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数学分析(华东师大版) ; 第一章实数集与函数 单项选择题： 1.y《xsinx是A. 偶函数.B. 奇函数.C. 非奇非偶函数. D.以上都不对. 2. 设f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数, 那么A. g[f(x)]与f[g(x)]都是奇函数.B. g[f(x)]与f[g(x)]都是偶函数.C. g[f(x)]与f[g(x)]都是非奇非偶函数.D. g[f(x)]为奇函数, f[g(x)]为偶函数. y《ln(1《x)333.x《1的定义域是B.x《1,或x《《1.x《《2《2《x《2x《2A.《1《x《1.2《x《f(x)《《x《9x《2《4. 设C.x《《1或x《1.D.x《1且x《《1.那么以下各式中不成立的是 ()f(1《)f( 4f(0《)f《( 3)A.C.f(《2《)f(《1《)f(2)B.f(. 3 ) D.132《35. f(x)《tan(3《x《1)《5的周期是 () A.《.x1《x2B.3C.D.6. 函数是() A. 无界函数.B. 有界函数. C. 无上界有下界函数.D. 有上界无下界函数. 《x《1f(x)《《《x《17. 函数x《0x《0是()f(x)《(《《《x《《《)A. 单调减少函数.B. 有界函数.C. 两个初等函数.D. 非初等函数. 8. 任意一个定义在R上的函数, 皆可分解为 ()A. 两个偶函数之和.B. 一个奇函数与一个偶函数之积.C. 一个奇函数与一个偶函数之和.D. 两个奇函数之和.9. 以下式子中是复合函数的为() A.y《《1《B.y《《《《x(x《0. )《2《 1《(2《x. ) D.y《x《1.2xC.y《sinx10. 以下函数中关于原点对称的是 () x2单项选择题答案: 1—10ABDBCBDCAD 判断题 A..B.10《x《x10Cx.《3cxosDx.x1. 有限集必有上确界.2. 任何周期函数必有最小正周期.3. 两个单调增函数之和仍为单调增函数.4. 假设f(x)在任一有限区间上皆为有界函数, 那么f(x)在整个数轴上是有界函数.5. 假设对任意函数g(x)满足f[g(x)]《g[f(x)], 那么f(x)必为常值函数.6. 分段函数一定不是初等函数.7. 设f(x),g(x)在区间I上是单调增加函数, 那么函数h(x)《max《f(x),g(x)《在I上也是单调增加函数.8. 假设数集A有最大数《,那么 supA《《.9. 有限集必存在上、下确界, 且上、下确界即为该集的最大数和最小数.10. 假设无限数集E存在上(下)确界, 那么它的上(下)确界必不属于E.判断题答案: 1—10 .√×√×××√√√×.填空题1函数y《x《4《22log3x《1《arcsin2x《17的定义域_________.1. 函数y《log5(x《f(x)《x,2x《1)的反函数是_____________.2. 已知f(x)的定义域为[0, 1 ], 那么f(lgx)的定义域为_________.3.《(x)《2,那么 f[《(x)]《______________.x4. f(x)是有界、周期的偶函数，但它没有最小正周期，那么f(x)《_______.5.f(x)《,1《x那么 f[f(x)]的定义域为___________.16.《xx《(《《,1)《2f(x)《《xx《[1,4]《2xx《(4,《《)《,那么 f《1(x)《____________.7. 假设数集E有最大数《, 那么 supE《_________.8. supE《《的定义:1) 《x《E,x《《;2)《《《《,___________. 9. infE《《的定义:1)《x《E,x《《;2)《《《《,________. 10. 填空题答案:1. [ 3, 4 ].2.y《5《52x《x.3. [1, 10 ].4. 22x《1x《《f(x)《《《0x《《《《6. (《《,《2)《(《2,《1)《(《1,《《)5.xx《(《《,1)《《《1f(x)《《xx《[1,16]《logxx《(16,《《)2《7.8. 《.9. 《x0《E,使得 x0《《.10.《x0《E,使得x0《《.证明题：21． 1．试证明数集S《{y|y《2《x,x《R}有上界而无下界2．设S为非空有下界数集，证明：infS《《《S《《《minS1caf(x)《bf()《,(a,b,cxx3．设f(x)适合均为常数〕且a《b， 试证明f(《x)《《f(x)4． 设f(x)为[《a,a]上奇函数，证明假设f(x)在[0,a]上递增，那么f(x)在[《a,0]上递增。

5. 定义于R上的函数f(x)既是偶函数,又对称于直线x《a定义域上周期函数.6. 假设f(x)定义于R上, 存在正常数k,T对《x《R那么 f(x)《a《(x)xa《0,证明f(x)是其f(x《T)《kf(x)a《0 常数, 其中《(x)是以T为周期的周期函数.7. 设f、g为定义在D上的有界函数，满足f(x)《g(x)，x《D 证明：⑴supf(x)《supg(x)x《Dx《D；⑵inff(x)《infg(x)x《Dx《D8. 证明：f(x)《x《sinx在R上严格增.9. 设f、g为区间(a,b)上的增函数，证明《(x)《max{f(x),g(x)}，《(x)《min{f(x),g(x)}也都是区间(a,b)上的增函数.10. 证明：tanx在(《《2,《2上无界，而在)(《2《2,《2内任一闭区间[a,b]上有界.) 证明题答案：1．证明《y《S，有y《2《x《2，故2是S的一个上界.而对《M《0，取x0《S无下界.3《M，y0《2《x0《《1《M《S，但y0《《M. 故数集22．证明：《〕设infS《《《S，那么对一切x《S，有x《《，而《《S，故《是数集S中的最小的数，即《《minS.《〕设《《minS，那么《《S；下面验证《《infS； ⑴ 对一切x《S，有x《《，即《是数集S的下界；⑵ 对任何《《《，只须取x0《《，那么x0《《. 所以《《infS. 3．证： 令af(x《1x1t后令t《x，)《bf(x《)1cx1caf(x)《b()《xx 2f(x)《1b《a221×b《2《a得(bcx《acx))，《f(《x)《《f(x.4. 《x1,x2《[《a,0] 且 x1《x2,《x1《《x2. 又f(x)在[0,a]上递增, 所以f《(2x)《《f2(, x)a《0,《f(a《x)《f(a《x),f(a《a《)x《(f2, a《x)《《f(1x),1 f(《x1)《f(《x2),又f(《x《《f(x1)《《f(x2), 即f(x1)《f(x2)5. 《f(《x)《f(x),又 f(x)对称于直线x《a)《 《f(x)《f(a《x《a《f(x)在[《a,0]上递增.f[《(a《(a《x)]《所以f(x)是其定义域上的周期函数.6.《x《R,a《0,a《0.令x《(x)《f(x)aax,即 f(x)《a《(x),《kf(x)《《xTakaTx又 f(x《T)《kf(x),《(x《T)《f(x《T)x《Ta(f)x《x《T(x)a,kT取 a 使 k《a,即有 《(x《T)《《(x).7. 证⑴ 《x《D，有所以supf(x)《supg(x)x《Dx《Df(x)《g(x)《supg(x)x《D，即supg(x)x《D是f在D上的一个上界，.，即x《Dinff(x)⑵ 《x《D，有inff(x)《infg(x)x《Dx《Dinff(x)《f(x)《g(x)x《D是g在D上的一个下界，所以.x2《x1x2《x128. 证设x1《x2，于是f(x2)《f(x1)《x2《sinx2《x1《sinx1《x2《x1《2cos|2cosx2《x12sinx2《x122x2《x12sin ，从因为《x《0，有sinx《x，所以而x1《x2《2cosx2《x12sin|《2|sin|《x2《x1x2《x12《x2《x1x2《x12. 所以有 x2《x12《x2《x1《x1《x2《0f(x2)《f(x1)《x2《x1《2cossin即f(x)《x《sinx在R上严格增.9. 证⑴ 先证《(x)《max{f(x),g(x)}是区间(a,b)上的增函数. 设x1《x2，于是有《(x2)《max{f(x2),g(x2)}《f(x2)《f(x1)，《(x2)《max{f(x2),g(x2)}《g(x2)《g(x1)，从而《(x2)《max{f(x1),g(x1)}《《(x1)，所以《(x)是增函数.⑵ 其次证明《(x)《min{f(x),g(x)}是区间(a,b)上的增函数设x1《x2，于是有《(x1)《min{f(x1),g(x1)}《f(x1)《f(x2) 《(x1)《min{f(x1),g(x1)}《g(x1)《g(x2)从而 《(x1)《min{f(x2),g(x2)}《《(x2)10. 证《M《0，取x0《arctan(M《1)，于是tanx0《M《1《M，所以tanx在(《x0《(《《2,《2). 那么有《2,《2上无界.)在(《《2,《)2内任一闭区间[a,b]上，取M《max{|tana|,|tanb|}，那么《x《[a,b]，必有|tanx|《M，所以tanx在[a,b]上有界.计算题:f(x)《1lg(3《x)《49《x21. 1.设，求f(x)的定义域和f[f(《7)]2. 设函数f(x)在(《《,《《)上是奇函数，f(1)《a且对任何x值均有f(x《2)《f(x)《f(2)⑴ 试用a表示f(2)与f(5).⑵ 问a取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数.《1《x,f(x)《《《13. 设x《0x《0，求f[f(x)]. 4.设 f(x)为定义在R上函数，且《x《R， 有2f(x)《f(1《x)《x2试求f(x)的叙述式. x《1，试验证f{f[f(f(x))]}《x，并求5. 设6.讨论以下函数的奇偶性g(x)《f(x)(1a《1xf(x)《xf[1f(x)〔x《0，x《1〕.]《12),其中f(x)是奇函数. 7. 设 f(2x)《3x《1,且 f(a)《4, 求 a的值.8. 设 f(x)的定义域D《[0,1], 求函数 f(x《a)《f(x《a)(a>0)9. 设f(x)《1x《x2，求⑴ f(x)的定义域 ⑵ 2 10. 设{f[f(x)]}1x， 试用f(x)表示f(x)与f(x3)222f(x)《x《计算题答案:1.解由3《x《0,3《x《1,49《xf(《7)《1lg10《1《0解得f(x)的定义域为[《7,2)《(2,3)f[f(《7)]《1lg2《43，所以2.解⑴ 因为对任何x值均有f(x《2)《f(x)《f(2)，令x《《1得a《f(1)《f(《1《2)《f(2)《f(《1)《f(2)《f(1)《f(2)《a，所以f(2)《2a.f(3)《f(1)《f(2)《3a，f(5)《f(2)《f(3)《5a 。