微分流形,第1章.pdf

微分流形讲义 微分流形讲义 曹策问 2006 年 2 月 引 言 引 言 在自然科学发展史上，微积分的发明，是一个划时代的事件它是从常量数学到变量 数学的转折点；也是从平直、线性数学向弯曲、非线性数学的过渡微积分方法的核心， 基于弯曲与平直关系的恰当处理 从圆周长公式到圆面积公式的推导过程，包含了微积分方法的要点，简言之就是： “曲 ---直---曲” 从圆心向外引若干条射线，面圆被剖分为若干个小扇形将每个小扇形弯曲 的一边用直线代替，就成为一个等腰三角形：腰长等于半径，底长近似地等于被替换掉的 圆弧的长这样，圆就被一个多边形所代替多边形面积等于各个小等腰三角形之和: Σ( 1 2 底高)? 1 2 (Σ底)高 当剖分越来越细，多边形面积越来越逼近圆面积分划趋于无穷时，三角形底长之和趋于 圆周长，高趋于半径，多边形面积也就趋于圆面积: 2 1 2 2 RRRππ= 这样，在局部上（无穷小范围内） ，以直代曲，通过极限过程，得到弯曲图形的面积 微积分中最关键的，同时也最引起争议的，是无限分割中产生的“无穷小量”的计算 在科学史上曾对此争论不休随着微积分的逻辑基础的逐步建立，更重要的是随着微积分 方法大批卓有成效的出色应用，这门学科站住脚了，蓬勃发展了。

历史上第一个令人震惊 的应用，属于微积分的发明者之一牛顿他证明，刻卜勒通过总结天体观察发现的行星运 动三定律，是引力定律（平方反比律）的逻辑推论这的确是人类理性的一次重大胜利 微积分是关于弯曲的科学微积分研究弯曲空间的局部性质相当成功随着自然科学的 深入发展，弯曲空间的整体性质的重要性，日益显露在微积分的基础上不断更新发展， 出现了微分流形、微分拓扑，大范围分析等等新学科 从历史上看, 微分流形有三个来源： 几何几何首先是球面一张地图描述不了地球；需要一本地图集地图(chart)、地图集 (atlas)，已演化成微分流形的专门术语：坐标卡，坐标卡集整体几何中的曲线与曲面提供 了微分流形的丰富例子 力学力学将约束系统的运动，看成弯曲空间中的运动，这是 Lagrange 的出色想法与贡献 例如，平面单摆可视为质点在圆周上的运动，平面双摆可视为质点在环面上的运动武术 中的三节鞭，视为球面三摆时，构形空间是一个有趣的六维流形约束系统的构形空间， 提供了微分流形的大量例子重要的是，高维流形在现实世界中以约束系统的构形空间的 1 形式出现，加强了流形论的实际应用意义 函数论函数论。

Riemann 在研究复变函数的反函数时， 遇到了多值函数 通过粘贴几叶复平面， 实现了多值函数的单值化或者说，多值的复杂性转化为多叶 Riemann 面的几何复杂性， 化成了流形问题多项式方程的解集合，提供了更为丰富的微分流形的例子例如二维复 数空间中的方程（准确说，是二维复射影空间中） ： 2 1 ()( n wzaza=−−L) 的解集合称为超椭圆曲线，在拓扑上同胚于一个带个环柄的球面，等于gg(1) 2n−的整 数部分[(1) 2]n− 在数学结构上，流形论是一个不可缺少的部分简而言之，集合论位于“包含与从属” 的层面，拓扑学位于“连续性”的层面，而流形论则位于“可微性”的层面流形的局部 理论，秉承了微积分的核心技术：弯曲与平直关系的恰当处理例如流形在一点的线性化 产生切空间；流形之间的映射在一点的线性化产生切映射；其中使用的，便是典型的微积 分方法的延伸切空间与切映射属于流形论中最基本的概念流形的整体理论，则综合运 用拓扑，代数，分析，几何等诸多领域的概念和方法，揭示微分流形的整体性质，以及整 体性质和局部性质的关系，构成流形论丰富多彩的内容，例如 Stokes 公式，Gauss-Bonnet 公式，同调与上同调的 de Rham 对偶理论等等。

2 第第 1 章 多元函数与映射章 多元函数与映射 多元微积分是构建流形论的重要基础之一最简单的多元函数是线性函数，它与向量的相互 作用，构成线性对偶理论线性对偶理论，是线代数基本内容之一流形论中的切空间和余切空间，向量场和微 分形式，也都是由此发展出来的线性对偶流形的积分理论中，由积分区域与被积表达式发展出 来的同调群与上同调群的 de Rham 对偶，属于线性对偶理论的高级形态，深刻地刻画了流形的整 体拓扑性质 多元微积分的基本对象是多元映射，它的分量是多元函数最简单的多元映射是线性映射， 给定向量空间的基以后，它表现为矩阵内容更加丰富的是非线性映射，有更多的应用，也更困 难微积分处理非线性映射的基本手段之一，是研究它的微分（切映射） ，即将它在一点处线性 化 在一点处线性 化得到的线性映射； 其坐标表示是 Jacobi 矩阵， 它在相当大的程度上刻画了非线性映射在一点处 的行为，基本内容由秩定理给出秩定理是非常重要的工具也是研究子流形的基础 1.1 线性对偶 线性对偶 1.1.A 对偶空间对偶空间设V为向量空间，称映射:Vα→?为线性函数线性函数，若： ()( )( )uvuv?, , u vV∀∈。

λμλαμα+=+,, αλ∀μ∈ 两个线性函数α,β的线性组合，是一个新的线性函数，取值为： ()( )( )( )vvvλαμβλαμβ+=+vV, ∀ ∈ V上全体线性函数,配上线性运算，成为一个新的向量空间，称为V的对偶空间对偶空间，记为V ∗ V ∗的元素α ， 即V上的线性函数， 称为余向量 余向量 (covector) 引进配对符号：,(vv)αα=， 则上述两组线性关系可以写为对称形式： ,,, ,, uvuv vv ; ,.v λμαλαμα λαμβλαμβ = + = + 由此得一双线性函数： ,: , ,( )VVvvαα ∗ →=? 1.1.B 基与对偶基基与对偶基设V为维向量空间，{m} i δ是它的一组基则每一向量可展为： v 1 1 ... mi mi vvvvδδδ=++=； 最后一式中用了 Einstein 求和约定：出现重复的上下指标时，对指标的定义域求和今后将 经常采用，以简化表述由线代数中基的定义，展式第j个系数 j v被向量唯一确定，由 v 此得到一个函数，称为基底{ } i δ下的第j个坐标函数坐标函数： :, ( ) jj Vvδδ→ j v??。

命题：命题：坐标函数 i δ是线性函数，且与基{ } i δ满足双正交关系(1,)i jm≤≤： ()( )( ,; ii jj ii uvuvδ λμλδμδ δ δδ +=+ = ); i 其中 Kronecker 符号 j i δ当i时为1，当jj=i ≠时为0 证明：设, i ii uuvviδδ==，其中则： ( ), ( ) iiii uuvδδ==v 3 11 11 11 1 ()( ()(); ()( )( ) mm mm mm m iiii uvuuvv uvuv uvuvuv ) . i λμλδδμδδ λμδλμδ δλμλμλδμδ +=+++++ =++++ ⇒+=+=+ LL L 因此，观察展式 i Vδ ∗ ∈ 1 1 m im xxδδ=++Lδ，不难看出 jj i xδ=另方面，由系数公式 可得这就完成了证明 (), jjj ii xδδδ δ== 定理：定理：设V是维向量空间，m 1 { ,,} m δδL是一组基则对偶空间V ∗也是 维向量空 m 间，相应的坐标函数 1 {,,} m δδL是它的一组基，称为 1 { ,,} m δδL的对偶基。

证明： 1, , m δδL线性无关事实上，设 1 1 0 m m ccδδ++=L；作用于 i δ，由双正交关 系，得现证完备性取V中任一余向量0 i c = ∗ α，作用于任意一个向量： v 11 11 11 11 ( ),,,, ( )( )()( ). mm mm mm mm vvvvvv vvv ααδδαδ αδα α δα δα δα δ ===++ =++=++ LL LL 因此 1 1 ...; , m mjj αα δα δαδ α=++ > 附注：附注：用对偶基来写V与V中的元素的展开式，非常便于应用: ∗ 1 1 1 1 ; ,; ; ,. mii m m mjj vvvvvδδδ αα δα δαδ α =++= =++=< L 双线性函数有简单的坐标表示： 1 1 , m m vvvααα=++L 1.1.C 有限维向量空间的自反性有限维向量空间的自反性对固定的向量v，双线性函数,vα成为V上的 ∗ 一个线性函数：( ),Lvαα故()LV ∗ ∗ ∈由此得到一个映射： :() , ( ); ( )( ),, . f VVvLf v f vvVααα ∗ ∗ ∗ →= ∀∈ a ? 定理：定理：向量空间V与(为线性同构。

)V ∗ ∗ 证明：先证f是线性的Vα ∗ ∀∈， () ()( ),,, ( )( )( )( )( )( ) ( ). fvwvwvw f vf wf vf w λμαλμαλαμα λαμαλμα +== + 再证f是单射对任何( )0f v=Vα ∗ ∈，由坐标表示： 1 1 ,( )( ) m m vvvf vαααα++===L0 由 1, , m ααL任意性，每一个为零，故 i v0v =最后证明f是满射以V及其基{ ∗ } i δ为 出发点，重建对偶理论给定()LV ∗ ∗ ∈则对任意的Vα ∗ ∈，有坐标表示： 1 1 ( ) m m LLLααα=++L 构造V中的向量 1 1 m m vLLδδ=++L我们有 1 1 ( )( ),( ) m m f vvLLLαααα==++=Lα 因此( )f v=L线性映射f既单且满，故为线性同构 4 性同构意义下，向量就是对偶空间Vv ∗上的线性函数 L：( ),vvαα=线性 同构称为向量空间的自反性自反性，V是有限维时成立，无限维时就不一定成立了 ()V ∗ ∗ ? V 1.2 映射的微分映射的微分 设U是的开集， n ?: m F U→?为一映射。

称在点在点FaU∈可微可微，若存在常数 m n 矩阵B和向量值函数( , )R x a，使得： ( )( )()( , ); lim ( , )0 xa F xF aB xaxa R x aR x a → =+−+−= 记( )BDF a=；线性映射( ): n BDF a= m →??称为映射在点的微分映射在点的微分其意义是，当 Fa xa→，与齐线性函数( )( )F xF a−( )()DF a xa−的差，是xa−的高阶无穷小 命题命题：若在点可微，则在点连续，且FaFa( )BDF a=恰为 Jacobi 矩阵： 1 11 (,,) ( ),, (,,) m nn aa a FFFFF BDF a xxxx ∂∂∂⎛⎞ ==== ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ L L Lx ∂ ∂ ， 其中自变量 1 (,,) n T xxx=L，因变量均采用列向量记法 1 (,,) n T FFF=L 证明：记() i k Bb=，则 1 0 ( )( )()( , ); ()( )||(, ); 1 lim[()( )]. n iiikki k k iiii jjj i ii jj j a i FxF ab xaxa R x a F aF abR aa F F aF ab x ε εδεεεδ εδ ε = → =+−+− +=+++ ∂ =+−= ∂ ∑ 例例 1：：线性映射，: nm F→?? 0 ( )F xxCx=+，C是m 。