
(概率论与数理统计)随机向量.ppt
23页单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、多维随机变量,二、,二维随机变量的联合分布函数,三、,边缘分布,四、,二维,随机变量函数的分布,下页,多维随机变量,(,向量,),及其分布,第三章 多维随机变量,(,向量,),及其分布,下页,多维随机变量,(,向量,),的概念,例,1.,对某作物新品种进行指标观察,观察其产量,(,X,),,品质,(,Y,),,抗病力,(,Z,),情况,.,则,(,X,Y,Z,),为三个随机变量,.,例,2.,对某市成年男子身体状况进行抽样调查,了解身高,(,X,),体重,(,Y,),情况,.,则,(,X,Y,),为两个随机变量,.,总之,在实际问题中某些随机试验的结果经常用多个随机变,量来描述,.,定义,设随机试验,E,的样本空间为,=,,,X,1,,,X,2,,,,,X,n,是定义在,上的,n,个随机变量,称随机变量组,(,X,1,,,X,2,,,,,X,n,),为定义在,上的,n,维随机变量,(,或,n,维随机向量,),.,下页,第三章 多维随机变量,(,向量,),及其分布,多维随机变量,(,向量,),的概念,一、二维随机向量(,X,Y,)的联合分布函数,F,(,x,y,)=,P,(,Xx,Yy,)=,P,Xx,Yy,F,(,x,y,),表示随机点,(,X,Y,),落在以,(,x,y,),为顶 点,且位于该点,左下方的无穷矩形区域内的概率,.,为二维随机向量,(,X,Y,),的,分布函数,,或称,X,Y,的,联合分布函数,.,下页,y,o,(,x,y,),(,X,Y,),x,设,(,X,Y,),为二维随机向量,,x,y,为两个任意实数,则称二元函数,1.,定义,2.,几何意义,对于任意的,x,1,x,2,,,y,1,y,2,,,P,x,1,Xx,2,,,y,1,Yy,2,=,F,(,x,2,y,2,),F,(,x,2,y,1,),F,(,x,1,y,2,),+F,(,x,1,y,1,),下页,y,x,o,x,1,x,2,y,1,y,2,(,X,Y,),(,x,2,y,2,),(,x,2,y,1,),(,x,1,y,2,),(,x,1,y,1,),F,(,x,y,)=,P,(,Xx,Yy,)=,P,Xx,Yy,为二维随机向量,(,X,Y,),的,分布函数,,或称,X,Y,的,联合分布函数,.,设,(,X,Y,),为二维随机向量,,x,y,为两个任意实数,则称二元函数,3.,常用计算公式,F,(,x,y,),是,x,和,y,的单调不减函数,.,即,对于任意固定的,y,,当,x,1,x,2,时,,F,(,x,1,y,),F,(,x,2,y,),,,对于任意固定的,x,,当,y,1,y,2,时,,F,(,x,y,1,),F,(,x,y,2,).,0,F,(,x,y,)1,F,(-,,,-)=0,,,F,(+,,,+)=1,,,对任意固定的,y,,,F,(-,,,y,)=0,,,对任意固定的,x,,,F,(,x,,,-)=0.,F,(,x,y,),关于,x,右连续,关于,y,也是右连续的,即,F,(,x+,0,y,)=,F,(,x,y,),,,F,(,x,y+,0)=,F,(,x,y,).,对于任意的,x,1,x,2,y,1,y,2,有下列不等式,F,(,x,2,y,2,)-,F,(,x,2,y,1,)-,F,(,x,1,y,2,)+,F,(,x,1,y,1,)0.,4.,F,(,x,y,),的基本性质,下页,二、二维离散型随机向量的概率分布,若(,X,Y,)的所有可能取值为(,x,i,y,j,),,i,j,=1,2,;且,取这些值时的概率表示为,p,ij,=,P,X,=,x,i,Y,=,y,j,i,j,=1,2,,,则称这一列式子为(,X,Y,)的,联合概率分布,或,联合分布律,.,p,ij,0,,,i,j,=1,2,;,下页,1.,定义,若随机向量(,X,Y,)所有可能取值只有限对或可列多对时,则称(,X,Y,)为二维离散型随机向量,.,2.,(,X,Y,),的联合分布列,(,律,),3.,联合分布,(,律,),的性质,4.,(,X,Y,),的联合分布,(,律,),常用表示形式,5.,(,X,Y,),的联合分布函数为,其中和式是对一切满足,x,i,x,,,y,j,y,的,i,j,求和,.,y,1,y,2,y,j,x,1,p,11,p,12,p,1,j,x,2,p,21,p,22,p,2,j,:,x,i,p,i,1,p,i,2,p,ij,:,X,Y,下页,(,i,=0,1,2;,j,=0,1,2;,且,i+j,2,),下页,例,1.,设袋中共有,3,红,2,蓝,4,白球,现从中任取,2,只,以,X,Y,记,录取得的红、蓝色球数,求解下列问题,.,求,(,X,Y,),的联合分布,-,解法,1,(不推荐),解,:,令,X,表示取出的红球数,,Y,表示取出的蓝球数,则,(,X,Y,),所有可能取值为(,0,0,),(,0,1,),(,0,2),(,1,0,),(,1,1,),(,2,0,),,依古典概型得,解,:,令,X,表示取出的红球数,,Y,表示取出的蓝球数,则,求,(,X,Y,),的联合分布,-,解法,2,(通常解法),X,可能取的值为,0,1,2,;,Y,可能取的值为,0,1,2.,Y,0 1 2,X,0,1,0,2,0,0,依古典概型得,所以(,X,Y,)的联合分布律为,下页,例,1.,设袋中共有,3,红,2,蓝,4,白球,现从中任取,2,只,以,X,Y,记,录取得的红、蓝色球数,求解下列问题,.,P,X,+,Y,=1,P,X,+,Y,1,P,X,=0,=,P,X,=1,,,Y,=0+,P,X,=0,,,Y,=1,=,P,X,=0,Y,=0+,P,X,=0,Y,=1+,P,X,=0,Y,=2=5/12.,下页,Y,0 1 2,X,0,1 0,2 0 0,=,P,X,=0,Y,=0+,P,X,=1,Y,=0+,P,X,=0,Y,=1,=1/3+2/9=5/9.,=1/6+1/3+2/9=13/18.,=,P,X,=0,,,Y,+,三、二维连续型随机向量的概率分布,则称(,X,Y,)为,二维连续型随机向量,,,f,(,x,y,),为(,X,Y,)的(联合),概率密度,,,或(联合)分布密度,.,设(,X,Y,)的分布函数为,F,(,x,y,),,如果存在非负可积函数,f,(,x,y,),,使得对于任意实数,x,y,有,z,=,f,(,x,y,),示意图,下页,f,(,x,y,),1.,定义,2.,概率密度,f,(,x,y,),的性质,f,(,x,y,),0;,若,f,(,x,y,),在(,x,y,)处连续则有,f,(,x,y,)=,点,(,X,Y,),落在,x,o,y,的平面区域,D,内的概率为,下页,例,2.,已知二维连续型随机向量(,X,Y,)的联合概率密度,,解,:,由联合密度函数的性质知,计算得,求:,k,;,F,(,x,y,),;,P,0,X,1,0,Y,1,;,P,X,+,Y,1,.,下页,从而得,k,=1.,解,:,记,D,=,(,x,y,),|0,x,1,0,y,1,,则,下页,例,2.,已知二维连续型随机向量(,X,Y,)的联合概率密度,,求:,k,;,P,0,X,1,0,Y,1,;,P,X,+,Y,1,;,F,(,x,y,),.,0,1,1,解,:,记,D,=,(,x,y,),|,x+y,1,,则有,下页,x,+,y,=1,例,2.,已知二维连续型随机向量(,X,Y,)的联合概率密度,,求:,k,;,F,(,x,y,),;,P,0,X,1,0,Y,1,;,P,X,+,Y,1,.,下页,解,:,所以联合分布函数为,例,2.,已知二维连续型随机向量(,X,Y,)的联合概率密度,,求:,k,;,F,(,x,y,),;,P,0,X,1,0,Y,0,y,0,时,,例,3.,设二维随机变量(,X,,,Y,)的密度函数为,下页,解,:,0,1,1,(1),当,0,x,1,0,y,1时,(2),当,0,x,1,y,1时,(3),当,x,1,0,y,1 时,下页,0,1,1,(,x,y,),0,1,1,(,x,y,),0,1,1,(,x,y,),(4),当,x,1,y,1 时,(5),其它情况,时,即,下页,0,1,1,(,x,y,),四、两个重要分布,1.,均匀分布,则称随机向量,(,X,Y,),在区域,D,上服从,均匀分布,.,若区域,D,内任一部分区域,D,1,,其面积为,A,1,,则有,下页,设平面区,D,的面积为,A,若随机向量,(,X,Y,),的概率密度为,其中,m,1,m,2,s,1,s,2,r,均为常数,且,s,1,0,s,2,0,,,|,r,|,1,,则称,(,X,Y,),服从参数为,m,1,m,2,s,1,s,2,r,的,二维正态分布,,记作,(,X,Y,),N,(,m,1,m,2,s,1,2,s,2,2,r,).,2.,二维正态分布,下页,若二维随机向量,(,X,Y,),的,(,联合,),概率密度为,例如,.,若(,X,,,Y,),N,(,1,3,16,25,0,),则其密度为,下页,其中,m,1,m,2,s,1,s,2,r,均为常数,且,s,1,0,s,2,0,,,|,r,|,1,,则称,(,X,Y,),服从参数为,m,1,m,2,s,1,s,2,r,的,二维正态分布,,记作,(,X,Y,),N,(,m,1,m,2,s,1,2,s,2,2,r,).,。
