高中数学北师大版选择性必修章册同步学案2.1第1课时等差数列-含解析.doc

§2　等差数列2.1　等差数列的概念及其通项公式第1课时　等差数列学 习 任 务核 心 素 养1．理解等差数列的概念．(重点)2．掌握等差数列的判定方法．(难点)3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．(重点、难点)1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．1．先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点．1,2，(　)，4,5，…2,5,8，(　)，14，…－2,3,8，(　)，18，…[提示]　后一项减前一项都等于常数．2．对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)?[提示]　an＋1－an＝d(d为常数)．1．等差数列的定义文字语言从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，称这样的数列为等差数列符号语言若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列2．等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．(1)若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列？(2)若数列{an}的通项an＝ 试问数列{an}是等差数列吗？[提示]　(1)一个数列从第 2项起，每一项与它前 一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．(2)不是．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知a3与a5，可以求出等差数列{an}的通项公式． (　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．－2　　　　D．－3[答案]　C3．等差数列{an}，a1＝7，a7＝1，则a5＝________．3　[a1＝7，a7＝1，由an＝a1＋(n－1)d得1＝7＋6d，∴d＝－1，∴a5＝a1＋4d＝3．]4．若an＝pn＋q(p，q为常数)，问{an}是否为等差数列？[解]　∵an＝pn＋q，∴an＋1＝p(n＋1)＋q，∴an＋1－an＝p(常数)．∴{an}是公差为p，首项为p＋q的等差数列． 类型1　等差数列的通项公式【例1】　在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an．[思路点拨]　欲求an，只需求首项a1和公差d，故可利用a5＝11，a8＝5，建立关于a1和d的方程组求解．[解]　设数列{an}的公差为d，由a5＝11，a8＝5，得即解得a1＝19，d＝－2，所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n．首项a1和公差d是等差数列{an}的两个基本量，有关等差数列的问题，一般都可以通过求a1和d求解，但要注意公式的变形和整体代换的运用，以减少运算量．[跟进训练]1．在等差数列40,37,34，…中第一个负数项是(　　)A．第13项　 B．第14项C．第15项　　 D．第16项C　[设数列{an}的公差为d，由已知得：a1＝40，d＝37－40＝－3，所以an＝40＋(n－1)×(－3)＝43－3n，由an<0，得43－3n<0，解得n>，所以第一个负数项是第15项．] 类型2　等差数列的判定【例2】　如果数列{an}是等差数列，数列{bn}中，bn＝3an＋2，求证：{bn}是等差数列．[思路点拨]　要证{bn}是等差数列，即要证bn＋1－bn为常数(n∈N＋)．[证明]　{an}为等差数列，设公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)，由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2, ∴bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数． ∴数列{bn}是等差数列．1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数)． 2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq即可．[跟进训练]2．已知数列{xn}满足xn＝．(1)求证：是等差数列；(2)当x1＝时，求x100．[解]　 (1)证明：当n≥2时，＝＝＋，∴－＝，∴是等差数列，公差为．(2)由(1)知， ＝2＋(n－1)，∴＝2＋(100－1)＝35，∴x100＝． 类型3　等差数列的实际应用【例3】　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？[解]　 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[跟进训练]3．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km,4 km,8 km高度的气温．[解]　 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n．∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．　1．等差数列的通项公式：(1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；(2)在等差数列中，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以求得另一个量．2．等差数列的判定方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列．(2)通项公式法：an＝kn＋b(k、b为常数)⇒{an}是等差数列．1．等差数列，－，－，…的第10项为(　　)A．－　　　B．－　　　C．　　　D．B　[由a1＝，d＝－－＝－2，得an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋．当n＝10时，a10＝－2×10＋＝－．]2．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是(　　)A．第11项　 B．第12项C．第13项　 D．第14项C　[由an＝a1＋(n－1)d得an＝－7n＋88，令an≥0，解得n≤＝12，而a12＝4，a13＝－3，故a13的值最接近零．]3．等差数列的第1项是1，第7项是－1，则它的第4项是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3A　[a1＝1，a7＝－1，由an＝a1＋(n－1)d得，－1＝1＋6d，∴d＝－，∴a4＝a1＋3d＝0．]4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列．[证明]　设bn＝lg an，则bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝(n＋3)lg 2－(n＋2)lg 2＝lg 2(常数)．所以数列{bn}是等差数列，即数列{lg an}是等差数列．。