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( 线性代数)线性方程组的解的结构.ppt

19页
  • 卖家[上传人]:第***
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  • 上传时间:2025-04-11
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    • 单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性方程组解的结构,(,一,),齐次线性方程组解的结构,(,二,),非齐次线性方程组解的结构,(,一,),齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组的矩阵形式,齐次线性方程组解的性质,(1),如果,1,2,是齐次线性方程组,Ax,0,的两个解,则,1,2,也是它的解,因为,1,2,都是方程组,Ax,0,的解,所以,A,1,0,A,2,0,证,即,1,2,是方程组,Ax,0,的解,A,(,1,2,),A,1,A,2,0,齐次线性方程组解的性质,(1),如果,1,2,是齐次线性方程组,Ax,0,的两个解,则,1,2,也是它的解,(2),如果,是齐次线性方程组,Ax,0,的解,则,c,也是它的解,(,c,为常数,),即,c,是方程组,Ax,0,的解,证,由,A,0,得,A,(,c,),c,(,A,),0,齐次线性方程组解的性质,(1),如果,1,2,是齐次线性方程组,Ax,0,的两个解,则,1,2,也是它的解,(2),如果,是齐次线性方程组,Ax,0,的解,则,c,也是它的解,(,c,为常数,),(3),如果,1,2,s,都是齐次线性方程组,Ax,0,的解,则其线性组合,c,1,1,c,2,2,c,s,s,也是它的解,其中,c,1,c,2,c,s,都是任意常数,定义,3,10(,基础解系,),如果,1,2,s,是齐次线性方程组,Ax,0,的解向量组的一个极大无关组,则称,1,2,s,是方程组,Ax,0,的一个基础解系,定理,3,13(,基础解系中解向量的个数,),如果齐次线性方程组,Ax,0,的系数矩阵,A,的秩,r(,A,),r,n,则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有,n,r,个解,如果一个齐次线性方程组有非零解,则它有基础解系,方程组的全部解就可以用基础解系的线性组合来表示,对增广矩阵,(,A,0,),施以初等行变换,得,解,即原方程组与下面的方程组,同解,其中,x,3,x,4,为自由未知量,与原方程组同解的方程组为,解,(,其中,x,3,x,4,为自由未知量,),1,2,就是所给方程组的一个基础解系,对增广矩阵,(,A,0,),施以初等行变换,得,解,即原方程组与方程组,同解,其中,x,3,x,4,x,5,为自由未知量,与原方程组同解的方程组为,解,(,其中,x,3,x,4,x,5,为自由未知量,),让自由未知量,(,x,3,x,4,x,5,),T,分别取值,(1,0,0),T,(0,1,0),T,(0,0,1),T,得方程组的一个基础解系,1,(,2,1,1,0,0),T,1,(2,1,0,0,1),T,2,(,1,3,0,1,0),T,因此,方程组的全部解为,c,1,(,2,1,1,0,0),T,c,2,(,1,3,0,1,0),T,c,3,(2,1,0,0,1),T,其中,c,1,c,2,c,3,为任意常数,因为,r(,A,),r,所以方程组,Ax,0,的任一基础解系所含向量个数为,n,r,个,例,3,设矩阵,A,(,a,ij,),m,n,B,(,b,ij,),n,s,满足,AB,O,并且,r(,A,),r,试证,r(,B,),n,r,设矩阵,B,(,1,2,s,),其中,j,(,b,1,j,b,2,j,b,nj,),T,(,j,1,2,s,),则,AB,A,(,1,2,s,),(,A,1,A,2,A,s,),证,由,AB,O,可得,A,j,0,(,j,1,2,s,),考虑齐次线性方程组,Ax,0,其中,x,(,x,1,x,2,x,n,),T,不难看出,矩阵,B,的列向量,1,2,s,都是方程组,Ax,0,的解向量,r(,B,),r(,1,2,s,),n,r,由此可得,(,二,),非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组及其导出组,取,b,0,得到的齐次线性方程组,Ax,0,称为非齐次线性方程组,Ax,b,的导出组,非齐次线性方程组解的性质,(1),如果,是非齐次线性方程组,Ax,b,的一个解,是其导出组,Ax,0,的一个解,则,也是方程组,Ax,b,的一个解,因为,是非齐次线性方程组,Ax,b,的一个解,所以有,A,b,同理,A,0,则由,证,可知,是非齐次线性方程组,Ax,b,的解,A,(,),A,A,b,0,b,非齐次线性方程组解的性质,(1),如果,是非齐次线性方程组,Ax,b,的一个解,是其导出组,Ax,0,的一个解,则,也是方程组,Ax,b,的一个解,(2),如果,1,2,是非齐次线性方程组,Ax,b,的两个解,则,1,2,是其导出组,Ax,0,的解,由,A,1,b,A,2,b,得,证,即,1,2,为导出组,Ax,0,的解,A,(,1,2,),A,1,A,2,b,b,0,非齐次线性方程组解的性质,(1),如果,是非齐次线性方程组,Ax,b,的一个解,是其导出组,Ax,0,的一个解,则,也是方程组,Ax,b,的一个解,(2),如果,1,2,是非齐次线性方程组,Ax,b,的两个解,则,1,2,是其导出组,Ax,0,的解,定理,3,14(,通解的结构,),设,是非齐次线性方程组,Ax,b,的一个解,是其导出组,Ax,0,的全部解,则,x,是非齐次线性方程组,Ax,b,的全部解,求非齐次线性方程组全部解的方法,求出它的一个解,并求出导出组的基础解系,1,2,n,r,把方程组的全部解表示为,x,c,1,1,c,2,2,c,n,r,n,r,(,c,1,c,2,c,n,r,为任意常数,),对增广矩阵,(,A,b,),施以初等行变换,得,解,即原方程组与方程组,同解,其中,x,3,x,4,为自由未知量,与原方程组同解的方程组为,解,(,x,3,x,4,为自由未知量,),让自由未知量,(,x,3,x,4,),T,取值,(0,0),T,得方程组的一个解,(13/7,4/7,0,0),T,与原方程组的导出组同解的方程组为,(,x,3,x,4,为自由未知量,),对自由未知量,(,x,3,x,4,),T,取值,(1,0),T,(0,1),T,即得导出组的基础解系,1,(,3/7,2/7,1,0),T,2,(,13/7,4/7,0,1),T,因此所给方程组的全部解为,x,c,1,1,c,2,2,(,c,1,c,2,为任意常数,),例,3,设矩阵,A,(,a,ij,),m,n,B,(,b,ij,),n,s,满足,AB,O,并且,r(,A,),r,试证,r(,B,),n,r,作业,3.5,:,。

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