第1课实数及其运算.ppt
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第一章 数与式第1课 实数及其运算 实数实数无理数无理数无限不循环小数无限不循环小数整数整数分数分数负整数负整数自然数自然数有限小数或无限循环小数有限小数或无限循环小数1.实数的分类实数的分类 按实数的定义分类：按实数的定义分类：要点梳理要点梳理正无理数正无理数 负无理数负无理数 有理数有理数 正整数正整数 零零 正分数正分数 负分数负分数 根据需要，根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数我们也可以按符号进行分类，如：实数 2．实数的有关概念．实数的有关概念 (1)(1)数轴：数轴：规定了规定了 ，， 和和 的直线的直线 叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应．叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应． (2)(2)相反数：相反数：只有只有____________不同，而不同，而______________相同的两个数称相同的两个数称为互为相反数．若为互为相反数．若a、、b互为相反数，则互为相反数，则a＋＋b＝＝__________. (3)(3)倒数：倒数：1除以一个不等于零的实数所得的除以一个不等于零的实数所得的__________，叫做，叫做 这个数的倒数．若这个数的倒数．若a、、b互为倒数，则互为倒数，则ab＝＝__________.原点原点 正方向正方向 单位长度单位长度 符号符号 绝对值绝对值0 商商 1 正实数正实数负实数负实数零零注意：注意： a-1=1/a (4)(4)绝对值：绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的在数轴上，一个数对应的点离开原点的 叫叫做这个数的绝对值．做这个数的绝对值．距离距离 a 0 －－a |a|是一个非负数，即是一个非负数，即|a|________________.≥0 |a|＝＝ (a>0)(a=0)(a<0)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (5)(5)科学记数法，近似数，有效数字：科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成科学记数法就是把一个数表示成 的的形式；形式； 一个近似数，一个近似数， 到哪一位，就说这个数精确到哪一位，到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从这时，从左边第一个不是零的数字起左边第一个不是零的数字起，，到末位数字止到末位数字止，所有的，所有的数字都叫做这个近似数的数字都叫做这个近似数的有效数字有效数字．．(6)(6)平方根，算术平方根，立方根：平方根，算术平方根，立方根： 如果如果x2＝＝a，那么，那么x叫做叫做a的平方根，记作的平方根，记作______________；； 正数正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；的正的平方根，叫做这个数的算术平方根； 如果如果x3＝＝a，那么，那么x叫做叫做a的立方根，记作的立方根，记作____________．．±a×10n(1≤a＜＜10,n是整数是整数)四舍五入四舍五入 ±± 3.零指数幂，负整数指数幂：零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于任何非零数的零次幂都等于1，即，即 ；； 任何不等于的数的－任何不等于的数的－p次幂，等于这个数次幂，等于这个数p次幂的倒数，次幂的倒数， 即即 ．．4.实数的大小比较：实数的大小比较： ____________大于零，大于零，____________小于零，小于零，____________大于一切负数；大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比____________的的 点所表示的数点所表示的数__________．． 差值法比较：差值法比较： a－－b＞＞0⇔⇔a＞＞b a－－b＜＜0⇔⇔a＜＜b a－－b＝＝0⇔⇔a＝＝b a0＝＝1(a≠0) a－－p＝＝ (a≠0，，p为正整数为正整数) 正数正数 负数负数 正数正数 左边左边 大大 [ 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 ] 1．正确理解实数相关的概念．正确理解实数相关的概念在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种判断和列式错误．这些概念包括：正数、负数、有理数、无理判断和列式错误．这些概念包括：正数、负数、有理数、无理数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝对值、数轴、零指数、负整数指数等．对值、数轴、零指数、负整数指数等．2．注意基本技能的掌握及正确的运算．注意基本技能的掌握及正确的运算在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列变形和计算错误．这些技能包括：分数的通分与约分、运算的变形和计算错误．这些技能包括：分数的通分与约分、运算的灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用科学记数法表示数等．科学记数法表示数等． 3．利用数形结合的数学思想直观地解决问题．利用数形结合的数学思想直观地解决问题 数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的．数轴数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的．数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，把把“数数”与与“形形”有机地结合起来，从而便于学习和研究．有机地结合起来，从而便于学习和研究． 4．运用分类讨论思想，全面解答问题．运用分类讨论思想，全面解答问题 在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全面地把代数式的值一一求出来，如：面地把代数式的值一一求出来，如： 已知已知abc≠0，且，且M＝＝ ＋＋ ＋＋ ＋＋ ，根据，根据a、、b、、c的不同的不同取值，取值，M有有 ( ) A．唯一确定的值 ．唯一确定的值 B．三种不同的值．三种不同的值 C．四种不同的值 ．四种不同的值 D．八种不同的值．八种不同的值B 基础自测基础自测1．．(2011·金华金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克克)为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ( ) A．＋．＋2 B．－．－3 C．＋．＋3 D．＋．＋4 解析：四个选项中＋解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．的绝对值最小，故最接近标准．A 2．．(2011·衢州衢州)数－数－2的相反数为的相反数为 ( ) A．．2 B. C．－．－2 D．－．－ 解析：一个数的相反数就是在这个数前面加解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－－”号．号．3．．(2011·义乌义乌)－－3的绝对值是的绝对值是 ( ) A．．3 B．－．－3 C．－．－ D. 解析：解析：|－－3|＝＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．，一个负数的绝对值是它的相反数．AA 4．．(2011·宁波宁波)下列各数中，是正整数的是下列各数中，是正整数的是 ( ) A．－．－1 B. 2 C．．0.5 D. 解析：选项中只有解析：选项中只有2既是正数，又是整数．既是正数，又是整数．5．．(2011·陕西陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875 人，将这个总人口数人，将这个总人口数(保留三个有效数字保留三个有效数字)用科学计数法表示为用科学计数法表示为 ( ) A．．1.37×109 B．．1.37×107 C．．1.37×108 D．．1.37×1010 解析：解析：1370536875＝＝1.370536875×109≈1.37×109.BA 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型一题型一 实数的分类实数的分类 【【例例 1】】 (1)在在0,1,－－2,－－3.5这四个数中，是负整数的是这四个数中，是负整数的是 ( ) A．．0 B．．1 C．－．－2 D．－．－3.5 解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．符合． (2)在实数在实数0,1, ,0.1235中，无理数的个数为中，无理数的个数为 ( ) A．．0个个 B．．1个个 C．．2个个 D．．3个个 解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．CB 探究提高 探究提高 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数．初中常见的无理数共分三写成无限不循环小数．初中常见的无理数共分三种类型：种类型： (1)含含根号根号且且开不尽方开不尽方的数；的数； (2)化简后含化简后含π(圆周率圆周率)的式子；的式子； (3)有规律但不循环的无限小数有规律但不循环的无限小数．掌握常见无．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．理数类型有助于识别无理数． 知能迁移知能迁移1 (1)下列五个实数：下列五个实数： ，，0，，tan 45°，－，－|－－3|，， ( )－－1.其中正数的和为其中正数的和为 ( ) A．．4 B．．5 C．．6 D．．7 解析：解析：(3－－π)0＋＋tan45°＋＋ ( )－－1＝＝1＋＋1＋＋2＝＝4，这三个正数的，这三个正数的和等于和等于4，选，选A. (2)下列四个数中，在下列四个数中，在0到到3之间的无理数是之间的无理数是 ( ) A. B. C．．π D．－．－1 解析：解析：0< < ，只有，只有 是是0到到3之间的无理数，选之间的无理数，选B.BA 题型二 科学记数法与近似值、有效数字题型二 科学记数法与近似值、有效数字【【例例 2】】 (1)(2011(1)(2011· ·浙江浙江) )中国是严重缺水的国家之一，人均淡水中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们要为中国节水，为世资源为世界人均量的四分之一，所以我们要为中国节水，为世界节水．若每人每天浪费水界节水．若每人每天浪费水0.320.32L L，那么，那么100100万人每天浪费的水，万人每天浪费的水，用科学记数法表示为用科学记数法表示为 ( ) A. 3.23.2××10107 7L B. 3.23.2××10106 6L C. 3.23.2××10105 5L D. 3.23.2××10104 4L 解析：解析：0.320.32××100100万＝万＝0.320.32××10106 6＝＝3.23.2××10105 5(L)．． (2)下列近似数中精确到千位的是下列近似数中精确到千位的是 ( ) A．．9020090200 B．．3.4503.450××10102 2 C．．3.43.4××10104 4 D．．3.43.4××10102 2 解析：解析：3.43.4××10104 4表示表示3 3万万4 4千，精确到千位，选千，精确到千位，选C.CC 探究提高探究提高 (1)科学记数法一般表示的数较大，所以解题科学记数法一般表示的数较大，所以解题时一定要仔细．确定时一定要仔细．确定n的值时，从最后一位起数到的值时，从最后一位起数到最高位的下一位即可，最后可将答案还原成原数最高位的下一位即可，最后可将答案还原成原数进行检验．进行检验． (2)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行判断．要还原成原数后再进行判断． 知能迁移知能迁移2 2 (1)(1)近似数近似数2.52.5万精确到万精确到________位；有效数字分是位；有效数字分是 ．． 解析：解析：2.52.5万＝万＝2 2万万5 5千，精确到千位，有效数字分别是千，精确到千位，有效数字分别是2 2，，5 5. (2)0.5796(2)0.5796保留三个有效数字的近似数是保留三个有效数字的近似数是______________；由四舍五入法得；由四舍五入法得到的近似数到的近似数2.302.30亿精确到亿精确到______________位，有位，有______________个有效数字．个有效数字． 解析：解析：0.57960.5796≈0.5800.580，保留三位有效数字的近似数是，保留三位有效数字的近似数是0.5800.580；； 2.302.30亿亿≈2 2亿亿3 3千千0 0百万，精确到百万位，有百万，精确到百万位，有3 3个有效数字．个有效数字．千千2 2，，5 50.580.580 0百万百万3 3 (3)(2011(3)(2011· ·安徽芜湖安徽芜湖) )我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为射线及其它天然辐射照射量约为31003100微西弗微西弗(1 1西弗等于西弗等于10001000毫西弗，毫西弗，1 1毫西弗等于毫西弗等于10001000微西弗微西弗)，用科学记数法可，用科学记数法可表示为表示为 ( )A．．3.13.1××10106 6西弗西弗 B．．3.13.1××10103 3西弗西弗C．．3.13.1××1010－－3 3西弗西弗 D．．3.13.1××1010－－6 6西弗西弗 解析：解析：31003100××1010－－3 3××1010－－3 3＝＝3.13.1××1010－－3 3. .C 题型三 与实数相关的概念题型三 与实数相关的概念 【【例例 4】】 (1)(1)已知已知|a|＝＝1，，|b|＝＝2，，|c|＝＝3，且，且a>b>c，那么，那么a＋＋b－－c＝＝________.解析：由解析：由|a|＝＝1，，|b|＝＝2，，|c|＝＝3，， 得得a＝＝±1，，b＝＝±2，，c＝＝±3. 又又a>b>c.可以可以a＝＝±1，，b＝－＝－2，，c＝－＝－3，， 所以所以a＋＋b－－c＝＝1＋＋(－－2)－－(－－3)＝＝2，， 或或a＋＋b－－c＝＝(－－1)＋＋(－－2)－－(－－3)＝＝0.2 2或或0 0 (2)设设|a|＝＝4，，|b|＝＝2，且，且|a＋＋b|＝－＝－(a＋＋b)，试求，试求a－－b所有值所有值的和．的和． 解：解：∵∵|a|＝＝4，，|b|＝＝2，，∴∴a＝＝±4，，b＝＝±2，， 又又|a＋＋b|＝－＝－(a＋＋b)≥0，，∴∴a＋＋b<0，， 可知可知a＝－＝－4，，b＝＝±2，， 所以所以a－－b＝－＝－4－－2＝－＝－6，， 或或a－－b＝－＝－4－－(－－2)＝－＝－2，， －－6＋＋(－－2)＝－＝－8，， a－－b所有值的和是－所有值的和是－8. 探究提高探究提高 (1)(1)两个互为相反数的和为两个互为相反数的和为0 0；； (2)(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0 0的绝对值是的绝对值是0.0.知能迁移知能迁移4 4 (1)(2011(1)(2011··镇江镇江) )计算：计算： －－(－－ )＝＝________；； ＝＝________；； 0＝＝________；； －－1＝＝________. 1－－2 (2)(2)若若ab>0，则，则 ＋＋ －－ 的值等于的值等于________________．． 解析：由解析：由ab>0，得，得a>0且且b>0或或a<0且且b<0，， 于是于是 ＋＋ －－ ＝＝1＋＋1－－1＝＝1 或或 ＋＋ －－ ＝＝(－－1)＋＋(－－1)－－1＝－＝－3.1 1或－或－3 3 易错警示易错警示1．实数概念中的常见错误．实数概念中的常见错误试题 若一个实数的试题 若一个实数的(1)(1)倒数；倒数；(2)(2)绝对值；绝对值；(3)(3)平方数；平方数；(4)(4)立方；立方； (5)(5)平方根；平方根；(6)(6)算术平方根；算术平方根；(7)(7)立方根等于它的本身，则这个立方根等于它的本身，则这个 数分别为：数分别为： (1)(1) (2)(2) (3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____(3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____．．学生答案展示 学生答案展示 (1)1(1)1；；(2)(2)正数；正数；(3)1(3)1；；(4)1(4)1或－或－1 1；；(5)1(5)1；；(6)0(6)0；； (7)1(7)1和－和－1.1.剖析 实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错剖析 实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错误．上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误误．上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应．的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应． 试题 若一个实数的试题 若一个实数的(1)(1)倒数；倒数；(2)(2)绝对值；绝对值；(3)(3)平方数；平方数；(4)(4)立方；立方； (5)(5)平方根；平方根；(6)(6)算术平方根；算术平方根；(7)(7)立方根等于它的本身，则这个立方根等于它的本身，则这个 数分别为：数分别为： (1)(1) (2)_____(3)_____(4)_____(5)_____(6)_____(7)_____(2)_____(3)_____(4)_____(5)_____(6)_____(7)_____．．正解 正解 (1)1(1)1和－和－1 1；；(2)(2)正数和正数和0(0(或非负数或非负数) )；；(3)1(3)1和和0 0；；(4)(4)－－1 1、、0 0和和1 1；；(5)0(5)0；；(6)0(6)0和和1 1；；(7)(7)－－1 1、、0 0和和1.1.批阅笔记 本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝批阅笔记 本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误．对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误． 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧 1 1．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点是．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点是一一对应的．一一对应的． 2 2．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混淆．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混淆．． 3 3．可借助数轴，．可借助数轴，““数形结合数形结合””，找到数与点的关系，，找到数与点的关系，根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小．根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小． 失误与防范失误与防范 引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了： 1 1．．““＋＋”“”“－－””除了仍表示运算符号外，还可以看作一除了仍表示运算符号外，还可以看作一个数的性质符号；个数的性质符号；““－－””还可以用来表示原数的相反数，即在还可以用来表示原数的相反数，即在一个数前面添上一个数前面添上““－－””号，可得到原数的相反数．号，可得到原数的相反数． 2 2．减法可以转化为加法，在小学里，加法与减法是两回．减法可以转化为加法，在小学里，加法与减法是两回事，但引进负数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是事，但引进负数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是把减法转化为加法．把减法转化为加法． 3 3．原来的一些结论不再成立，如．原来的一些结论不再成立，如““差一定小于或等于被差一定小于或等于被减数减数””这个结论就是不一定正确了．这个结论就是不一定正确了． 4 4．数．数““0 0””被赋予新的含义，具有独特的性质，思考相关被赋予新的含义，具有独特的性质，思考相关问题要全面，否则的话，极易落入问题要全面，否则的话，极易落入““0 0””设置的陷阱．设置的陷阱． 完成考点跟踪训练 1 •搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的三种常见形式：三种常见形式：①① ；；②②无限不循环小数，无限不循环小数，如如0.1010010001……；；③③开方开不尽的数，开方开不尽的数，如如 等。
等•绝对值的性质绝对值的性质————要注意正确区分数的三种要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数•实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，才能更好地有的放矢才能更好地有的放矢 2.2.有关实数的非负性：有关实数的非负性： 若几个非负数的和等于若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都那么这几个非负数都0.例、若例、若求求 的值解：由｜解：由｜3a+4｜｜+ (4b-3)2 = 0得得 ｜｜3a+4｜｜= 0 且且 (4b-3)２２＝０＝０∴∴ 3a+4 = 0 且且 4b-3 ＝０＝０∴∴a=-4/3，，b=3/4∴∴ab=(-4/3)×(3/4)=-1 有理数集合：有理数集合：{ { } }；； Ø课时训练课时训练1、把下列各数填在相应的大括号内：、把下列各数填在相应的大括号内：整数集合：整数集合：{ { ……} }；； 分数集合：分数集合：{ { ……} }；； 无理数集合：无理数集合：{ { } }。
-1，，0，， , 3.14,, cos60°-1，，，，3.14，，0，， ，，cos60°，， π, -√3, tan30, 2.1010010001… … 2、下列说法中，错误的个数是、下列说法中，错误的个数是 （（ ））①①无理数都是无限小数；无理数都是无限小数；②②无理数都是开方开不尽的数；无理数都是开方开不尽的数；③③带根号的都是无理数；带根号的都是无理数；④④无限小数都是无理数无限小数都是无理数 A.1个；个； B.2个；个； C.3个；个； D.4个3、数轴上的点与（、数轴上的点与（ ）一一对应一一对应 A.整数；整数； B.有理数；有理数； C.无理数；无理数； D.实数4、下列运算正确的是、下列运算正确的是 （（ ））A.B.C.D.CDA 7、、 的绝对值等于的绝对值等于 ，， 的平方根等于的平方根等于 ，， 的倒数是的倒数是 。
黄冈（黄冈2004年中考题）年中考题）8.(海淀区海淀区2004) 2 2的相反数是的相反数是（（ ））A．． B．． C．．-2 D．．2 9.(9.(重庆市北碚区重庆市北碚区 2004 ) 2004 ) 的相反数是（的相反数是（ ））A. B. C. -2 D. 2A. B. C. -2 D. 210.(青海省湟中县实验区青海省湟中县实验区2004 ) 的相反数的倒数是的相反数的倒数是 . CA A 第一章 数与式第2课 实数的运算与比较大小 5.实数的运算：实数的运算： 实数的运算顺序是先算实数的运算顺序是先算 ，再算，再算 ，最后算，最后算 ____________．如果有括号，先算．如果有括号，先算______________，再算，再算____________，最后算，最后算 ____________．同级运算应．同级运算应 .乘方和开方乘方和开方 乘除乘除 加减加减 小括号小括号 中括号中括号 大括号大括号 从左到右从左到右,按顺序进行按顺序进行1.实数的大小比较：实数的大小比较： ____________大于零，大于零，____________小于零，小于零，____________大于一切负数；大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比____________的的 点所表示的数点所表示的数__________．． 差值法比较：差值法比较： a－－b＞＞0⇔⇔a＞＞b a－－b＜＜0⇔⇔a＜＜b a－－b＝＝0⇔⇔a＝＝b 正数正数 负数负数 正数正数 左边左边 大大 题型一 与数轴联系比较大小题型一 与数轴联系比较大小 【【例例 5】】 (1)(1)如图，若如图，若A是实数是实数a在数轴上对应的点，则关于在数轴上对应的点，则关于 a，－，－a,1的大小关系，表示正确的是的大小关系，表示正确的是 ( ) A．．a<1<－－a B．．a<－－a<1 C．．1<－－a1∴∴0< <1，，……①①，，
