符号数学基础.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,第四章 符号数学基础,§4.1 符号对象的创建,符号数学工具箱：Symbolic Math Toobox,,主要功能：符号表达式的创建、符号矩阵的运算、符号表达式的,,化简和替换、符号微积分、符号代数方程、符号微分,,方程、符号函数绘图,,一、 建立符号变量和符号表达式,,(1)sym函数,,变量=sym（’变量名‘）：用来建立单个符号变量，其中变,,量名可以是字符、字符串、表达式或字符表达式；,例1、a=sym(‘a’)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中,,使用变量a进行各种运算1,,例3、比较符号常数与数值在代数运算时的差别在 MATLAB命令窗口，输入命令：,,》k1=sym('8')；k2=sym('2')； % 定义符号变量,,》r1=8；r2=2； % 定义数值变量,,》sqrt(k1) % 计算符号表达式值,,》sqrt(r1) % 计算数值表达式值,,》sqrt(k1+sqrt(k2)) % 计算符号表达式值,,》sqrt(r1+sqrt(r2)) % 计算数值表达式值,例2、用sym创建符号表达式“b^2-4*a*c”，并赋值给符号变量△,,》 △=sym（’b^2-4*a*c’),,2,,二、数值变量和符号变量的对比：,,(2)syms函数,,syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 … varn,,函数定义符号变量var1,var2,…,varn等；一次定义多个变量,,用这种格式定义符号变量时,不要在变量名上加字符分界符(')，变量间用空格而不要用逗号分隔。

例、定义多个符号变量，创建符号表达式,,》syms a b c x y,,》y=a*x^2+b*x+c,,#,@,3,,三、默认符号变量,,1、数学上的习惯：字母表中靠前字符表示常量 a b c,,字母表中靠后字符表示变量 x y z,,在MATLAB中，以最接近字符x的顺序排列默认自变量；若与X相同距离，则在x后面的优先；大写字母比所有的小写字母,,都靠后2、可用findsym函数对默认自变量进行查询,,findsym（f）：按字母顺序排列表达式f中全部自变量,,findsym（f，n）：按最接近变量x的顺序排列表达式f中的,,前n个自变量,,例1、求符号函数在不同自变量情况下的结果：,,》syms x n,,》f=x^n；,,》diff（f）,,》diff（f，n）,,4,,例2、查询符号函数中的默认自变量：,,》syms　a x n b y c t,,》f=a*x^n+b*y^n+c*t；,,》findsym（f）,,》findsym（f，1）,,》findsym（f，7）,,§4.2 符号表达式的化简,,,有因式分解、展开、合并、化简、通分等操作,1、因式分解,factor函数,,,factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式,例、对表达式X,12,-1因式分解,,》syms x 》f=factor（x^12-1),,》pretty（f）,5,,2、符号表达式的展开,expand函数,,,expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式,例、展开表达式S=sin（x+y）；,,》syms x y,,》f=expand（sin（x+y））,,3、符号表达式的同类项合并,collect函数,,,collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式,,collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式,例、已知表达式S=xyz+xt+xy+t，则执行指令后,,》syms x y z t,,》S=x*y*z+x*t+x*y+t；,,》f1=collect（S）,,》f2=collect（S，t）,,4、符号表达式的化简,simplify函数,,MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：,,（1）simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。

6,,（2）[r，how]=simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行,,综合化简，r为返回的简化形式，how为化简过程使用的主,,要方法（见教材P75表4-1）例、对表达式f=sin,2,x+cos,2,x进行化简；,,》syms x,,》f= sin,2,x+cos,2,x；,,》simplify（f）,,》,[r，how]=simple(f),5、符号表达式的分式通分,numden函数,,,[n，d]=numden（S） n为通分后的分子；d为通分后的分母,》syms x y,,》f=x/y+y/x；,,》[n,d]=numden(f),,7,,§4.3 符号微积分,,包括极限、微分、积分、求和、Taylor级数展开,一、符号极限,,limit函数,,◆,limit(f) ：,,,◆,limit(f,a) ：,,,◆,limit(f,x,a) ：,,,◆,limit(f,x,a,’right’) ：,,,◆,limit(f,x,a,’left’) ：,注：∞在MATLAB中表示为inf,,8,,》syms x a,,》limit(sin(x)/x),,》f=(1+a/x)^x;,,》limit(f,x,inf),,二、符号微分,,diff函数,◆,diff(f)— 求符号表达式f对默认变量的微分。

◆,diff(f,x)— 求符号表达式f对变量x的微分◆,diff(f,x,n)—求符号表达式f对变量x的n次微分》syms x n,,》f=x^n;,,》f1=diff(f),,》f2=diff(f,n),,》f3=diff(f,x,2),,9,,三、符号积分,,int函数,◆,int(f)— 求符号表达式f对默认变量的不定积分◆,int(f，x)— 求符号表达式f对自变量x的不定积分◆,int(f，a，b)—求符号表达式f对默认变量的a到b的定积分》syms x,,》f=sin(x)/(x^2+4*x+3);,,》f1=diff(f),,》f2=int(f),,》f3=simplify(f2),,四、符号求和,,symsum函数,◆,symsum(f)— 求符号表达式f对默认变量的不定和◆,symsum (f，x)—求符号表达式f对自变量x的不定和◆,symsum (f,a,b)—求符号表达式f对默认变量的a到b的有限和10,,例、求级数之和的命令如下：,,》n=sym('n'),,》s1=symsum(1/n^2,n,1,inf),》s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf),》s3=symsum(n*x^n,n,1,inf),》s4=symsum(n^2,1,100),%求s4。

计算有限级数的和,%求s3此处的求和变量n不能省略,11,,五、Taylor级数展开,,taylor函数,◆,taylor(f)— 求f在默认自变量=0处的5阶Taylor级数展开式；,,◆,taylor (f,n,x)— 求f在自变量x=0处的n-1阶Taylor级数展开式；,,◆,taylor(f,n,x,a)—求f在自变量x=a处的n-1阶Taylor级数展开式命令如下：,,》x=sym('x');,,》f=1+3*x+5*x^2-2*x^3;,,》f1=taylor(f,x,-1),例1、计算f=sin（x）的5阶和9阶Taylor级数展开式；,,》syms x,,》taylor（sin（x））,,》taylor（sin（x），9）,,另外，MATLAB还提供可视化的Taylor级数计算器，使用方法：,,》taylortool,,12,,作业：P92 4.2 4.6,13,,六、符号积分变换,1、 傅立叶(Fourier)变换,在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：,,F=fourier(f,t,w) 求函数f(t)的傅立叶像函数F(w)。

f=ifourier(Fw,w,t) 求傅立叶像函数F(w)的原函数f(t)例1、求函数的傅立叶变换及其逆变换命令如下：,,》syms w t;,,》y=abs(t);,,》F=fourier(y,t,w) %求y的傅立叶变换,,》f=ifourier(F,w,t) %求F的傅立叶逆变换,14,,例2、计算f（t）=sin（t）的傅立叶变换及其逆变换命令如下：,,》syms w t;,,》y=sin(t);,,》F=fourier(y,t,w) %求y的傅立叶变换,,》f=ifourier(F,w,t) %求F的傅立叶逆变换,说明：Heaviside函数为单位阶跃函数例3、计算f（t）=1/t的傅立叶变换及其逆变换命令如下：,,》syms w t;,,》F=fourier(1/t,t,w) %求y的傅立叶变换,,》f=ifourier(F,w,t) %求F的傅立叶逆变换,说明：Dirac函数为单位脉冲函数二者关系：fourier（sym（’Heaviside（t）’））,,15,,在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：,,F=laplace(f,t,s) 求函数f(t)的拉普拉斯像函数F(s)。

f=ilaplace(F,s,t) 求拉普拉斯像函数F(s)的原函数f(t)例、计算y=t,2,和阶跃函数的拉普拉斯变换命令如下：,,》syms a t s,,》F1=laplace(t^2,t,s) %对函数t^2进行拉普拉斯变换,,》F2=laplace(sym(‘Heaviside’)) %对阶跃函数进行拉,,普拉斯变换,2、 拉普拉斯(Laplace)变换,16,,例2、计算1/（s+a）和 1 的拉普拉斯反变换命令如下：,,》syms a t s,,》f1=ilaplace(1/（s+a)),s,t) %对函数1/（s+a）进行,,拉普拉斯反变换,,》f2=ilaplace(1,s,t) %对1进行拉普拉斯反变换,3、 Z变换,,Z变换是时域离散信号和系统分析及设计的重要数学工具正如拉普拉斯变换可将微分方程变为代数方程那样，Z变换则可,,把差分方程变为代数方程，从而简化求解过程17,,例、求阶跃函数、脉冲函数和e^(an)的Z变换及其逆变换命令如下：,,》syms a n z,,》Fz1=ztrans（sym（’Heaviside（t）’），n，z）,,》Fz2=ztrans(sym（’Direc（t）’）,n,z),,》Fz3=ztrans（exp（an），n，z） %求fn的Z变换,,》f3=iztrans(Fz3,z,n) %求Fz的逆Z变换,,》f2=iztrans(Fz2,z,n),,》f1=iztrans(Fz1,z,n),对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：,,F=ztrans(f,n,z) 求f的Z变换像函数F(z),,f=iztrans(F,z,n) 求F的z变换原函数f(n),18,,§4.4 符号方程的求解,一、符号代数方程,solve（ ）函数,g=solve(eq) eq=0的默认自变量的解；,,g=solve(eq，var) eq=0的给定自变量var的解；,,g=solve(eq1，eq2，…，eqn，var1，var2，…varn),,方程组的给定自变量的解；,,例1、求方程,,的解。

》syms a b c x,,》s=a*x^2+b*x+c,,》g=solve(s),,或者：,,》s=sym(‘a*x^2+b*x+c’),,》g=solve(s),,,19,,例2、求三元非线性方程组,,的解》eq1=sym(‘x^2+2*x+1’);,,》eq2=sym(‘x+3*z-4’);,,》eq3=sym(‘y*z+1’);,,》[x,y,z]=solve(eq1,eq2,eq3),,二、符号微分方程 求解,dsolve（ ）函数,r=dsolve(‘eq1，eq2，…，eqn，’cond1，cond2…’，’var’),,说明：‘eq’为微分方程；‘cond’为微分初始条件，‘var’为指定变量,,20,,》r=dsolve（’Dy=a*y’）,,》 r1=dsolve（’Dy=a*y’，’y（0）=b’）,,21,,》y=dsolve（’x*D2y-3*Dy=X^2’,’x’）,,》y1=dsolve（’ x*D2y-3*Dy=X^2’，’y（1）=0，y（0）=0’，’x’）,,》[X，Y]=dsolve（’Dx=y，Dy= -x’）,,22,,§4.5 符号数学的简易绘图函数,为了将符号函数的数值结果可视化，MATLAB提供了一系,,列简易绘图函数，可以很容易地将符号表达式图形化，这些命,,令的开头都是“ez”。

一、ezplot和ezplot3的应用,,1、ezplot的调用格式：,,ezplot（f，[xmin，xmax]）,,说明：f是符号函数,,[xmin，xmax]是绘图的自变量范围，默认[-2pi，2pi],,例、绘制表达式x^2-y^4的二维图形》syms x y,,》ezplot（ x^2-y^4）,,23,,2、ezplot3的调用格式,,ezplot3（x，y，z，[tmin，tmax]）,,见教材P84 例4-28,,二、其他绘图命令,,见教材 P83~P88 例题,,作业,： （1）,P93 4.8,,（2）自己找有关傅立叶变换、拉普拉斯变,,换及Z变换的例子，验证fourier、,,laplace 、ztrans三函数在各变换中的,,使用方法24,,。