高等数学测试题一(极限、连续)答案（可编辑）.docx
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高等数学测试题一(极限、连续)答案第一篇：高等数学测试题一(极限、连续)答案 高等数学测试题 （一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当x®+0时，（ ）无穷小量 111A xsin B ex C lnx D sinx xxx<1ì3x-1ïx= 1的（ ） 2、点x=1是函数f(x)=í1 ï3-xx>1îA 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数f(x)在点x0处有定义是其在x0处极限存在的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 x2+2+ax)=0，则常数a等于（ ） 4、已知极限lim( x®¥xA -1 B 0 C 1 D 2 ex- 15、极限lim等于（ ） x®0cosx-1A ¥ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、lim(1-)= x®¥21x2x 2、 当x®+0时，无穷小a=ln(1+Ax)与无穷小b=sin3x等价，则常数A= 3、 已知函数f(x)在点x=0处连续，且当x¹0时，函数f(x)=2则函数值f(0)= -1x2， 4、 lim[111++L+]= n®¥1·22·3n(n+1) 1 5、 若limf(x)存在，且f(x)=x®psinx+2limf(x)，则limf(x)= x®px®px-p 二、解答题 1、（7分）计算极限 lim(1-n®¥111)(1-)L(1-) 22223n 2、（7分）计算极限 limx®0tanx-sinx 3x 3、（7分）计算极限 lim(x®¥2x+3x+1) 2x+ 14、（7分）计算极限 limx®01+xsinx-1e-1x2 x3-ax2-x+ 45、（7分）设lim 具有极限l，求a,l的值 x®-1x+1 6、（8分）设a(x)=x3-3x+2,b(x)=c(x-1)n，试确定常数c,n，使得a(x):b(x) 1ìxsinï 7、（7分）试确定常数a，使得函数f(x)=íx2ïa+xî在(-¥,+¥)内连续 x>0x£0 8、（10分）设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，a
2.计算求lim(n®¥n-lnnn（选自广东省大学生高等数学竞赛试题） n+lnnlnn2lnn2lnnn-lnn)=lim[(1+)]析：lim( n®¥n-lnnn®¥n-lnnlnn1+tt2=t,则原式lim()=e. 令+t®0n1-t1nn-lnn2n 111++L+(-1)n-1) n®¥23n11111111=1++L+-(++L+) 析： S2n=1-+-L-232n32n-1242n111111111-2(++L+)=++L+ =1+++L+ 232n242nn+1n+2n+n3.计算：lim(1-1111++L+) =(12nn1+1+1+nnn 最后一式是函数f(x)= 故limS2n=ò11在[0，1]区间上的积分和（n等份，取右端点） 1+x1dx=ln2 01+xn®¥1 又limS2n-1=lim(S2n+)=ln2 n®¥n®¥2n11n-11) 因此lim(1-++L+(-1)n®¥23n na 4. 设limb=2022，试求a,b的值 n®¥n-(n-1)bna-bna-bna-b+1na== 析：b= b1b11n-(n-1)1-(1-)b1-(1-+0())b+n×0()nnnnì¥,ïna-b+1ï1 显然由条件知b¹0；而lim=í,n®¥1b+n×0()ïbnïî0, 因此有a-b+1=0,且 xx2n 5.计算：lim(1++2) n®¥n2n1a-b+1>0,a-b+1=0, a-b+1<0,b=2022，故a=-20221,b= 20222022éxxùéùx(n+)x(n+)ú2êxnxxn2)n<ê1+2ú=ê1+xú 析：Q(1+)<(1++)=(1+êú2xnn2n2n2xên2-úên-úêêú2úëû4ûënnæxö 易知:ç1+÷=ex, ènøæöç÷x÷进行变量代换，令n-x=m,则当n®¥时m®¥,并且=m+x, 对ç1+22çn-x÷ç÷2øènnæöxç÷éùxxxm2ç÷=limê(1+)(1+)ú=ex 因此有lim1+n®¥çm®¥x÷mmûëçn-÷2øènxx2nx)=e. 由夹逼原理得lim(1++2n®¥n2n 6.1.设当x®1时,1-m是x-1的等价无穷小,则m=______. 1+x+L+xm-1解 m=3.7. 13.已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为-1,则lim[1+f(1+)]n=_____.n®¥n1解lim[1+f(1+)]n=e.n®¥n 8.5.limn®¥åk=1nkenn+1k=______. 解 原式=e-1.1.设函数y=y(x)满足y¢¢+(x-1)y¢+x2y=ex,且y¢(0)=1.9. y(x)-x若lim=a,则a=_______.x®0x2解应填1. 由题设y¢¢(0)-y¢(0)=1,于是y¢¢(0)=2.y(x)-xy¢(x)-11所以a=lim=lim=y¢¢(0)=1.2x®0x®02x2x 10.2.已知f(x)=ex-b在x=e处为无穷间断点,在x=1处 (x-a)(x-b)为可去间断点,则b=________.解应填e.由题意知必有a=1,b=e或a=e,b=1.e,limf(x)=¥,符合题意;x®1e-1x®e当a=e,b=1时,limf(x)=limf(x)=¥,与题意不符.x®1x®e当a=1,b=e时,limf(x)= 11.7.已知lim1ln[1+xx®02-1f(x)f(x)]=4,则lim=_________. 3x®01-cosxx解 应填2ln2.1f(x)f(x)limln[1+]=lim=limx®0x®02x-11-cosx(2x-1)(1-cosx)x®0f(x)2f(x)f(x)=lim=4Þlim=2ln2.2x®0xln2x®0x3x3xln2×2 12.5.已知有整数n(n>4)使极限lim[(xn+7x4+2)a-x]存在且不为零,则a=__. x®+¥1. 5因为lim[(xn+7x4+2)a-x]=lim[xna(1+7x4-n+2x-n)a-x],所以由极限存在可得na=1,解应填x®+¥x®+¥由极限不为零得4-n=-1,因此a=1.5 13.10.设函数f(x,y)=1tanxy(xy¹0),则limlimf(x,y)-limlimf(x,y)=____. x®0y®¥y®¥x®0xy1+xy解应填-1.因为limlimf(x,y)=0,limlimf(x,y)=1,所以limlimf(x,y)-limlimf(x,y)=-1.x®0y®¥y®¥x®0x®0y®¥y®¥x®0 第三篇：高等数学基础第二章极限与连续 第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。
难点：极限、连续的概念 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义 例1 求下列极限： （1）limx®09+sin3x- 3x1x （2）limsin(x-1) 2x®1x-1 （3）lim(1-2x) x®0 x2+cos2x- 1（4）lim x®¥(x+sinx)2 （5）lim(xe+x®0x1) x-1 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 limx®09+sin3x-3 x =lim(9+sin3x-3)(9+sin3x+3) x®0x(9+sin3x+3) =limsin3x1 ´limx®0x®0x9+sin3x+3 =3´11= 62 （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 limsin(x-1)sin(x-1)=lim x®1x®1(x+1)(x-1)x2-1 =lim sin(x-1)1 ×limx®1x®1x-1x+111 =1´= 1+12 （3）利用第二重要极限计算，即 lim(1-2x)＝lim[(1-2x)x®0x®01x1-2x-2]=e-2。
（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 cos2x-1cos2x-11+lim[1+]22x®¥x2+cos2x-1xx lim= 1 =lim=2x®¥(x+sinx)x®¥sinx2sinx2(1+)lim(1+)x®¥xxcos2x-11sinx1注：其中当x®¥时，=2(cos2x-1)都是无穷小量乘以有=sinx，2xxxx界变量，即它们还是无穷小量 （5） 利用函数的连续性计算，即 lim(xe+x®0x11)＝0×e0+=-1 x-10-1 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函。
