新教材北师大版高中数学必修4第2章平面向量基础知识检测及答案.doc

新教材）北师大版精品数学资料第二章基础知识检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)为基底表示c＝(3，－2)为(　　)A．c＝4a＋b　　　　　 B．c＝a＋4bC．c＝4b　 D．c＝a－4b[答案]　B[解析]　令c＝xa＋yb，得∴即c＝a＋4b.2．下列说法正确的是(　　)A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cC．＝－D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b[答案]　D[解析]　A中两向量的夹角不确定；B中若a⊥b，a⊥c，b与c反方向则不成立；C中应为＝－；D中b⊥c⇒b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b.3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cosθ＝(　　)A．　 B．C．　 D．[答案]　D[解析]　由已知条件知b＝[(4,5)－a]＝(1,2)，∴cosθ＝＝＝.4．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a与a＋2b垂直，则m的值为(　　)A．　 B．1C．－　 D．－1[答案]　D[解析]　∵a＋2b＝(1,3)＋2(－2，m)＝(－3,3＋2m)，∵a与a＋2b垂直．∴1×(－3)＋3(3＋2m)＝0，∴m＝－1.5．(2013·辽宁理，3)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)A．(，－)　 B．(，－)C．(－，)　 D．(－，)[答案]　A[解析]　因为＝(3，－4)，||＝5，所以与向量同向的单位向量为＝＝(，－)，选A.6．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)A．a⊥e　 B．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)　 D．(a＋e)⊥(a－e)[答案]　C[解析]　由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．7．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)A．1　 B．2C．　 D．[答案]　C[解析]　由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.8．(2014·四川理，7)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)A．－2　 B．－1C．1　 D．2[答案]　D[解析]　本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.9．点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)A．三条中线交点 B．三条高线交点C．三条边的中垂线交点 D．三条角分线交点[答案]　B[解析]　由·＝·，得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥；同理⊥，⊥.∴点O是三条高线的交点．10．已知向量a＝(2cosθ，－2sinθ)，θ∈(，π)，b＝(0,1)则向量a与b的夹角是(　　)A．－θ　 B．＋θC．θ－　 D．θ[答案]　A[解析]　本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解．即cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ，∵0<〈a，b〉<π，∴cos〈a，b〉＝cos(π－θ)，∴〈a，b〉＝π－θ.第Ⅱ卷(非选择题　共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知平面向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k＝________.[答案]　11或－2[解析]　＝(4－k，－7)，＝(10－k，k－12)．∵A，B，C三点共线，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，∴k＝11或k＝－2.12．(2014·北京理，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.[答案]　[解析]　本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算．由λa＋b＝0，有b＝－λa，于是|b|＝|λ|·|a|，由b＝(2,1)，可得|b|＝，又|a|＝1，故|λ|＝.13．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则点D的坐标为________．[答案]　(0，－2)[解析]　设D(m，n)，则＝(8,8)，＝(8－m,6－n)，＝(m＋2，n)，＝(2，－2)，又AB∥DC，AD∥BC，则∥，∥，则解得14．已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．[答案]　2x－3y－9＝0[解析]　设B(x，y)为直线l上任意一点，则l的方向向量为＝(x－3，y＋1)．又a＋2b＝(－2,3)，由题意知(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，展开化简得2x－3y－9＝0.15.如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.[答案]　1＋　[解析]　∵＝x＋y，又＝＋，∴＋＝x＋y，∴＝(x－1)＋y.又⊥，∴·＝(x－1)||2.设||＝1，则由题意||＝||＝.又∠BED＝60°，∴||＝.显然与的夹角为45°，∴由·＝(x－1)||2，得×1×cos45°＝(x－1)×12，∴x＝1＋.与的夹角易知为45°，则·＝y||2，得×1×cos45°＝y×12，∴y＝.综上，x＝1＋，y＝.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°.求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|a－b|.[解析]　a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.(2)|a－b|＝＝＝＝.17．(本小题满分12分)如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值．[解析]　以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则由已知条件，可得＝(1，)，＝(，1)．故cos∠DOE＝＝＝.18．(本小题满分12分)已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.[解析]　设向量b＝(x，y)，则＝a－b＝(－－x，－y)，＝a＋b＝(－＋x，＋y)，由题意可知，·＝0，||＝||，从而有解之得或所以b＝(，)或b＝(－，－)．19．(本小题满分12分)如图所示，△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于P，用向量a，b表示.[分析]　先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值．[解析]　＝＋＝＋.设＝m，＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝b＋n(a－b)＝(1－n)b＋na.∵a，b不共线，∴⇒∴＝a＋b.20．(本小题满分13分)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BEEC.[解析]　解法一：设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a||b|cos60°＝1，＝a＋b.设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a，由AE⊥BD，得·＝0，即(λb－a)(a＋b)＝0，得λ＝，所以BEEC＝＝23.解法二：以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.又设E(m,0)，则＝，＝，由AE⊥BD，得·＝0，即－×＝0，得m＝，所以BEEC＝＝23.21．(本小题满分14分)已知平面向量a＝(，－)，b＝(，)．(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－k)b，y＝－sa＋tb，且x⊥y，试求函数关系s＝f(t)；(3)若s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，试求k的取值范围．[解析]　(1)由题知|a|＝|b|＝1，且a·b＝×－×＝0，所以a⊥b.(2)由于x⊥y，则x·y＝0，从而－s|a|2＋(t＋sk－st2)·a·b＋t(t2－k)|b|2＝0，故s＝f(t)＝t3－kt.(3)设t1>t2≥1，则f(t1)－f(t2)＝t－kt1－(t－kt2)＝(t1－t2)(t＋t1t2＋t－k)．因为s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数．所以t＋t1t2＋t－k>0，即k3，所以只需k≤3即可．。