2005考研数一真题与解析.docx

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 6 小题, 每小题 4 分, 满分 24 分. 把答案填在题中横线上)(1) 曲线2xy 的斜渐近线方程为 _____________.2x 1(2) 微分方程 xy 2y x ln x 满足1y 的解为____________.(1)9(3) 设 函 数2 y2 z2x 1u , 单 位 向量 n { 1,1,1} , 则(x, y, z) 16 12 183u =.________. n(1,2, 3)(4) 设 是由锥面2 y2z x 与半球面2 x2 y 2z R 围成的空间区 域 , 是 的 整 个 边 界 的 外 侧 , 则xdydz ____________.ydzdx zdxdy(5) 设α α α均为 3 维列向量, 记矩阵 1, 2 , 3α α α均为 3 维列向量, 记矩阵A α α α ,( , , )1 2 3B α α α α α α α α α ,( , 2 4 , 3 9 )1 2 3 1 2 3 1 2 3如果 A 1, 那么 B .(6) 从数 1,2,3,4 中任取一个数 , 记为 X , 再从1,2, , X 中任取一个数, 记为Y , 则P{Y 2} =____________.二、选择题(本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分 32 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内)(7) 设函数f3n( , 则 f (x) 在( , ) 内x) lim 1 xnn(A) 处处可导 (B) 恰有一个不可导点(C) 恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点(8) 设F (x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数 , " M N" 表示 " M 的充分必要条件是 N ", 则必有(A) F(x) 是偶函数 f (x) 是奇函数 (B) F( x) 是 奇 函 数f (x) 是偶函数(C) F(x) 是周期函数 f (x) 是周期函数 (D) F (x) 是单调函数f (x) 是单调函数(9) 设函数x yu( , ) ( ) ( ) ( ) , 其中函数 具有二x y x y x y t dtx y阶导数, 具有一阶导数 , 则必有(A)2 2u (B)u2 2x y2u2x2u2y(C)2 2u (D)u2x y y2ux y2u2x(10) 设有三元方程 xy zln y e 1, 根据隐函数存在定理 , 存在点xz(0,1,1) 的一个邻域 , 在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z z(x, y)(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和z z(x, y)(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y y( x, z)和z z(x, y)(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)(11) 设1 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值 , 对应的特征向量分别2为α1,α2 , 则α,1A(α α) 线性无关的充分必要条件是1 2(A) 1 0 (B) 02(C) 1 0 (D) 02(12) 设A 为n(n 2) 阶可逆矩阵 , 交换A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B A B 分别为 A,B 的伴随矩阵 , 则. ,* *(A) 交换A 的第 1 列与第 2 列得*B (B) 交换*A* 的第 1 行与第 2 行得*B(C) 交换A* 的第 1 列与第 2 列得 B* (D) 交换*A 的第1 行与第 2 行得*B(13) 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率分布为X0 1 Y0 0.4 a1 b 0.1已知随机事件 { X 0} 与{ X Y 1} 相互独立, 则(A) a 0.2, b 0.3 (B) a 0.4, b 0.1(C) a 0.3, b 0.2 (D) a 0.1,b 0.4(14) 设 X , , , n ( 2) 为来自总体 N (0,1) 的简单随机样本 , X 为1 X X n2样本均值, S2 为样本方差 , 则(A) nX ~ N (0,1) (B)nS n 2 ~ 2( )2 ~ 2( )(C) ( 1) ~ t(n 1)n X (D)S2(n 1)X1n2Xii 2~ F (1,n 1)三 、解答题( 本题共 9 小题, 满分 94 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 )(15)( 本题满分 11 分)设 D {( , ) 2 y 2, x 0, y 0} , [1 2 y ]2 2x y xx 表 示 不 超 过1 x y 的最大整数 . 计算二重积分2 22 2xy[1 x y ] dxdy.D(16)( 本题满分 12 分)求幂级数n 1( 1)n 1 )x1(1n(2 n 1)2n的收敛区间与和函数 f (x) .(17)( 本题满分 11 分)如图 , 曲线 C 的方程为 y f (x) , 点(3, 2) 是它的一个拐点, 直线l 与l2 分别是曲线 C 在点(0,0) 与(3, 2) 处的切线 , 其交1点为 (2, 4) . 设函数 f (x) 具有三阶连续导数 , 计算定积分302 ) ( ) .(x x f x dx(18)( 本题满分 12 分)已知函数 f (x) 在[0,1] 上连续 , 在(0,1) 内可导 , 且 f (0) 0, f (1) 1 .证明:(1) 存在 (0,1), 使得 f ( ) 1 .(2) 存在两个不同的点 , ( 0,1) , 使得 f ( ) f ( ) 1.(19)( 本题满分 12 分)设函数 ( y) 具有连续导数 , 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上, 曲线积分L( y) dx 2 xydy2 42x y的值恒为同一常数 .(1) 证明: 对右半平面 x 0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C, 有C( y)dx 2 xydy2 42x y0.(2) 求函数 ( y) 的表达式.(20)( 本题满分 9 分)2 2 2已知二次型 f 1 2 的秩为(x1, x , x ) (1 a)x (1 a)x 2x 2(1 a)x x2 3 1 2 32.(1) 求a 的值；(2) 求正交变换 x Qy, 把 f ( , , ) 化成标准形 .x1 x x2 3(3) 求方程 f ( , , ) =0 的解.x1 x x2 3(21)( 本题满分 9 分)已 知 3 阶 矩阵 A 的第 一行是 (a, b,c),a, b, c 不全为零, 矩阵1 2 3B ( k 为常数), 且AB O , 求线性方程组 Ax 0的通解.2 4 63 6 k(22)( 本题满分 9 分)设 二 维 随 机 变 量 (X ,Y) 的 概 率 密 度 为 f (x, y)100 x 1,0 y 2x其它求:(1) ( X ,Y) 的边缘概率密度 fX ( x), f (y) .Y(2) Z 2X Y 的概率密度 f ( z).Z(23)( 本题满分 9 分)设 X , , , n ( 2) 为来自总体 N (0,1) 的简单随机样本 , X 为样1 X X n2本均值, 记Y X X,i 1, 2, , n.i i求:(1)Y 的方差 DYi ,i 1,2, ,n.i(2)Y 与Yn 的协方差 Cov( Y1,Yn).12005 年考研数学一真题解析一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线2x 1 1y 的斜渐近线方程为 y x .2x 1 2 4【分析 】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 .【详解 】 因为 a=limxf(x)xlimx2x2x2x12，blim f (x)xaxlimxx2( 2x 1)14，1 1于是所求斜渐近线方程为 y x .2 4（2） 微分方程 xy 2y xln x 满足 1 1 1y(1) 的解为 y xln x x.. 9 3 9【 分析 】直接套用一阶线性微分方程 y P( x)y Q( x) 的通解公式：y eP ( x)dx P([ Q(x)ex) dxdxC]，再由初始条件确定任意常数即可 .【详解 】 原方程等价为2y y ln xx，2 2dx 1dx2 x x于是通解为 y e [ ln x e dx C] [ x ln xdx C]2x1 1 1 xln x x C ， 3 9 x= 2由1 1 1y (1) 得 C=0，故所求解为 y xln x x.9 3 9（ 3 ） 设 函 数2 y2 z2x 1u( x, y, z) 1 ， 单 位 向 量 n { 1,1,1} ， 则6 12 183un(1,2, 3)=33.【分析 】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n {cos , cos , cos }的方向导数为：unuxcosuycosuzcos因此，本题直接用上述公式即可 .【详解 】 因为uxx3，uyy6，uzz9，于是所求方向导数为un(1,2, 3)1 1 1 1 1 1 3= .3 3 3 33 3 3（4）设 是由锥面2 y2z x 与半球面2 x2 y 2z R 围成的空间区域， 是的整个边界的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy232 (1 )R . 2【分析 】本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计。