2021高中数学第三章指数运算与指数函数 教案北师大版必修第一册.pdf

第三章指数运算与指数函数第 1 节 指数嘉的扩充3.1.1 指数幕 的扩充教 材 分 析初中学习了整数指数基的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数(分数指数)的运算，完成了指数基运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方(根式)运算与乘方(指数式)运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础教学目特与核心素养(1)知识目标：掌握有理数指数基的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幕的运算；理解实数指数哥的含义2)核心素养目标：通过实数指数幕的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养教学重难息(1)正分数指数基的含义和运算；(2)有理数指数塞的运算；(3)根式与分数指数昂的相互转化课前准备多媒体课件教学过程一、知识引入在初中，学习了整数指数事的运算及性质an=a-a,a.a-n个X a-a-n i0-1 a =，am-an=(amY=,(a-b)n=a”那思考讨论:(1)薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位hm)与年数(年)的关系式为S=So 1.057,其中 s。

为侵害面积的初始值如果求10年后侵害的面积，则 S=S o,l.O 57io；如果求15.5年后侵害的面积,就需要计算 S=S o 1.05715：这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？提示：指数是分数.32=(2)对于分数指数基，该如何运算呢？如？.(32)2=3?x2=3=3 35=V3提示：，又 J)J,可见.二、新知识1、给定正数0和正整数犯(n 1且见 互素)，若存在唯一的正数,使得=暧 则 称 为m 的 次幕.mb=赤记作，这就是正分数指数塞.例如:萨=2,则1b=2则13t =56注意:当k是正整数时,分数指数累mQG满足:m kmQ元=屈与3万=V 3类似,当底数a 0叶时,an=V a5,其中府 读作“次根号下am也叫根式运算.例如:8 1 =7 8 =2 7 22 7?=正/=9根据分数指数暴m的定义，分数指数基的条件是：底数a 0虽然y为 二 一 3,但不能写成(-2 7)?=-3例1.把下列各式中的正数b写成正分数指数嘉的形式:(1)垃=2b4=25(2)(/3)、bn 3m(rn1n E 7 V+)、b3n=e /V+)；(4)1b=2 0 5解：5zb=2 4(2)：mb=3n(3)9m 3m,b=7l(4)2、类似负整数指数暴的定义，给 定 正 整 数 叫 7 11且犯 互素），定义_ 巴 _ i _ i0 FF至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.那么，指数是无理数的情况呢？以 川为例说明如下因为 V 2=1-414213.所以1.4 1.41 1.414 -V2-1.415 1.4 2 1.5上式&左边的数称为 虎的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值i o1-4 101-41 101 4 1 4 1 0&101-415 101-42 0),am=廿息（a。

在初中，学习了整数指数幕的运算性质am-an=由 叫 (am)n=/1,(a -b)n=a”二、新知识类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下:力为正实数，a,，为实数aa-=0a+匕(a),=a0%(a 1 b)a=(f-ba例1.计算:(2-3)5 X(企厂28-3 2 X(V4)3(-)2 _ 三 -i+4-2-1-3(2)；(3)9解：（1）(2-3)IX (V 2)-2=2-3 xlx 2?x(-2)=2-1 X 2 T =2-=：228-3X(V4)3=尸 X 23=2-2+3=2(1)5+4-?-1-5=3-2X?+22X(V)1=3-1+2T 1=-：例2.计算:项升二（2T）,（2a）m（4）项）空-夜=2&X(-V 5)=2-2(4)(我)近悭=呵 丘x丘=(V 2)2=2例 3.化简(式中的字母均为正实数)：11(硝 t (a-2)-5 1(4)K y)*(4y-a)解：:/八 a-a2-a2(1)；3x 夜(k&y z)；a a 一 2 2 =1-25+-2 =-n 2(a 句t.(a-2)-1=a*T)X(-9=J3x 虎 2x 加yz)=6/-yz=6y2 1(4)&y)4 1)=4/(I、。

产 a =4”，n V ni o a=3,10夕=4 1 0 ,1 0 ,io-2a,iof4.已知，求.100=10 X 10 =3 X 4=12:;10“-0=1OC T x 10-0=3 X-=-4 410-2a =(10)-2=3-2=1*10?=(10 修=4；例 5.已知实数a,g,且a ，6 ,求证：=7证明：根据指数基的定义和运算性质,(g)a =(a h-1)a=aa (ZJT)aa-ba=思考讨论（综合练习）（1）计算下列各式（式中的字母为正数）：7遮-3区-6平+追 我 苧 之.3 3XUX-5 =3 X2-3(2)若，求 二+k2-2的值.7 V 3-3快-6平+我 密提示：51-7-3 5-3 -31-8 5-6-(3-2)5+35 伊)1 1 _2 1 1=7*33 6,33 2*3,3，+3Z 运1 1 1 1=7-33 6,33 2 3?+3=0m+m-1+2(m2)2+(mF2+2M T n T 21 _1m2+m2 由 +2 =3 两 边 平 方，得 x +x-i=7,再 平 方x2+x2=4 7又xl+x-1-3=(X?)3+(X 5)3-3=8+XY)(X+XT-1)3=15所以3 3x T+%-7-3 _ 15 _ 1x2+x-2 _2-47-2 3三、课堂练习教材P 79,练 习 1、2.四、课后作业教材P 7 9,习题3-2：A组 第16题，B组 第1、2题.教学反思在指数幕的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算性质进行运算，另外在运算过程中注意运算顺序。

第三章指数运算与指数函数第3节 指 数 函 数3.3.1指数函数的概念3.3.2指数函数的图象和性质(1)教材分析指数函数是继研究了函数的概念和性质之后在高中阶段研究的又一个基本初等函数，通过指数函数及图象与性质的研究，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，凸显了函数图象在研究函数性质时的重要作用，同时培养学生的函数应用意识，为今后学习其它的初等函数奠定了基础教学目标与核心素养(1)知识目标：掌握指数函数的定义：通过指数函数的图象，归纳出指数函数的性质；利用指数函数的性质在不等式、方程问题中的应用2)核心素养目标：通过指数函数概念、图象和性质的学习，使学生掌握研究函数的一般方法，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力教学重难点(1)指数函数的概念；(2)指数函数的图象和性质；(3)指数函数性质以及利用指数函数的单调性比较实数大小、解不等式等方面的应用课前准备多媒体课件教学过程一、引入曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？让我们来计算一下，一张标准A4纸，规格为长29.7cm,宽21cm,厚度大约0.01cm,(i)4=1.85?8=7 rzr折叠8次,纸的长度变为29.7X 2 cm,厚度变为0.01X cm,这时纸的长度已经小于厚度了，无法再折叠了。

假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠3 0次的高度大约是多少？折叠5 0次呢？提示：折 叠3 0次，厚度为0.01 X 230 1 0 7*17cm=1 0 7k m,大 约 是1 2个珠穆朗玛峰的高度了；折 叠 50 次，厚度为0.01 X 250 7 1.1 3 X 1 0 =1 4 3 叫 小，约 为 3亿km,地球与太阳的距离约1.5亿k m,已接近地球与太阳的距离了二、新知识1、形如=aX(a 且1)的函数称为指数函数.其中“是自变量，且 X E R.,E I,y=2x/=（）“小心例如：）；等等P注意：指数函数的定义域为 R,值域为（，+8）；当*二口寸，y=a =l,即指数函数的图象过定点（，1）；若 =乙指数函数、=谈即为 y-图象为经过点（D与，轴平行的直线.2、指 数 函 数 的图象和性质1）作 出 指 数 函 数y=2 的图象.列表、描点、连线得函数 2、的图象如图X-3-2-10123 y=2X 1814121248 同理可作出指数函数 Nv =3的图象3注意:一般的，指 数 函 数 y=Q：当 i 时定义域为 R,值域为(，+8),图 象 过 定 点(。

2 函 数 在“上是增函数，当 +8时 y r+8,当 -8 时y t 0对于指数函数 y 和 y=b X(匕 1),当时0 ax bx 0.，三 W，当 时ax 17-0.15 y Q.l(2)R例 1.比较下列各题中两个数的大小：5卑解：由指数函数y=a：当0 1 时，0.8 0,7.50 8 50 7(1/,-0.1 5 -0.1 .7-015 32 r例 2.(1)求使不等式 成立的实数的集合；(2)已知方程=2 4 3,求 实 数”的值；解：不 等 式*3 2,即2级 2 5,由函数丫=2、在R上单增，得 及 5,所以实数”的集合为.5、(p+)(2)方程/一 1 二“2433,即_ 702x-2-Q5-2=5 X=7，得，所以 2.y=(-)x2)作出指数函数 2的图象.y=(i)x列表、描点、连线得函数2的图象如图同理可作出指数函数P注意:一般的，指数函数、=出，当+8 对 于 指 数 函 数、=必 和 y=b 0a b 产 1,当*=0时/=炉=1,当%0时0 ax bx 1例 3.比较下列各题中两个数的大小:G）T 8,（-28（i）-0-3,（i）1 3（1）5（2）3 3.解：由指数函数，=：当 ”1时，函数在R 上单调递减-8,0 1飞尸-。

3 铲I/，思考讨论（综合练习）解 不 等 式 23-及 0 早-1；已 知 函 数 f（x）=k a T（k，为常数，且 ）的图象经过点4（0,1）,8（3,8）求函数 0的解析式；幻=X i若函数 f M+i,求 g（”）的值域.9 3 2x v n r x 1 o3 2x ol-x提示：（1）不等式，即Z L .函数”2、为增函数，.3-2 x 2不等式的解集为 0+I 图 象 经 过 点4（0，l），B（3叟 得=1=8,解得k=l函数“S的解析式为f(x)=2X(_ 2X-1g G)=行+1-22X+1i 一岛所以2X 02X+1 1g(x)=(-1,1)-e (-2,0)2X+1、三、课堂练习教材P84,练 习1、2、3.四、课后作业教材P89,习题3-3：A组第3、4、5、6,B组 第1、2、3题.教学反思利用函数的性质解决方程、不等式等问题，是函数思想的重要应用，指数函数的图象有别与初中学习的函数图象，熟练掌握指数函数两种情况的图象和性质，是解决复合函数问题的基础第三章指数运算与指数函数第3节 指 数 函 数3.3.2指数函数的图象和性质（2）教材分析上一节学习了指数函数的图象和基本性质，本节将进一步研究指数函数的性质及应用,特别是函数图象变换和简单的复合函数问题，进一步深化学生对指数函数概念、图象和性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，提高分析和解决函数的综合性问题的能力。

教学目标与核心素养(1)知识目标：进一步掌握指数函数的图象和性质；掌握指数型函数的图象变换方法；利用指数函数的性质解决简单的复合函数问题2)核心素养目标：通过指数函数图象和性质的应用，使学生感悟函数思想方法在解决相关数学问题中的重要作用，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力教学重难点(1)指数函数的图象和性质的综合应用；(2)指数型函数的图象变换、简单的复合函数问题课前准备多媒体课件教学过程1、指数函数的性质:a 10 a 1图象T jX性质(1)定义域：(2)值域:(3)过定点(4)当时当 y 1时 0 时。