江西省萍乡市高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系课件 北师大版必修2.ppt

2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系,第1课时 直线与圆的位置关系,1.能根据给定直线及圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.会求过一点的圆的切线方程. 3.能利用直线方程和圆的方程解决一些有关圆的简单问题.,其中,Δ为联立直线方程与圆的方程消元后得到的一元二次方程根的判别式.,,,,,,,【做一做1】 直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( ) A.相交但直线不过圆心 B.相切 C.相交且直线过圆心 D.相离 解析:圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.圆心到直线的距离 答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求出它们交点的坐标. 解:方法一:由直线与圆的方程得方程组 消去y,得x2-3x+2=0. ∵Δ=(-3)2-4×1×2=10, ∴直线与圆相交,有两个交点. 由方程组解得交点坐标为(2,0),(1,3).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思若仅判断直线和圆的位置关系,则可直接利用几何法,即比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小;若需要求解直线和圆的交点坐标,则应该利用代数法,即解由直线方程和圆的方程组成的方程组.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案:B,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,即12x-5y-9=0. ②若直线l的斜率不存在, 则直线l的方程为x=2也符合题意. ∴所求直线l的方程为x=2. 综上①②可知,所求直线l的方程为 12x-5y-9=0或x=2.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求过圆上一点的圆的切线方程的一般步骤: (1)求切点与圆心连线的斜率k(k存在且k≠0); (2)由垂直关系得切线斜率为 (3)代入点斜式方程得切线方程. 2.求过圆外一点的圆的切线方程的方法: (1)几何法 当斜率存在时,则设切线方程为y-y0=k(x-x0)(k存在),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.当斜率不存在时,过点(x0,y0)的直线方程为x=x0,直接分析这条直线是否与圆相切.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)代数法 当斜率存在时,则设切线方程为y-y0=k(x-x0)(k存在),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.当斜率不存在时,过点(x0,y0)的直线方程为x=x0,直接分析这条直线是否与圆相切. 特别地,当过点(a,b)的切线的斜率不存在时,可由图形直接得切线方程为x=a.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5),求过点A且与圆C相切的切线方程. 解:圆C:x2+y2-4x-6y+12=0化为标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1,圆心为C(2,3),半径r=1,因为(3-2)2+(5-3)21,所以点A在圆外,切线应该有两条. 当切线的斜率不存在时,有直线方程x=3,C(2,3)到直线的距离为3-2=1,满足条件; 当切线的斜率存在时,设直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 过点P(4,-4)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程,由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成直角三角形求解.注意讨论斜率存在与否.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思设出所求直线的方程,利用半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形来确定所需未知系数,最后写出所需结论.对题目进行正确的分析,可以帮助我们寻找解题的正确思路和捷径,可以提高我们分析和解决问题的能力,为我们今后进一步学习数学奠定良好的基础.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程. 解:方法一:当斜率不存在时,直线x=4不能满足题设要求. 当斜率存在时,设直线的斜率为k,则过点A的直线为y+2=k(x-4),即y=k(x-4)-2,代入圆的方程得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0. ∵1+k2≠0,Δ0,可设两个交点坐标为(x1,y1),(x2,y2), ∴所求直线的方程是2x+y-6=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,方法三:由几何性质知,圆心与点A的连线与弦所在直线垂直,由此可知弦所在直线的斜率. 由圆心O(2,-3),A(4,-2),得kOA= , 所以k=-2. 所以所求直线的方程是2x+y-6=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程. 解:由于(2-1)2+(4+3)2=501,故点M在圆外. 当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,由于直线与圆相切, 又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切. 综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.,1 2 3 4 5,,,,,,1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交且直线过圆心 D.相离 解析:圆心 (0,0)到直线y=x+1的距离为 ,圆的半径r=1, ∵0dr, ∴直线与圆相交但不过圆心. 答案:B,1 2 3 4 5,,,,,,2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( ) A.x+y- =0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ =0 解析:因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y=x+1, 所以k·1=-1.所以k=-1. 设直线l的方程为y=-x+b(b0), 即x+y-b=0, 答案:A,1 2 3 4 5,,,,,,答案:C,1 2 3 4 5,,,,,,4直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|= .,1 2 3 4 5,,,,,,1 2 3 4 5,,,,,,5已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),求过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积.,。