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蜂房的最优化2010 全国大学生数学建模竞赛河南师大数学学院选拔赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子 邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性如有违 反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理我们参赛的题目是： 蜂房最优化 我们的参赛报名号为： 所属系、专业、班（请表明本专科）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期：年 月 日评阅编号（由数学建模协会评阅前进行编号）：B B 题题 蜂房问题蜂房问题当代著名生物学家达尔文 (Darwin, 1809-1882)(文献)说 ：“巢房的精巧 构造十分符合需要，如果一个人在观赏精密细致的蜂巢后，而不知加以赞扬， 那人一定是个糊涂虫。

” 有人比喻小小蜜蜂是卓越的建筑师他们认为蜜蜂们“设计”的蜂房是最优 化的，试通过建立数学模型来说明如果你能提出更优的设计，请给出你的设 计方案摘要： 本篇论文将通过建立数学模型论证蜜蜂们“设计”的蜂房是最优化的 论文的验证过程分为以下几步： 1、提出问题：验证蜂房的设计是最优化的 2、提炼模型：我们知道可以进行镶嵌的只有三角形，四边形，六 边形等，蜂房都是由六边形组成的，为什么用六边形？难道是 因为六边形最省材料？还是因为六边形最省空间,最稳定？人 们通过测量知道六边形的钝角是 109°28′，锐角是 70° 32′，这个角有什么特殊的地方 3、针对以上各个问题查找相关资料 4、建立相应的模型并求解 5、模型评价总结反思通过以上几个部分，我们将在下面的论文中解决这个问题图 1 图 2 基本假设：基本假设： 1.蜂房是最优化的“设计” 2.如图 2，蜂房的底面用的是正六边形， （1） 假设正六边形在平面内是平面利用率最大的图形 （2） 假设采用正六边形能做到材料最省 3.从立体结构上考虑 (1) 假设蜂房的顶在空间内是空间利用率最大的设计 (2) 假设这样的结构可以做到材料最省 符号说明：符号说明： c:图形的周长 A:顶点 A 对应的角 r:多边形内接圆的半径 n:多边形的个数 i:多边形的边数 s:多边形的面积 k: 省材料的程度 a: 增加的图形个数/增加的边数模型的建立与求解：模型的建立与求解：1.周长为周长为 c 的多边形中，对应的正多边形面积最大的多边形中，对应的正多边形面积最大首先假设这个多边形为 n 边形，那么这个多边形会有 1 个内切圆，内切圆 的的圆心到所有边的距离都相等，现在我们假设这个内切圆半径为 r，那么这个 多边形的面积是 rc/2 现在我过内心做一条垂直于某一边 AB 的线段，这个线段就是内径，连接内心 和这条边的两个端点，很容易得到，r=[|AB|tan(A/2)]/2,释怀同理我们对于每一 条边和它一端的内角都能得到这个类似的结果 于是 r 就应等于所有这些结果的和除以边数（或内角数） ，注意不能出现重复的 边和角，又由于所有边的和为 c 所有内角的和也是个定值(i-2)*180 度，因此要 想这些结果的和最大，应该有每一个结果都相等，此时，也是 r 最大，面积最 大。

而要使类似于|AB|tan(A/2)]/2 的组合都相等，则每一个内角，每一条边都相等， 而这正是正多边形2.正六边形是平面利用率最大的图形，也是建造相同面积周长最小的图形正六边形是平面利用率最大的图形，也是建造相同面积周长最小的图形假设有周长都为 c 的多边形，其中只有正三角形、正方形、正六边形可以 将整个平面填满（由于都是正多边形，所以当图形在平面上紧密排列时每个交 接点周围有相同数目的图形，设有 x 个，x*（n-2）*180/n=360=>n=3、4、6） ， 这些图形的平面使用率是 100% 正正 i 边形与正六边形的比较（边形与正六边形的比较（i>=7 或或 i=5，联系实际，当边数过多时制作图形的，联系实际，当边数过多时制作图形的 难度加大和精确度下降，联系现在的工业水平这里我们只考虑难度加大和精确度下降，联系现在的工业水平这里我们只考虑 30 边以内的多边边以内的多边 形以及圆做为比较对象）：形以及圆做为比较对象）： 假设有 n 个正多边形，我们用 k=s/c 来做标准来评定多边形省材料的程度，当 图形不是三边形四边形六边形时，每增加一个图形至多减少一条边，当是每增 加一个图形可以减少一条或两条边，s 是多边形的面积，c 是多边形的周长。

当 n 个正多边形排列: 对于其他的正多边形 k（i）=n*s(i)/(n*c-（n-1）*c/i) s（i）=c^2/4i*tan(180/i) （i!=3,4,6） 当 i=6 时，k=n*s/(n*c-(n-1)*2*c/6) 当是圆时，k4//ccs 用 MATLAB 求解，程序如下：（取 n=3,c=1）① n=3; ② Pi=3.1415926; i=linspace(5,30,26); n=linspace(3,10000 ,99998); Pi=3.1415926; x=n/(24*tan(Pi/6)*((4*n+1)/6)); y=n./((4.*i.*tan(Pi./i)).*(n-(n-1)./i)); z=1/(4*Pi); x=n/(24*tan(Pi/6)*((4*n+1)/6)); plot(n,z,'ro',n,x,'g') plot(i,y,'ro',6,x,'g*'); 结果如图(绿色的点表示六边形，红色的点表示 i 边形的 k 值，其中 i=6 时， 绿色点儿为有效值，红点无效. ②图为 n 从 3 到 10000 的圆和六边形相比较)：① ②然后改变 n 的值，使其为 5,10,100,1000,1000 再比较 i 边形和六边形有如图：由此可以看出 n 值对红色图形等影响不大都可以看到正六边形的 k 值远远 大于其他图形及圆， 。

所以六边形比其他的图形更省材料，而且平面利用率 更大 正三边形，四边形，六边形的比较正三边形，四边形，六边形的比较 ：： ①① 正三角形与正六边形比较正三角形与正六边形比较 因为在现实中 n 的数值不确定，所以为了取得最优解，我们假设在添加图 形时，都在裸露的顶点中选取其周围临近图形最多的顶点处添加，这样在 每一次添加图形时可以保证增加最少边数，可以增加最多的图形个数设 a=增加的图形个数/增加的边数； 三角形的情况三角形的情况：在按照以上的规律来增加三角形，当增加的三角形足够多 时，我们发现最后 a 会出现饱和值，a（3）=2/3 六边形的情况六边形的情况：增加六边形时也会出现饱和值，a（6）=1/4 由上面的假设每个图形的周长都为 c， lim(k(3))/ lim(k(6))=[a(3)*(s3/(c/3)) ]/[a(6)*(s6/(c/6))]=8/9(n→∞)所以六边形比 三角形省材料②② 正四边形与正六边形的比较正四边形与正六边形的比较 正四边形即正方形，当用它填充平面时，知道排列后的图形越接近正方形 时其 k 值越大，所以我们先将（[n^1/2]）^2 个图形摆成正方形，然后将 n 个图形如图围绕周围排列，如图:……a(4)—>1/2(n∞),lim(k(4))/lim(k(6))= [a(4)*(s4/(c/4)) ]/[a(6)*(s6/(c/6))]=2/3有以上可知正四边形是密铺平面最理想的图形，六边形其次，下一步我们 在底是正六边形和正四边形的基础上考虑体积固定的情况下，考虑哪一个 面积更小。

3．体积固定，讨论以那个为底可以建造出面积更小的图形：．体积固定，讨论以那个为底可以建造出面积更小的图形： 在建造顶部时，要注意顶部在底面上的投影应该与底面重合，所以在六边 形的基础上建造的模型，顶部在底面的投影应该是正六边形，我们在建造 模型是令模型的顶尽量规则，因为图形越接近圆其体积与面积比会越大， 所以对六边形我们考虑了三种模型，如图：但是第二个图形在排列空间时会造成空隙，造成巨大的空间浪费，所以我 们舍去不加考虑 在建造以正四边形为底的图形时，我们依照同样的原则建造了三种模型：①①在体积固定的情況下，比较第一种六边形模型和第三种六边形模型，蜂在体积固定的情況下，比较第一种六边形模型和第三种六边形模型，蜂房模型，总表面积会最小房模型，总表面积会最小: :一个蜂巢是由很多个正六边形的蜂房所组合而成的说得正确一点，每一个蜂房是一个以正六边形为底的六棱柱体在这些 蜂房的中间，蜜蜂会建造一堵「墙」 ，将两边分隔开，从而成为蜂房的底部，这堵墙亦不是一块平面，而是好像图一中的图形般，由三个全等的菱形组合而成图一中蜂房的形状是倒立的，底部向上)在体积固定的情況下，这样的蜂房，总表面积会最小 [1]如图一个以正六边形ABCDEF为底的六棱柱体，O为正六边形的中心。

设AB=1连接OB和AC，并相交点为P我们可以利用以下方法來建造出 蜂房底部的菱形:先在B以下的位置选一点G，并设BG=h，然后沿著 ACG的边界将锥体ABCG 切出，并将它反转放在三角OAC之上，即将OAC 和BAC 重 合在一起这時，原锥体的顶点G就会位于0之上，并称该位置为Q如此， 在AC的边上就会出现一个菱形AGCQ 了类似地，我们可以分別在D、F以下h 个单位的位置定出H、K两点，从而造出另外的两个菱形经过切割后的立体体积，和先前的六棱柱体的体积是一样的，至于它的总表面积由余弦公式(Cosine Formula)，可知：；3120cos11211222oAC又因为由此得21PB,,60所以ACOBABPo 412hPG由图二可知，经切割后，ABG 、CBG 和菱形OABC会消失，即整个立体会减小面积: 231212213212hh另外，立体增加了菱形才AGCQ，亦即增加了面积：413341 21222hh由此可知立体面积变化为：23 4132hhs注意:我只对AGCQ部分进行计算，其余两个菱形部分的结果应该柑同，故此不必重复计算。

我们就需要求 h 值，使 S 达至最小，令014132  hh dhds则 解得：4132hh81h即当时蜂房的总表面积会达至最小81h应用勾股定理于 ABG 上可以知道最后应用余弦公式于AGC83AG 3183 832383 83cos222   AGC即当AGC 等于角 时，蜂房的总表面积会达到最小'28109o②②在固定的体积下，比较第一种四边形模型与第三种四边形模型，得到第在固定的体积下，比较第一种四边形模型与第三种四边形模型，得到第一种表面积更小一。