《电磁场与电磁波》教学课件—第三章静电场和恒定电场--.ppt

第第 三三 章章 静电场和恒定电场静电场和恒定电场 3.1 静电场的基本方程 3.2 高斯定律的应用 3.3 电位与电位梯度 3.4 静电场中导体的性质 3.5 导体的电容 3.6 静电场的边界条件 3.7 镜像法 3.8 恒定电场 3.9 分离变量法 电磁现电磁现象的普象的普遍规律遍规律静电场静电场静磁场静磁场电磁场电磁场的辐射的辐射电磁场电磁场的传播的传播静电场的性质和求解静电场问题的各种方法是解决一般电磁场问题的基础喷墨打印机工作原理选矿器硫酸盐矿石英含石英硫酸盐矿静态场的工程应用均匀电场中带电粒子的轨迹阴极射线示波器原理3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场（Electrostatic Field)基本方程是麦克斯韦方程在各类场量均不随时间变化时的特殊形式 微分形式：积分形式：电场、磁场相互独立 电荷是电场的电荷是电场的源，静电场是有源，静电场是有源无旋场源无旋场3.2 高斯定律的应用高斯定律的应用 高斯定律（Gausss law）说明通过一个封闭面净穿出的电位移矢量的通量等于该曲面所包围的总电荷，即例例例例 计算无限大均匀带电平面的场强分布电计算无限大均匀带电平面的场强分布。

电计算无限大均匀带电平面的场强分布电计算无限大均匀带电平面的场强分布电荷密度为荷密度为荷密度为荷密度为 ） E EE E解：解：解：解：是侧面通量,是底面通量 E EE E场强方向指离平面场强方向指离平面;场强方向指向平面场强方向指向平面EE因为球面上每一点从q所在的球心都是等距的，在rR球面上的每一点，Er应该有相同的值因而被球面包围的总电荷为q，所以P点的电场强度为例例3.1 用高斯定律求孤立点电荷q在任意P点产生的电场强度 E 解解 以电荷为球心，构造一个经过P点半径为R的球形高斯面电场方向沿径向，则例例3.2 真空中有一个半径为a的带电球，电荷密度为r/a （r为半径），求带电球内外的电场解解 由于电荷分布具有球对称性，因此其电场也具有球对称性，方向为径向那么，在半径为r的同心球面上，电场的大小相等，方向与球面的法线一致，则当ra时，球面内的电荷为当ra时，球面内的电荷为将以上3式代入静电场的高斯定律可得例例3.3 半径为a的无穷长直圆筒面均匀带电，面电荷密度为 试求离轴线为r处的电场强度E 解解 以圆筒的轴线为轴线，半径为r作长为L的圆柱面（高斯面）S，由高斯定律得： 式中q是S所包围的电荷量的代数和。

当ra时，q0，故得筒内当ra时， 例例3.4 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线，线密度是试求空间各点的电场强度E 解解 首先使用圆柱坐标系，长细直导线放在z轴上，由电荷分布特点，可以看出此电场具有轴对称性，即电场强度E只有沿方向的分量由于线电荷无限长，场沿长度方向无变化，所以每个垂直于线电荷平面上的场分布相同故以细导线为轴的圆柱面上E值相同，即E与 、z无关以细直导线为轴作一闭合的圆柱形高斯面其半径为r，高度为l应用高斯定律D线皆垂直于导线，呈辐射状态；等r处D值相等；因为E与上下两底面法向垂直，没有通量穿过两底面，所以从闭合面内穿出的通量为注注对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价高斯定律的用途高斯定律的用途：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布比用库仑定律简便出该电荷系统的电场的分布比用库仑定律简便 当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布的电荷、电位分布开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系。

这说明它们不是相互独立的定律，而反比关系这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律客观规律对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律仍然有效而高斯定律仍然有效3.3 电位与电位梯度电位与电位梯度 假设电荷q0沿路径C从P到Q移动，设线元dl处的电场强度为E，当q0经过dl时，电场力做的功为在从P到Q的整个路程上，电场力做的总功为探测电荷从P到Q由外力做的总功为 如果沿闭合路径移动电荷，则做的功必须为零，即静电场是无旋的或保守的当外力使正电荷逆着电场的方向运动时，电荷的位能增加 在考虑电场中任意一点a的电位为当P点为电位零点，即电位参考点时， 同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同 在电荷分布在有限区域的情况下，一般选取无限远处作为电位的参考点；而在电荷分布延伸到无限远的情况下，必须选取有限区域中的点作为电位的参考点；在工程上，由于大地电位相对稳定，因此，一般取大地为电位参考点 电位满足的方程为 泊松（Poisson）方程 在无电荷分布的区域 拉普拉斯（Laplace）方程 例例3.5 真空中有一个半径为a的带电球，电荷密度为=r/a，求带电球内外的电位。

解解 由例3.2可知带电球内外的电场为由于电荷分布在有限区域，选无限远为电位参考点，在ra时在ra时例例3.6求（1）点电荷（2）体电荷、面电荷和线电荷产生的电场中的电位分布解解 （1）单个点电荷q的电场中任一点的电位：取P点（距离RP）为参考点，则若令RP，则应用叠加定理，n个点电荷电场中的电位为（2）同样应用叠加定理体电荷： 面电荷： 线电荷： 静电场电位物理意义：电位是单位正电荷的势能势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关 3.4 静电场中导体的性质静电场中导体的性质 媒质分为导体（导电媒质）和电介质 导体（conductor）中有可自由运动的电荷或者是带电离子，前者是金属类导体，而后者是碱、酸和盐溶液等电解液 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能2）电力线：始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，止于负电荷或带负电荷的导体或无穷远3）与磁场关系：无关 电导率是表征材料导电特性的一个物理量，电导率的倒数称为电阻率 静电场应用 ：闪电 、静电场会影响植物的同化和异化作用，以及细胞的生长和染色体的畸变、静电感应作用，造成高压输电线对于线的干扰 静电平衡 导体内没有电流，没有电场，也没有净电荷，电荷分布在导体表面附近的薄层里，可看成是面电荷，称作感应电荷。

导体是等位体，导体表面是等位面，导体表面上的电场与表面垂直例例3.8 在静电场中的导体内部电场为零，如果导体中有一空腔，空腔内部无电荷，那么，空腔中的电场是否为零？导体表面上有无面电荷分布呢？解解 如果导体内空腔中有电场，该电场就一定是腔壁上的电荷产生的，总能在腔中找一条电力线，如图所示，从a到b沿该电力线对电场作线积分，其结果应等于a与b两点的电位差，由于这两点都在同一等位面上，其电位差为零，即要使沿电力线对电场的线积分为零，电场必须为零，也就是说，空腔中电场强度也为零，所以腔壁上就没有面电荷分布这说明，不论导体外的电场有多大，导体壳内的电场总为零，因此导体壳可以起到静电屏蔽的作用例例3.9 一个内半径为b，外半径为c的孤立导体球壳，内部同心放置一个有电荷均匀分布半径为a的球，如图所示试求空间各处的电场强度 解解 如图所示，把空间分为4个区域1）区域I，ra球面包围的总电荷为因为电荷均匀分布，E场不仅是沿半径方向，并且在球面上为常数，由(0ra)（2）区域II， a r b球面包围的总电荷为 由高斯定律得(a r 0的空间区域 介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共同产生但感应电荷的分布未知。

式中 P点的电场强度为 在导电平面上，R=R,V=0方向指向地面方向指向地面）证明z在导电平面上，电场强度简化为D的法向分量等于导体表面（z0）的电荷密度，故有因此无穷大导电平面表面感生的总电荷为-q称为镜像电荷，代替了导电板上的感应电荷的作用enD=-Dn例例3.16 用无限大的导电平面折成一直角区域，直角区域有一点电荷q，求直角区域中的电位解解 建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于xy平面，设其坐标为（a,b,0）现在，待求场区为x0，y0区，边界面为x0面与y0面，在边界面上电位为零容易看出，对于如图所示的空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件 式中 2n-1镜像电荷当n=3时：角域夹角为/n，n为整数时，有(2n1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用 角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离3.7.2 导体球附近点电荷的电场导体球附近点电荷的电场 在点电荷位于导体球附近的场合，也可以用镜像法计算电场，考虑半径为a、接地的导体球附近距离球心为f的B点处有一点电荷q，计算导电球外的电场。

用镜像法，设镜像电荷q位于球面内点电荷与球心的连线上距球心为d的A点处，如图所示，那么，为保证与原问题有相同的边界条件，球外的点电荷q与去掉导体球后的镜像 电荷q在半径为a球面边界上任一点P处产生的电位应为零，即 选择d值使 与 相似 球外R点电位点电荷与接地导体球周围的电场aa例例3.17 半径为a，电位为V的导体球附近距离球心f处有一点电荷q，计算导体球外的电位解解 由于导体球电位不为零，可分解为一个电位为V的导体产生的电位，加上电位为零的导体与点电荷产生的电位孤立导体在空间产生的电位为 设导体带电量为q，则其在a点产生的电位为3.7.3 无限大介质平面上点电荷的电场无限大介质平面上点电荷的电场 解：整个空间的场是由点电荷q及其边界上的极化电荷共同产生，用镜像电荷代替极化电荷这里需要确定两个区域的电位函数 （介质1中）和 （介质2中） 采用镜像法时，镜像电荷必须位于待求场空间区域之外，故在求 时，将介质2移去并充满与介质1相同的介质同样在求 时，将介质1移去并充满与介质2相同的介质 介质界面上方的点电荷的镜像 等效电荷q和 的值应使两种介质中的电场在介质分界面满足边界条件，即在边界上有 考虑到在边界上任一点，r1,r2,r3可以用 r表示 其中或电介质中的电场分布：电介质中的电场分布：注意问题注意问题 2、像电荷确定后，要把求解区域看成是只有点电荷和像电荷存在的无界的均匀空间，此无界的均匀空间介电常数应与求解区域的介质的介电常数相同。

3、适用于求解某些形状简单的界面附近，有一个或几个点电荷情况下的电场分布问题 1、电荷必须放在求解区域以外3.8 恒定电场恒定电场恒定电流空间存在的电场 3.8.1 恒定电流场方程恒定电流场方程 由电荷守恒定律，在任一封闭面中流出的电流等于该封闭面中电量在单位时间内的减少，即 由于恒定电流场中，运动电荷的分布不随时间变化，因此 恒定电场与静电场一样，也是保守场即 3.8.2 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 例例3.18 圆柱形电容器，长为 L，内外导体均理想，半径分别为a 和 b，中间填充电导率为 的导体，如图所示，计算内外导体间的电阻 解解 设内外导体间电流为I，作一半径为r 的圆柱面，则3.9 分离变量法分离变量法 分离变量法是求解电位的拉普拉斯方程的一个重要方法它要求所给区域的边界面与采用的坐标系中的坐标面一致，电位可分解成3个函数的乘积，而每一函数分别仅是一个坐标变量的函数这样，偏微分方程就可分解为3个常微分方程来求解根据给定的边界条件，确定待定系数由惟一性定理可知，所得解是惟一的 3.9.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中，位函数 的拉普拉斯方程为 设其解为。