第11讲 圆的方程（六大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义.doc

第11讲 圆的方程【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：二元二次曲线与圆的关系题型五：圆过定点问题题型六：轨迹问题【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径．知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内知识点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解．它表示一个点．(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据已知条件，建立关于或的方程组．(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法)．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用表示轨迹(曲线)上任一点的坐标；(2)列出关于的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答．【典例例题】题型一：圆的标准方程例1．圆心在原点，半径是的圆的标准方程为(    )A． B．C． D．【解析】因为圆的圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为，故选：A.例2．圆关于直线对称的圆是(    )A． B．C． D．【解析】圆圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则，解得，所以点关于直线对称的点为，所以圆关于直线对称的圆是.故选：D.例3．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为(    )A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【解析】设圆心，因为，所以，解得，则半径为，圆心.即圆C的标准方程为.故选：B例4．已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为(    )A． B．C． D．【解析】由圆C：可知圆心，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为：.故选：D例5．若过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为(    )A． B．C． D．【解析】直线的方程：，即，直线的垂直平分线经过点，，半径，从而圆的方程为：，故选:D.例6．若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线的距离为(    )A． B． C．5 D．3【解析】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为，，，所以设圆的方程为且，则圆心到直线的距离为.故选：A例7．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是(    )A． B．C． D．【解析】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即，因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径，所以外接圆方程是，即.故选：A例8．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为(    )A． B．C． D．【解析】设圆的标准方程为，因为圆经过点，，且圆心在直线上，所以有，因此圆的标准方程为，故选：A例9．与直线切于点，且经过点的圆的方程为(    )A． B．C． D．【解析】设圆的方程为，根据题意可得，解得，所以该圆的方程为.故选：D.例10．已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为(    )A． B．C． D．【解析】设圆心，则半径，解得：，所以圆的标准方程为，故选：D.题型二：圆的一般方程例11．圆的半径为(    )A．2 B．4 C．8 D．16【解析】圆，即，所以半径.故选：B例12．已知圆，则圆心及半径分别为(    )A． B． C． D．【解析】圆，即，所以圆心为，半径为.故选：A例13．求以为圆心，且经过点的圆的一般方程(    )A． B．C． D．【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.例14．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是(   )A． B．C． D．【解析】设所求圆方程为,因为，，三点都在圆上，所以，解得，即所求圆方程为：.故选：C.例15．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为(　　)A． B．C． D．【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为，因为圆经过两点，，且圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为.故选：C.例16．若不同的四点，，，共圆，则a的值为(    )A．1 B．3 C． D．7【解析】设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得，解得，所以A，B，C三点确定的圆的方程为．因为也在此圆上，所以，所以，解得a＝7或(舍去)．故选：D．例17．与圆同圆心，且过点的圆的方程是(    )A． B．C． D．【解析】依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选：B题型三：点与圆的位置关系例18．点与圆的位置关系是(    )A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【解析】圆的圆心为，半径，，故点在圆内.故选：B例19．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(    )A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【解析】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有： 恒成立，故点P在圆外，故选：A.例20．点与圆的位置关系是(    )．A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定【解析】因为，所以点在圆外.故选：B例21．已知圆的方程是，则点(    )A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外【解析】因为，所以点P在圆内．故选：C．题型四：二元二次曲线与圆的关系例22．(多选题)下列方程不是圆的一般方程的有(    )A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根据二元二次方程表示圆的条件，对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程；对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程；对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.例23．(多选题)方程表示圆，则实数a的可能取值为(    )A．4 B．2 C．0 D．【答案】AD【解析】把方程整理成，即，若表示圆则满足即，即所以或，观察答案中只有和符合题意.故选：AD例24．(多选题)已知方程，下列叙述正确的是(    )A．方程表示的是圆.B．当时，方程表示过原点的圆.C．方程表示的圆的圆心在轴上.D．方程表示的圆的圆心在轴上.【答案】BC【解析】由得：；对于A，若，即，则方程不表示圆，A错误；对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B正确；对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C正确，D错误.故选：BC.例25．(多选题)已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为(    )A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】因为方程表示一个圆，所以，化简得，解得.故选：BC.例26．(多选题)方程表示圆的充分不必要条件可以是(   )A． B．或C． D．【答案】CD【解析】可化为：，因为该方程表示圆，故即或，即方程表示圆的充要条件为或.因为，均为的真子集，不是的真子集，故，均为方程表示圆的充分不必要条件，故选：CD.例27．(多选题)使方程表示圆的实数a的可能取值为(    )A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】，配方得：，要想表示圆，则，解得：，故选：BC题型五：圆过定点问题例28．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.例29．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______【答案】【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.例30．已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______(其坐标与无关)【答案】和【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则，①－②得，，∴，从而，代入③得，∴圆方程为，整理得，由得或．∴圆过定点和．例31．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.例32．已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.【答案】【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.由，解得即定点坐标为.故答案为题型六：轨迹问题例33．已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解析】设点P的坐标为，点A的坐标为，又，且P为线段AB的中点，所以，则.因为点A在圆C：上运动，即有，代入可得，，整理可得，化为标准方程可得.所以，中点P的轨迹方程为，该轨迹为以为圆心，1为半径的圆.例34．如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.  【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.例35．已知方程表示圆，其圆心为.(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.【解析】(1)方程可变为：由方程表示圆，所以，即得，.圆心坐标为.(2)当时，圆方程为。