多项式的整除问题.docx

浅谈多项式的整除问题摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式 整除的判别方法关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法Discusses the multinomial shallowly the aliquot questionAbstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式 以及多项式的整除理论［1］；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法1. 利用单位根及因式定理此方法的关键是熟练掌握因式定理⑵和单位根的性质.例1 证明 X2 + X + 1 | X3m + X3n+1 + %3p+2 (m , n , p是三个任意的正整数)・证明可求得X2 + X +1 = 0的根为气=T顼，% = T-黄，所以X2 + X + 1 = (X — W )(X — W )又因 w — 1 = (o_ —1)(^2 +3 +1) = 0 (i = 1,2)，知必3 = 1,从而 Wm =33n = 33 p设 f ( X ) =X 3 m + X 3 n+1 + X 3 P+2 则有f (3 ) = 33m + 33n+1 + 33p+2 = 1 + 3 + 32 = 0,( i = 1,2)故由因式定理知(X -3 )(X-3 ) | f (X)，即X2 + X + 1 | f (X)・2. 利用熟知的乘法公式1 2此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，(例如：Xn — 1 = (Xm )s — 1 = (Xm — 1)(Xm(s-1) + Xm(s-2) + ..・ + Xm + 1)⑶ 等)理解公式包涵的 整除意义，再去解题.例2证明X』-1整除Xn - 1当且仅当d整除n .证明充分性设d | n，假定n = dt，则有Xn — 1 = (Xd )t — 1 = (Xd — 1)(Xd(t-1) + Xd (t-2) + •. . + Xd + 1)从而有Xd - 1 | Xn - 1必要性 已知Xd -11 Xn -1，假定n = dt + r，0 < r < d，则Xn - 1 = Xdt+r - 1 = Xdt - Xr - Xr + Xr - 1 = (Xdt - 1)Xr + (Xr - 1)有充分性的证明之xd - 1 | xdt - 1，从而有xd - 1 | xn - 1得xd - 1 | xr - 1 .因为 0 < r < d，所以必有xr -1 = 0，即r = 0，故得d | n .3. 利用整除的判别定理利用这种方法解题的关键是把整除转化为带余除法中所得余式为零.对于多项式f (x), g (x)G F [x]，且g (x)o 0，则g (x)| f (x)的充要条件是g (x) 除 f (x)的余式 r (x )= 0 .[4]例3确定m，p的值，使 x3 + x2 + 2| x4 + mx2 - px + 2.x 2 + 3 x + 2 x 4 + mx 2 — px + 2 x - 3x + (m + 7) = q( x)x 4 + 3x3 + 2 x 2一 3x3 + (m - 2) x2 - px + 2- 3x3 一 9x2 — 6x(m + 7) x2 - (p - 6)x + 2(m + 7) x 2 + 3(m + 7) x + 2( m + 7)r (x) =一 (3m + p +15) x 一 (2 m +12)令 r(x) = 0 可得：一(3m + p +15) = 0， -2(m + 6) = 0解得：m = -6， p = 34. 利用不可约多项式的性质利用这种方法求解问题的关键是熟知不可约多项式的性质.例4证明：次数>0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的 方幕的充要条件为：对任意的多项式g(x)必有(f (x),g(x)) = 1，或者对某一 正整数 m， f (x) | gm(x).证明 必要性设f ( x) = pm ( x)，其中p ( x)是不可约多项式，则对于任意多项 式 g (x)，有(p(x), g (x)) =1或 p(x) | g (x).当(p (x), g (x)) =1 时，有(f (x), g (x)) = 1 ；而当 p (x) | g (x)时，有 pm ⑴ | gm (x)， 即 f (x) | gm(x).充分性 设f (x) = pk(x)q(x)，其中k > 1， p(x)不可约，且p(x)不是q(x)的 因式，d(q(x)) > 0 .取 g(x) = q(x)，则(f (x),q(x)) = q(x)。

1 ;且对于任意正整 数m，f (x)不能整除qm( x)，这是因为，若f (x) | qm⑴，则由p (x) | f (x)得 p(x) | qm(x)，又由p(x)不可约得p(x) | q(x)，与假设矛盾.故f (x)必为一不 可约多项式的方幕.5. 利用待定系数法此方法关键是利用两边多项式的各系数相等来求解.例5求出2 x 4 + 3^3+ 4 x 2 + % - 2除以工2—工+1的商式和余式并把结果写成一 个整式与分式的和的形式.解 设2 x 4 + 3 %3 + 4 x 2 + % 一 2除以x 2 一 % +1的商式为ax 2 + bx + c , 余式为a' x + b' , 则2x4 + 3x3 + 4x2 + x 一 2 / x 一 2 = (x2 - x + 1)(ax2 + bx + c) + ax + b，=ax4 + (b 一 a)x3 + (a 一 b + c)x2 + (b 一 c + a')x + b，+ c:. a = 2 , b 一 a = 3 , a 一 b + c = 4 , b 一 c + a' = 1, b' + c = -2解得 a = 2 , b = 5, c = 7 , a'= 3 , b=-9即所求商式为2x2 + 5x + 7，余式为3x-9.6. 利用最大公因式的性质利用这种方法求解问题的关键是深刻理解最大公因式的概念及性质.例 6 设 f (x) = d(x)f (x)，g(x) = d(x)g](x)。

证明：若(f (x),g(x)) = d(x),且 f (x)和 g(x)不全为零，贝【J (f (x), g (x)) = 1;反之，若(f (x), g (x)) = 1，则 d(x) 是f (x)与g(x)的一个最大公因式.证明 因为(f (x),g(x)) = d(x)，故存在u(x)，v(x)，使得f (x)u (x) + g (x)v( x) = d (x)即 d (x) f (x)u(x) + d (x)g (x)v(x) = d (x)由于f (x)，g (x)不全为零，故d (x)丰0，两边消去d (x)得：f1(x )U (x) + g 1(x )V (x)=1即(f (x), g](x)) = 1反之，f (x) = d(x) f (x)，g(x) = d(x)g (x)，知 d(x)是 f (x)，g(x)的公因式， 因(f (x), g](x)) = 1，故存在 u(x)， v(x)使 f (x)u(x) + g](x)v(x) = 1 两边乘以 d (x)得 f (x)u (x) + g (x)v(x) = d (x)若 h(x)是 f (x)，g(x)的任一公因式，则有h(x) I d(x)，从而d(x)是 f (x)，g(x) 的一个最大公因式7. 利用互素的性质此方法关键在于熟练的掌握互素多项式的性质，并灵活应用.例7 证明g(x)21 f (x)2的充要条件是g(x) | f (x) .证明充分性显然,现证必要性.若 g(x)2 \f (x)2，f (x) = g(x) = 0，那么 g(x) | f (x).如果 f (x)， g(x)不全为零，令(f (x), g(x)) = d(x)，则 f (x) = d(x) f (x)， 1g (x) = d (x) g (x)， 且(f (x), g (x)) = 1 .那 么 f 2(x) = d2(x) f 2(x)， 1 1 1 1g 2( x) = d 2( x) g 2( x)，故由 g (x)2 \ f (x)2，可得 g 2( x)\ f 2( x)，故 g (x) I f 2( x)， 1 11 11又(f (x), g (x)) = 1，根据互素多项式的性质知，g (x) I f (x)，从而g (x) = c(常1 1 1 1 1数).于是 g(x) = cd(x)， g(x) \ f (x)8. 利用余数定理此方法关键在于熟知余数定理⑸的概念且灵活应用.例 8 证明如果(x - 1)| f (xn )，那么(xn - 1)| f (xn ).证明 因为(x - 1)| f (xn )，所以1是f (xn)的根，于是f (1n ) = f (1) = 0，(x-1)| f (x)故存在多项式g(x)，使得：f (x) = (x - 1)g (x)，从而有 f (xn ) = (xn - 1)g (xn )，此即(xn - 1)| f (xn ).9. 利用矩阵判别法此方法关键在于求出多项式系数所构成的行列式的秩相等.定理：多项式g(x)整除f (x)的充要条件是秩(B)=秩(B )= m-n +1.⑹例9 设 f (x) = x3 + 〃x + q , g(x) = x2 + mx-1,求m , p , q 满足什么条件时 g(x)整 除 f (x).解令A = (q p0 1)，B ='-1 m 1 0'fg,0 -1 m L‘-1 m 1 0B =0 -1 m 1< q p 0 1 /对B作初等列变换'-1 0 0 0]'-1 0 0 0 ]'-1 0 0 0 ]Q + (m)q >0 -1 m 1 >0 1 m -1—c3 + ( me2 >0 1 0 0C3 ^C!C2/C4C4 +C23 1"q p + mq q 1 j2 4"q 1 p p + mq j4 2"q 1 q - m p + mq +1 jB =根据定理有g(x)整除f (x), Z秩(B)=秩(B ) = m - n +1 g\q — m = 0=3 - 2 +1 = 2Z 尸 ，[p + mq +1 = 0解得 当 q = m，p = -1 -m2 时，g(x)整除 f (x).以上是我总结的多项式整除的九种判别方法.但这些方法都是建立在第4页(共5页)多项式整除的基本性质上，故我们必须熟练的掌握这些基本性质，才能灵 活运用这些方法来处理多项式的整除问题.参考文献[1] 徐利治.现代数学手则•经典数学卷[M].武汉:华中科技大学出版 社，2000:120-124[2] 张禾瑞，郝颌新.高等代数[M].北京：高等教育出版社（第5版），2。