冰块融化模型.docx

课程报告题目： 冰块融化模型组 长：李桂林 201412010110员： 201412010115刘姣姣 201412010113王佳佳 201412010215院（系）： 文理学院专 业： 数学与应用数学指导教师： 2016年5月16日冰块融化模型摘要据资料显示：地球上的水资源有97%被盐化，仅有3%是淡水资源，且大部分是主要分布在 南北两极地区的固体冰川，众所周知，水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的重要物质 资源之一而在一些淡水资源非常匮乏的地方，各种产水方式应运而生，就比如建议之一是 把冰山从极地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰块来提供淡水而融化过程中， 冰块融化的体积又会随着时间的流逝发生什么样的改变呢？而冰块融化中这种改变又会受 到哪几种因素的制约呢？抛开几种复杂因素，例如人为因素温度和湿度等，本文通过建立模 型研究了水资源短缺以期用融化的冰块来提供淡水的问题问题提出：美国的加利福尼亚州存在较严重的干旱问题，因此总在寻找着新的水资源建议之一是把冰 山从极地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰块来提供淡水我们把冰块设想成 巨大的立方体（或长方体、棱锥体、等具有规则形状的固体），并且假定在融化过程中冰块 保持为立方体不变，现在的问题是，融化这样的冰块需要多长时间？模型假设：我们把冰块设想成巨大的立方体（或长方体、棱锥体、等具有规则形状的固体） 假定在融化过程中冰块保持为立方体不变。

符号说明：立方体的边长为： s体积V:V=sT表面积S： S=6sA2k: 为常数，由很多因素决定，诸如周围空气的温度和湿度以及是否有阳光等等符号注释：这里V和S、s均为t的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块 表面积成正比（注：由于融化现象发生在冰块的表面，故改变表面积的大小叶能改变冰的融 化速度）至此我们得到dV=一k 6s 2, k > 0dt根据上述假设，比例因子k是常数，负号表示体积不断缩小，它依赖于很多因素，诸如周围 空气的温度和湿度以及是否有阳光等等建立模型在这个问题里面，我们更想知道的是：要融化特定百分比的冰块，需要多少时间？为此，我 们在此再提出一组假设条件设在最前面的一个小时里冰块被融化的掉1/4 的体积（我们也 可以用字母n%来代替特定值，例如r小时融化掉n%体积的冰等），从而的得到如下数学问题：dVV — s 3, — — k 6 s 2dtV (0) — V , V (1) — - V0 4 0 现在要求使V (t)= 0的t值利用复合函数求导公式，对V二s3两边关于时间t求导得dV ds—3s2 -dt dtds令3s2 — —k 6 s 2,我们可以得到dtds ——一2k dt上述表示立方体的边长以每小时2k的常速度率在减少，因此若立方体边长s的初始长度为s0，一小时后为s1 - s0 一 2k，两小时后为s2 - s0 一 4k……上述关系告诉我们,s1 一 s0 — 2k，s2 一'1 — 2k……故冰块全部融化的时间t为使得2kt - 的t值，从而有st = 0-2ks 0—s 一 s0[s1 — —1s0V=4为例可得0s—1s03 = 0.91所以这说明 间约为 11 小时 模型的应用t = 沁 11.1融化1一 0.91如果在1 小时里有1/4体积的立方体冰块被融化，那么融化掉其余部分冰块所需时1.从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4，（1） 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，一小时大约融化了1/4 求冰块 全部融化要多长时间（设气温不变）？（2） 如运输时间需要2.5 小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？（1）解：设立方体的边长为：S,体积V:V=sA3,表面积S： S=6sA2由于V和S、s均为t的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比第一步:根据体积的变化率正比于冰块的表面积列出关系式: dV二一k6s2,k > 0dtdV因为体积是单调下降的,故的右一厂端加负号dt第二步:dVV = s 3, = -k 6 s 2dt对V = s 3两边关于时间t求导得dV ds=3s 2 — dt dt所以 3s 2 二一 k 6s 2dtdt解得:s = -2kt + c，令t = 0，得 s - s0s = s - 2kt. [1]0第三步：因此在t =1时，冰块边长s - 丁2k，根据题设第一小时大约融化了 1/4,可列出(s -2k)3 = — s3，得出 s — 2k 二0 4 0 0—s 3 :1，所以k =—1-J314 0 J234< * Js .[2]0第四步:故冰块全部融化，即s = o，又由M和b］得出:沁 11.1(h)(2)解：(2)中所需要的步骤同第(1)题中第一步，第二步，第三步相同第四步： ，当运输时间需要2.5小时：由s二s -2kt得：0s = s - 2k *2.5 = s - 5k2.5 0 0冰块全部融化的时间t为t使得：2kt = s0又由（1）题第三步中k = 2 1 -得：'s-^.5L s0's - 5k-0 Ls0s0 -5*L2Lv-^2.5v01运输时间为2.5小时时，运输途中冰块大约会融化掉原体积的-。

0 2模型的检验目前有一块体积为 1 立方米的冰块，在温度不变的情况下手工计算体积随时间的 变化情况：融化时间/h012345剩余体积m 310.75000.54560.38220.25510.16006789100.09200.04670.01940.00550.0006实际测量的结果：融化时间/h012345剩余体积m 310.69990.53280.30136789100.09320.04320.02010.00490.00010.2658通过对比上面两个表格，此模型计算出的数据与实验测得的数据误差最大为0.0501.因此模型模型的优缺点0.1557。