第一章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题<本大题共6小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确的选项>1．下列各组数,能构成直角三角形的是< >A．4,5,6 B．12,16,20C．5,10,13 D．8,39,402．如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,BC＝2.5cm,AC＝1.5cm,则AB的长为< >A．3.5cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图,有一块边长为24米的正方形绿地,在绿地旁边B处有健身器材,由于居住在A处的居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌"少走▇米,踏之何忍",请你计算后帮小明在标牌的"▇"填上适当的数字是< >A．3米 B．4米 C．5米 D．6米4．在△ABC中,AB＝12,BC＝16,AC＝20,则△ABC的面积为< >A．96 B．120 C．160 D．2005．如图,等腰三角形底边BC的长为10cm,腰长AB为13cm,则腰上的高为< >A．12cm B.cm C.cm D.cm6．如图所示为一种"羊头"形图案,其作法是：从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,……,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为< >A．2 B．4 C．8 D．16二、填空题<本大题共6小题,每小题3分,共18分>7．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝9,AC＝12,则AB＝________．8．如图,一架长为4m的梯子,一端放在离墙脚2.4m处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙脚________m.9．如图,在△ABC中,AB＝5cm,BC＝6cm,BC边上的中线AD＝4cm,则∠ADB的度数是________．10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD＝__________．11．如图是一种饮料的包装盒,其长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．12．在△ABC中,若AC＝15,BC＝13,AB边上的高CD＝12,则△ABC的周长为________．三、<本大题共5小题,每小题6分,共30分>13．如图,∠B＝∠OAF＝90°,BO＝3cm,AB＝4cm,AF＝12cm,求： <1>AO,FO的长； <2>图中半圆的面积．14．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行,它们离开港口半小时后相距多远？15．已知一个直角三角形的周长是12cm,两直角边长的和为7cm,则此三角形的面积是多少？16．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝16cm,正方形BCEF的面积为144cm2,BD⊥AC于点D,求BD的长．17．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：<1>如图①,A,B,C是三个格点<即小正方形的顶点>,判断AB与BC的位置关系,并说明理由；<2>在图②中画出一个面积为10的正方形．四、<本大题共3小题,每小题8分,共24分>18．如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,AD⊥AB于点A,BC⊥AB于点B.已知AD＝15km,BC＝10km,现要在铁路AB旁建一个货运站E,使得C,D两村到E站距离相等,问E站应建在离A地多少千米处？19．如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地<图中的四边形ABCD>,经测量,在四边形ABCD中,AB＝3m,BC＝4m,CD＝12m,DA＝13m,∠B＝90°,连接AC.<1>△ACD是直角三角形吗？为什么？<2>小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问铺满这块空地共需花费多少元？20．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD＝80cm,高AB＝60cm,水深AE＝40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG＝60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．<1>该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线,并用箭头标注；<2>求蚂蚁爬行的最短路线长．五、<本大题共2小题,每小题9分,共18分>21．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝10cm,AC＝6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.<1>求BC边的长；<2>当△ABP为直角三角形时,求t的值．22．图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的长分别为a,b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a＋b的正方形内．<1>图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形,②是以________为边长的正方形,③的四条边长都是________,且每个角都是直角,所以③是以________为边长的正方形；<2>图乙中①的面积为________,②的面积为________,图丙中③的面积为________；<3>图乙中①②面积之和为__________；<4>图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？六、<本大题共12分>23．在△ABC中,BC＝a,AC＝b,AB＝c,若∠C＝90°,如图①,则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时,小明猜想：a2＋b2＞c2,理由如下：如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD＝x.在Rt△ADC中,AD2＝b2－x2,在Rt△ADB中,AD2＝c2－2,∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0,x＞0,∴2ax＞0,∴a2＋b2＞c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2＋b2＞c2.所以小明的猜想是正确的．<1>请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2＋b2与c2的大小关系<温馨提示：在图③中,作BC边上的高>；<2>证明你猜想的结论是否正确．参考答案与解析1．B 2.B 3.D 4.A 5.C6．B 解析：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16……第n个正方形的面积是,∴正方形⑤的面积是＝4.故选B.7．15 8.3.2 9.90° 10.4 11.3cm≤h≤4cm12．32或42 解析：∵AC＝15,BC＝13,AB边上的高CD＝12,∴AD2＝AC2－CD2,即AD＝9,BD2＝BC2－CD2,即BD＝5.如图①,CD在△ABC内部时,AB＝AD＋BD＝9＋5＝14,此时,△ABC的周长为14＋13＋15＝42；如图②,CD在△ABC外部时,AB＝AD－BD＝9－5＝4,此时,△ABC的周长为4＋13＋15＝32.综上所述,△ABC的周长为32或42.13．解：<1>∵在Rt△ABO中,∠B＝90°,BO＝3cm,AB＝4cm,∴AO2＝BO2＋AB2＝25,∴AO＝5cm.<1分>在Rt△AFO中,由勾股定理得FO2＝AO2＋AF2＝132,∴FO＝13cm.<3分><2>图中半圆的面积为π×＝π×＝．<6分>14．解：作出图形,因为东北和东南方向的夹角为90°,所以△ABC为直角三角形．<2分>在Rt△ABC中,AC＝16×0.5＝8,BC＝30×0.5＝15,则AB2＝AC2＋BC2＝172,解得AB＝17km.<5分>答：它们离开港口半小时后相距17km.<6分>15．解：设两条直角边长分别为acm,bcm,斜边长为ccm.由题意可知a＋b＋c＝12①,a＋b＝7②,a2＋b2＝c2③,<2分>∴c＝12－＝5,2＝a2＋b2＋2ab＝49,2ab＝49－25＝24,∴ab＝12,<4分>∴S＝ab＝×12＝6．<6分>16．解：∵正方形BCEF的面积为144cm2,∴BC＝12cm.∵∠ABC＝90°,AB＝16cm,∴AC＝20cm.<3分>∵BD⊥AC,∴S△ABC＝AB·BC＝BD·AC,∴BD＝cm.<6分>17．解：<1>如图①,连接AC,由勾股定理,得AB2＝32＋22＝13,BC2＝42＋62＝52,AC2＝12＋82＝65,∴AB2＋BC2＝AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠ABC＝90°,∴AB⊥BC.<3分><2>∵面积为10的正方形可以表示为32＋12＝10,∴四边形ABCD即为所求,如图②所示．<6分>18．解：设AE＝xkm,则BE＝<25－x>km.<2分>根据题意列方程,得152＋x2＝<25－x>2＋102,解得x＝10.<7分>故E站应建立在离A地10km处．<8分>19．解：<1>在Rt△ABC中,∵AB＝3m,BC＝4m,∠B＝90°,AB2＋CB2＝AC2,∴AC＝5m.<2分>在△ACD中,AC＝5m,CD＝12m,DA＝13m,∴AC2＋CD2＝AD2,∴△ACD是直角三角形,且∠ACD＝90°.<4分><2>∵S△ABC＝×3×4＝6,S△ACD＝×5×12＝30,∴S四边形ABCD＝6＋30＝36,<6分>费用为36×100＝3600<元>．故铺满这块空地共需花费3600元．<8分>20．解：<1>如图,作点A关于BC的对称点A′,连接A′G交BC于点Q,连接AQ,蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时,路程最短．<5分><2>∵在Rt△A′EG中,A′E＝2AB－AE＝80cm,EG＝60cm,∴由勾股定理得A′G＝100cm,<7分>∴最短路线长为AQ＋QG＝A′Q＋QG＝100cm.<8分>21．解：<1>∵在Rt△ABC中,BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64,∴BC＝8cm.<2分><2>由题意知BP＝2tcm,分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时,点P与点C重合,如图①,BP＝BC＝8cm,即t＝4；<4分>②当∠BAP为直角时,如图②,BP＝2tcm,CP＝<2t－8>cm,AC＝6cm.在Rt△ACP中,AP2＝62＋<2t－8>2,在Rt△BAP中,AB2＋AP2＝BP2,<6分>∴102＋[62＋<2t－8>2]＝<2t>2,解得t＝.故当△ABP为直角三角形时,t＝4或.<9分>22．解：<1>abcc<2分><2>a2b2c2<4分><3>a2＋b2<5分><4>由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b,则面积为2,图乙中把大正方形的面积分为了四部分,分别是边长为a的正方形,边长为b的正方形,还有两个长为a、宽为b的长方形,<7分>根据面积相等得2＝a2＋b2＋2ab,由图丙可得2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.<9分>23．<1>解：当△ABC为钝角三角形时,a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.<3分><2>证明：如图,过点A作AD⊥BC于点D.<5分>设CD＝x.在Rt△ADC中,AD2＝b2－x2,在Rt△ADB中,AD2＝c2－2,∴a2＋b2＝c2－2ax.<8分>∵a＞0,x＞0,∴2ax＞0,∴a2＋b2＜c2,∴当△ABC为钝角三角形时,a2＋b2＜c2.<12分>4 / 4。
