微分和导数的几何解释和物理解释.docx

§2-2微分和导数的几何解释和物理解释1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数近代微积 分是借助极限定义函数的微分和导数如图2-4,因为比值Ay'Ax是弦PA的斜率，当Ax T 0时, 点A沿曲线无限接近点P，所以曲线y = y(x)在点P处切线pt的 斜率就是导数玖 x)二 lim A 二色0 go Ax dxx=xo根据直线方程的点斜式，切线PT的方程 就是y - y = y\x )(x - x )000其中y = y(x )，x和y为切线上流动点 00的坐标.我们可以得出下面的结论：曲线y = yd)在点(x ,y )处有不垂宜于ox轴的切线，充分必要条件是函数y(x)在点0 0 0可微分；当Ih I=I x - x」很小时，曲线y = y(x)接近它在点(x , y )处的切线0 0 0y = y + yf(x )(x 一 x )［其中 y = y(x )］0 0 0 0 0这就是说，在点P(x ,y )近旁，曲线段y = y(x)看作直线段(切线)是合理的00注】当y'(x ) = lim y = g (无穷导数)时，说明曲线y = y(x)在点(x , y )处有垂直于Ox轴的切线0 z Ax 0 0x= x0.在点P处垂直于切线的直线PQ，称为曲线y = y(x)在点P处的法线(图2-4).因此，当相互垂直两直线斜率的y'(xo)丰0时，曲线y = y(x)在点P(x y」处法线的斜率为0 0 0 y (x)1=-, (x—x)(点斜式)y (x)000 乘积等于-1)，从而法线方程就是y-y0其中x和y为法线上流动点的坐标其次，在图2-4中，从初等数学的角度说，把“微分三角形” PBT和“增量三角形” PBA看 作全等当然是不对的•但从变量数学的观点来说，把dy和Ay看作“相等”是合理的［因为 dy uAy(Ax T 0)］，所以三角形PBT和三角形PBA “全等”(这里说的“全等”是指对应边为 等价无穷小量)•于是，把弧PA的长度As、弦长I PA I和微分三角形PBT的斜边长I PT I都看作 “相等”是合理的.因此，在微积分中就认为(ds)2 = (dx)2 + (dy)2或ds = (dx)2 + (dy)2 =+ y‘2dx (dx > 0) (2-4)我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分. § 2-2微分和导数的几何解释和物理解释 69函数的微分和导数的这些几何解释，是微积分能够应用于几何学的基础.微积分中有许多结论，最初都是根据几何图形上的启示得到的例如图2-5,曲线y = y(x)在 最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于 0).这就是下面的重要结论(以后 会多次用到它).y (x)•切线 y 二 y(x). x 图205定理2-1设函数f (x)在含点x0的某区间(a,b)内有定义.若函数f (x)在点x0取到最大值 或最小值，即f (x0) > f (x) (a < x < b)或 f (x0) < f (x) (a < x < b)，而且有导数f'(x )，则f'(x ) = 0.00证 不妨认为函数f (x)在点x0 e (a,b)取到最大值f (x ) > f (x) (a < x < b)0根据函数在点xo的可微性，则有(注意Ax二x-xo)0 > f (x + Ax) 一 f (x ) = Af = f'(x )Ax + o(Ax) = [f'(x ) + o(1)l Ax0 0 0 0(反证法)假若f'(x )丰0,贝I」当I Ax I足够小时，[f'(xo) + o(1)J与f'(x )有相同的符号于是，0 0 0当f'(x )与Ax同符号时，上式右端大于0这与上式左端f (x +Ax) - f (x ) < 0矛盾.0 0 02.微分和导数的物理解释 当一个质点沿直线以常速v匀速运动时，它在时间间隔At内经 过的路程为As = vAt，即As与At成正比•因为As-;At = v，所以ds As=lim = v 或 ds = vdt (见 t — v 图 2-6) dt Att0 At假若质点沿直线的运动不是匀速的，为了更精确地研究质点的运动,就要引入质点在时刻t的“瞬图 2-7时速度”这个概念例如运动着的物体的冲量mv和动量i mv 2中的速度v就是瞬时速度.v dsO t t+dt t图 2-6设想质点从时刻t到时刻t + At这段时间At内经过的路程为As ,而把平均速度的极限n. As /、 dslim 二 v(t)二-AttO At dt称为质点在时刻t的瞬时速度是合理的.而当I At I很小时，微分ds = v(t)At (看作有限量)就是质 点在时间间隔At内实际经过路程As的近似值(t - v图2-7).例如，从静止点O自由落下的物体(图 2-8)，从中学物理中知道，路程公式为s (t)二2 gt 2 (其中g为重力加速度)As1•5 = — gt 22• s + As = 2 g (t + At )2s图 2-8图 2-9所以它在时刻t的瞬时速度为As s(t + At) - s(t) 2 g (t + °2 gtv(t) = lim = lim = lim = gtAt t0 At At t0 At At t0 At而在时刻t的微分ds = gtAt是物体在时间间隔At内实际经过路程As (图2-9中梯形ABCDE的 面积)的近似值(图2-9中矩形ABCE的面积).根据同样的道理，若质点沿直线运动的速度为v = v(t)，则它运动的加速度是速度对时间的变化率，即是，a (t) = limAtt0 At作用到物体上的力为[.v(t + At) 一 v(t) =limAtt0 Atdv(t)dtv，(t)图 2-11x x+Ax xf(t)=ma(t)=m^dr 件顿第二定律)因此，物理学中说，作用到物体上的力是物体产生加速度的原因.再如质点在常力f的作用下移动的距离为s，则这个常力(恒力)所做的功为w=/-s .可是，若这个力是沿某轴Ox方向的变力f (x)(图2-10)，而某物体在这个力的作用下沿Ox轴移 动的距离为Ax,贝I」当I Ax I很小时，可以认为变力f (x)所做的功为Aw沁f (x) Ax (合理假设).因此，变力f (x)所做的功的微分形式就是 dw = f (x)dx (图 2-11).图 2-10 § 2-2微分和导数的几何解释和物理解释 71函数的微分和导数的这些物理解释，是微积分能够应用于物理学和力学的基础习题和选解1. 设曲线y = y(x)(见图2-4)，其中y(x)有导数y'(x)丰0.求证：NT\ =十；|PT| = 1 + (y')2 ； |NQ = |yy '| ； \PQ =\y|Jl + (y')2 .2. 求曲线y =、辰在点(4,2)的切线方程和法线方程1 答案：y - 2 = Jx - 4), y - 2 = -4(x - 4)3. 设函数f (x)在闭区间［a,b］上有定义，且存在单侧导数f '(a)和f '(b).若f (x)在左+ — 端点a取到最小值f (a)，且在右端点 b取到最大值f (b)；或在左端点a取 到最大值f (a)，且在右端点b取到最 小值f (b)(见第3题图).证明f '(a)f '(b) > 0+ -证 不妨认为f(x)在左端点a取到最小值f (a)，且在右端点b取到最大值［第3题图①］.于是，f' (a) = lim f(a + Ax) - f (a) > 0 (因为 f (a + Ax) - f (a) > 0, Ax > 0),+ z+ Axf' (b) = lim f (b + Ax) - f (b) > 0 (因为 f (b + Ax) - f (b) < 0, Ax < 0).- 2- A因此， f (a)f (b)>0.+-4. 设函数f(x)在有限开区间(a,b)内有导数且存在单侧导数f' (a)和f'(b).若+-f '(a) - f '(b) < 0，则必有点c e (a,b)，使f '(c) = 0.(达布定理)+-证 因为函数f (x)在开区间(a,b)内有导数，所以它在(a,b)内连续;又存在单侧导数f' (a)+和f'(b)，所以它在区间端点上也连续，即它在闭区间［a, b］上连续•因此，它在闭区间［a, b］上 有最大值和最小值.可是， 它在区间端点上不能同时取到最大值和最小值， 否则就有 f' (a) f' (b) > 0 (第3题的结论)，这与假设条件f' (a) - f '(b) < 0矛盾•这就是说，函数f (x)在 + - + -开区间(a,b)内至少在某点c取到最大值或最小值根据定理2-1，f'(c) = 0.【注】若函数f (x)在某有限或无限区间内的导数f' (x)丰0，则导数f'(x)在这个区间内不会改变符号5. 设函数f (x)在有限开区间(a,b)内有导数，且存在单侧导数f' (a)与f'(b).若有常数+-卩，使f '(a) <卩< f '(b)或 f '(a)〉卩〉f '(b)+ - + -则必有点c e (a, b)，使f' (c)二卩.(达布定理的推广)提示：不妨认为是f '(a) <卩< f '(b) •作辅助函数g(x) = f (x)-卩x+-。