[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题高等数学多元函数微分学、多元函数积分学.docx

[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题高等数学多元函数微分学、多元函数积分学一、选择题问题:1. 极限______A.不存在．B.等于1．C.等于0．D.等于2．答案:C[解析] 由于当0＜x2+y2＜1时，0≤|xyln(x2+y2)|≤(x2+y2)ln(x2+y2)． 令x2+y2=r，则 ， 则， 由夹逼准则，，故应选C． 问题:2. 设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=______A.f'2+xf"11+(x+z)f"22+xzf"22．B.xf'12+xzf"22．C.f'2+xf"12+xzf"22．D.xzf"22．答案:C[解析] 由复合函数求导法则，，故选C．问题:3. 设函数f(x，y)可微分，且对任意的x，y都有，则使不等式f(x1，y1)＞f(x2，y2)成立的一个充分条件是______A.x1＞x2，y1＜y2．B.x1＞x2，y1＞y2．C.x1＜x2，y1＜y2．D.x1＜x2，y1＞y2．答案:A[解析] 因，若x1＞x2，则f(x1，y1)＞f(x2，y1)； 同理，若y1＜y2，则f(x2，y1)＞f(x2，y2)． 故正确答案为A． 问题:4. 已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则______A.a=2，b=-2．B.a=3，b=2．C.a=2，b=2．D.a=-2，b=2．答案:C[解析] 由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知， ， 以上两式分别对y，x求偏导，得 ， 由于连续，因此，即 3axy2-2sin(x+2y)=6xy2-bsin(x+2y)． 比较两端系数得a=2，b=2． 问题:5. 曲面z=F(x，y，z)的一个法向量为______A.(F'x，F'y，F'z-1)．B.(F'x-1，F'y-1，F'z-1)．C.(F'x，F'y，F'z)．D.(-F'x，-F'y，-1)．答案:A[解析] 曲面方程z=F(x，y，z)可以写成F(z，y，z)-z=0，由曲面的法向量计算公式，其法向量为(F'x，f'y，F'z-1)．问题:6. 设u(x，y，z)=zarctan，则gradu(1，1，1)=______ A．． B．． C．． D．．答案:A[解析] 由梯度计算公式，有 问题:7. 设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则函数f(x，y)在点(0，0)处______A.取极大值．B.取极小值．C.不取极值．D.无法确定是否有极值．答案:A[解析] 已知，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有成立，而x2+1-xsiny＞x2-x+1=，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，故选A．问题:8. 设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，Δz是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处______A.Δz=dz．B.Δz=fx(x0，y0)Δx+fy(x0，y0)Δy．C.Δz=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy．D.Δz=dz+o(ρ)．答案:D[解析] 因为z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，所以 Δz=fx(x0，y0)Δx+fy(x0，y0)Δy+o(ρ)=dz+o(ρ)， 问题:9. 曲线在点(1，-1，0)处的切线方程为______ A．． B．． C．． D．．答案:D[解析] 由法向量计算公式 n=(F'x(xy，yy，zy)，F'y(xz，yz，zz)，F'z(x0，y0，z0))得，曲面x2+y2+z2=2在点(1，-1，0)处的法向量为n1=(2，-2，0)，平面x+y+z=0在点(1，-1，0)处的法线向量为n2=(1，1，1)． 则曲线在点(1，-1，0)处的切向量为 τ=n1×n2=(-2，-2，4) 则所求切线方程为 故应选D． 问题:10. 在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z-4=0半径的切线______A.只有一条．B.只有两条．C.至少有三条．D.不存在．答案:B[解析] 曲线的切向量为T=(1，-2t，3t2)，平面的法向量为n=(1，2，1)，于是由 T·n=1-4t+3t2=0． 解得t1=1，，故曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z-4=0平行的切线有两条，故选B． 问题:11. 下列命题中不正确的是______ A．设f(u)有连续导数，则(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关． B．设f(u)连续，则f(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关． C．设P(x，y)，Q(x，y)在区域D内有连续的一阶偏导数，又，则Pdx+Qdy在区域D内与路径无关． D．在区域D={(x，y)|(x，y)≠(0，0)}上与路径有关．答案:C[解析] 对于A，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，则 ， 得到，且全平面是单连通区域，∫LPdx+Qdy在全平面内与路径无关．A正确． 对于B，可求得被积函数的原函数为 ， 因而，∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)与路径无关．B正确． 对于C，因D区域不一定是单连通区域，故C中积分不一定与路径无关．C不正确． 对于D，取L为单位圆x2+y2=1，并取逆时针方向，则 ． 因此积分与路径有关．D正确．故选C． 问题:12. 设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则=______． A．abπ． B．． C．(a+b)π． D．． 答案:D[解析] 由x与y的可互换性， 故应选D． 问题:13. 设L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：x2+2y2=2，L4：2x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线，记(i=1，2，3，4)，则max{I1，I2，I3，I4}=______A.I1．B.I2．C.I3．D.I4．答案:D[解析] 由于Li所围区域封闭，故运用格林公式．曲线Li所围成的区域记为Di(i=1，2，3，4)，由格林公式得． 由L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：=1，L4：可知D1，D2为圆域，D3，D4为椭圆域，而被积函数f(x，y)=1-为连续函数，在D4上f(x，y)≥0，但不恒等于0，而在D4之外，f(x，y)≤0但不恒等于0． 因为D4D1，故I4＞I1．D4和D2的公共部分是D4，D2的剩余部分f(x，y)≤0，但不恒等于0． 因此I4＞I2． D4和D3的公共部分是相交的区域，D4的剩余部分f(x，y)≥0但不恒等于0，而D3的剩余部分，但是不恒等于0，所以I4＞I3． 因此最大值为I4，所以选D． 问题:14. 累次积分等于______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤，故选D．问题:15. 设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，则等于______ A．π． B．． C．． D．．答案:B[解析] 根据对称性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，则 ． 故应选B． 问题:16. 设，其中D：x2+y2≤a2，则a为______ A．1． B．2． C．． D．． 答案:B[解析] 由， 故得a=2，应选B． 问题:17. 设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分，则等于______A.2πe4．B.π(e4-1)．C.2π(e4-1)．D.πe4．答案:B[解析] 将曲面投影到xOy面上，记为Dxy，则ds=，故 ，选B．问题:18. 设曲线L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是______A.∫Γf(x，y)dx．B.∫Γf(x，y)dy．C.∫Γf(x，y)ds．D.∫Γf'x(x，y)dx+f'y(x，y)dy．答案:B[解析] 记M(xM，yM)，N(xN，yN)，则 xM＜0，yM＞0；xN＞0，yN＜0． A∫Γf(x，y)dx=＞0． B∫Γf(x，y)dy=＜0． C∫Γf(x，y)ds==s，其中s为Γ从M到N的弧长． D∫Γf'x(x，y)dx+f'y(x，y)dy=∫Γ(x，y) = =1-1=0． 故选B． 问题:19. 设有空间区域 Ω1：x2+y2+z2≤R2； Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0．则有______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 由题设可知Ω1关于yOz坐标平面对称，选项A的左端积分中被积函数x为x的奇函数．由三重积分的对称性质可知 ， (*) 而在Ω2上，x≥0，从而，可知A不正确． 由于Ω2的边界曲面方程对x，y具有轮换对称性，可知．又由于Ω1关于zOx坐标平面对称，选项B中左端积分的被积函数为y的奇函数，由三重积分对称性可知 ，可知B不正确． 由于Ω1关yOz坐标平面对称，也关于xOy坐标平面对称，C左端积分的被积函数z既为x的偶函数，也为y的偶函数，由两次使用三重积分对称性质，可得 ，可知C正确． 由(*)式可知D在左端积分为零，而右端积分大于零．可知D不正确． 二、填空题问题:1. =______．答案:[解析] 问题:2. 设z=esinxy，则dz=______．答案:esinxycosxy(ydx+xdy)[解析] ．所以有dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．问题:3. 设函数，则=______．答案:4[解析] 由复合函数求导法则及导数与微分的关系， 进而， 则 问题:4. 由方程xyz+确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的全微分为dz=______．　答案:[解析] 等式xyz+两边求微分得 ， 把(1，0，-1)代入上式得dz=dx-．问题:5. 设z=，且f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则=______答案:[解析] 由复合函数求导法则有，再将等式两边对y求偏导得 问题:6. 设函数f(x，y。