上式，得判别式再由的符号，根据下表判定是否是极值点：—+0A〔或C〕+—不是极值点不定是极小点是极大点例6求二元函数的极值.解 解方程组得两个稳定点与.求二阶偏导数在点不是函数的极值点.在点且是函数的极小点，极小值是.欲求可微函数在有界闭区域D的最大(小)值,除了求出函数在D内全部极大(小)值外,还要求出函数在D的边界上的最大(小)值,将它们放在一起进展比拟,其中最大(小)者就是函数在D的最大(小).一般来说，求函数在D的边界上的最大〔小〕值是很困难的.但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数的最大〔小〕值必在区域D〔D可以是无界区域〕内某点P取得，又函数在D内只有一个稳定点P，那么函数必在这个稳定点P取得最大〔小〕值.例7用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.解 设水箱长、宽、高分别是.，从而高.水箱外表的面积，S的定义域.这个问题就是求函数S在区域D内的最小值.解方程组在区域D内解得唯一稳定点.求二阶偏导数， ..在稳定点，，且，从而，稳定点是S的极小点.因此，函数S在点时，即无盖长方形水箱，所需钢板最省.例8 在周长为的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.解 设三角形的三个边长分别是.面积是.由海伦公式，有. 〔8〕，将它代入〔8〕式之中，有.因为三角形的每边是正数而且小于半周长，所以的定义域.的稳定点与的稳定点一样.为计算方简便，求在区域D内有唯一稳定点.求二阶偏导数 在稳定点，.从而，稳定点是函数，即的极大点.由题意，在稳定点，时，，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大.例9 经过实测得到n个数对，，其中是在,使其在总体上与这n个点接近程度最好. 将点的坐标代入直线方程中,设,称是点到直线的偏差,如图10.12.显然,假如点在直线上,如此偏差;假如点不在直线上,如此偏差.此时,可能是正数也可能是负数.为了消除符号影响,考虑.于是,偏差平方和的大小,即的大小在总体上刻画了这n个点与直线的接近程度.为了使其接近程度最好,也就是求以a与b为自变量的二元函数的最小值确定a与b(从而确定直线方程)的方法叫做最小二乘法.解 函数的定义域是,解方程组或解得唯一稳定点：根据问题的实际意义,二元函数在内必存在最小值,又只有唯一一个稳定点.因此,二元函数必在稳定点取最小值.于是,欲求的直线方程是注用取极值的充分条件判别也是很简便.即.从而,唯一的稳定点是函数的极小点.于是,函数在稳定点.。