傅立叶积分变换.docx

第一章 傅里叶积分变换积分变换简介所谓积分变换，事实上确实是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这种积分一样要含有参变量，具体形式可写为：f bk （t ,t ）f （/ ）dt —记为 > F G）a那个地址f C）是要变换的函数，称为原像函数；FC）是变换后的函数，称为像函数；k） 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中常常利用某种运算先把复杂问题变成比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就 可取得原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和 差运算；再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情形.基于这种思想，便产生了积分变换.其要紧体此刻：数 学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与一般乘积之间的相互转化. 工程上：是频谱分 析、信号分析、线性系统分析的重要工具.§傅里叶级数与积分1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有以下定理：定理 设fT（t）是以T（0< T < 8）为周期的实函数，且在［-T2,2］上知足狄利克雷条T I 2 2 丿件，即f/t）在一个周期上知足：（1）持续或只有有限个第一类中断点；（2）只有有限个 极值点. 那么在持续点处，有(1)"()=2 + Ca cos nwt + b sin nwt)T 2 n nn=1其中 a 二 1 f 2 f Qdt,0 T - T T-2a 二—f2 f C)cosnwtdt(n = 1,2,—), n T T T-2b =1 f 2 f Osinnwtdt(n = 1,2.—), n T T T-2在中断点10处，⑴式右端级数收敛于ei0 - e-i02,.于是S a°+》T2einOt + e - in®t einOt — e_in3ta + bn 2 nn=12i乙)=艺Tc einQtnn=-gn=1a + ibn ein°t + ―n n e—in°t2 丿a — ib—n n2a + ibc = f n, n —1,2,3，…，那么 — n 2=c + ei®t + c ei 2① t + …+ c ein① t + …° 1 2 ne—i®t + c e—i2®t + ••• + c e—in®t + ••• )(2-1 -2 - n(2)e—inOT dTT TeinOt式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.容易证明c能够合写成一个式子，即nc = J 2 f C\-in°tdt(n = °,±1,±2,…) .n T 一 TJ T—2(3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数f C),都可看成是由某个周期函数fTC)当T-+-时转化而来的.lim fT T=8 T由公式(2)、(3)得可知limTT+w T—inOT dTeinOtA 2兀 F 2兀令 o = no, Ao =o —o ，贝y o =——或 T = n n n n —1 T Aon于是fC)= lim* 艺 J：f G)n=—geio tn丄艺住f Q —io T dT *叫Ao ,=lim -Ao tO 2兀n n = —g—io Tn(O )=n卩2 f G1-叩 dT ]eiont ,=lim 兰 0 6 hoAontO T n nn n=—g/[卜f 3叫dT问/(4)注意到当 Ao t O, 即 T t g 时, n从而依照积分的概念，(4)能够写为：f (t ) = f+M0(o)do ,—gf C)= -Lf+g[ J+g f (T )e—ioT dT ]eiotdo2 兀 —g —g(5)公式(5)称为函数f0的傅氏积分公式.定理 假设f Q在(-R, +-)上知足条件:(1) f C)在任一有限区间上知足狄氏条件；(2) f Q在无穷区间(-8, +-)上绝对可那么⑸在fQ的持续点成里；而在fQ的中断点to处积,即严| f (t加收敛， 应以f q+o)+f《-0)来代替.上述定理称为傅氏积分定理.能够证明，当/C)知足傅氏积分定理条件时，公式(5)能够写为三角形式，即1 () ( ) | f在f (t 连续点处，0 -g_J+g[J+gf G)cos机-T)dT= b(t + o)+ f (t - o)甘宀兀 0 —g , ^其匕.§1.2傅里叶积分变换上一节介绍了：当f (t)知足必然条件时，在f C)的持续点处有:f C)= _L J+g[J+gf d-険dT 0otdo .2 兀 —g —g从上式动身，设F (o)=卜5 f ( 2 - i ot dt-g(1)f C)=—卜 F dotdo 2兀—g称(1)式，即 F f (t 1 -iotdt为f C)的傅里叶变换简称傅氏变换，记为—g(2)称(2)式，即f C)= 卜8Fdmd®为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换，记为(1)式和(2)式，概念了一个变换对FC)和f (t)也称F6)为f C)的像函数；f(t)为的原像函数，还能够将f Q和F6)用箭头连接：f C)分F6).例1求函数f c)= 0 .那个函数称 e-Pt, t > 0为指数衰减函数,在工程中常碰到.解:依照概念, 有F (o)=卜 f ( 2 -iodt = J-g二 j+g e-0te-i°tdt = J+g e -(0+)tdt = =0 0 0 + io 0 2 + o 2这确实是指数衰减函数的傅氏变换.依照积分表达式的概念,有fC)= — J+gFdoid①二丄J+g 0 —血 2兀—g 2兀ei^d ①-g 0 2 2注意到eiQ二cos+ sin,上式可得—8卩 2 2f (t )=丄 J+g 一(cos ®t + i sin ®t )d® =丄 J+g因此例2 求 f(t)=片卩cos⑹+sin⑹d”0o,<兀/ 2,兀 e-Pt,t < 0,t = o,t > 0.Ae书2的傅氏变换其中A, P > 0-―钟形脉冲函数.解: 依照概念, 有F 6)= J+g f (t 2 - i^tdt = J+g Ae-Pt 2e - ^dt,—g—g=Ae — 4p J+g Ae-卩1t+2卩丿 dt = ^ Ae 4 P.P—g那个地址利用了以下结果：宀卡dx恃〉°)—g2．傅里叶变换的物理意义若是认真分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式4)=兰 C ein^t , )L®d①,Tn=—g和c和F C)的表达式C = j 2 f ('—in ① dt(n = 0,±l,±2, ), F((o)= J+gf (t2-i®tdt,—gn T — T T—2由此引出以下术语：在频谱分析中，傅氏变换FC)又称为f C)的频谱函数，而它的模I FC)l称为f C)的振幅频谱(亦简称为谱).由于®是持续转变的，咱们称之为持续频谱,因此对一个时刻函数作傅氏变换，确实是求那个时刻函数的频谱.显然，振幅函数I F6)l是角频率®的偶函数，即I F6)l=l F(—®)l, I F6)l的辐角argFC)称为相角频谱，显/) Qsin Otdtarg F ho )= arctan「J+8 f (t )cos Otdt—g相角频谱argFC)是O的奇函数.例3求单个矩形脉冲函数f C)=E,|t| < 2,Vo, H > 2,的频谱图.解：FCo )= J +8f (t2-i°dt = J 2 Eesdta——2Ee - i^tirn2E aO= sina O 2-2频谱为I F(o)l =丨竺sinaO I.O2请画出其频谱图.以上术语初步揭露了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深切详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除持续散布的量之外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与持续散布的量来统一处置。

单位脉冲 函数，又称狄拉克(Dirac)函数，简记为5 一函数，即是用来描述这种集中量散布的密度 函数.下面咱们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原先电流为零的电路中，某一瞬时(设为t二0 )进入一单位电量的脉冲，此刻要确 信电路上的电流i(t),以q(t)表示上述电路中的电荷函数，那么q(t)=0,t主0,t 二 0,由于电流强度是电荷函数对时刻的转变率, 即i (t)=警2=limq(t + At) 一 q(t)At因此，当心0时，迫)=0;当t二0时，由于q(t)不持续，从而在一般导数意义下，q(t)在一点是不能求导数的. 若是咱们形式地计算那个导数， 得i(0) = lim q(0 + At)一q(°)= lim (-丄)=□,AtAtt0AtAtt0这说明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示如此的电流强度. 为此， 引 进一称为狄拉克(Dirac)的函数.有了这种函数，关于许多集中于一点或一瞬时的量，例如 点电荷点源， 集中于一点的质量及脉冲技术中的超级窄的脉冲等 ， 就能够够象处置持续散 布的量那样， 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的概念概念1若是函数8 (t)称知足i) 8 (t) = 0，(当 t 工 0 时)ii) 》t = 1,或')dt = 1，其中I是含有t = 0的任何一个区间，那么称8 (t)—8 I为8 一函数.. 更一样的情形下，若是函数知足i) 8 (t 一 a) = 0,(当 t 主 a 时)ii) f8 8 (/ 一 a》t = 1，或J 8 C - a')dt = 1，其中I是含有t = a的任何一个区间，那一 8 I么称为8 (t — a)函数.8 (t 一 a ) h< h°，a < t < a + h;t < a, t > a + h,那么脉冲函数8 7(t-a)的极限为hlim 5 (t-a)=5(t-a)，h T 0 11而把s(t - a)的积分明白得为lim J®hT0 -® h特殊情形下， a = 0时有J® 5 (t - a)dt = Ja+h lim5 (t - a)dt 二 Ja+h 打/ = 1.a h T0 h a h5 h(t) = 11,0 < t < h; h0, t < 0, t > h,于是lim 5 (t) =5 (t)hT0 h(t)dt = Jh lim5 (t)dt = \h ^dt = 1.h 0 h T0 h 0 h一样工程上都称5 一函数为单位脉冲函数，将5 一函数用一个长度等于1的有向线段来lim J*® 5h T 0 s。