§3MMs排队模型.docx

3 M/M/s排队模型一、单服务台模型（即M/M/1/ / 或M/M/1）到达间隔：负指数（参数为 ：到达率）分布；服务时间：负指数（参数为 ：服务率）分布；服务台数：1；系统容量：无限；排队长度（客源）：无限；服务规则：FCFS.1. 队长的分布设pn P（N n} n 0,1,2,...为系统平稳后队长N的概率分布，则由（1） Cn n 1 n 2…0 , n 1,2,...（累积服务率）n n 1... 1⑵ P0 1 (1 Cn) n 1⑶ Pn CnPo，n 1,2,...（无客的概率）（有n客的概率）,n 1,2,...,并记及 n ,n 0,1,2,...和 n可得Cn故有pn其中Po—（服务强度，一般n 1,2,...1)nP0,1 (11,2,...Cn) 1 (1n)因此 Pn (1 ) n,n 0,1,2,....无客的概率：p0 1至少有一客的概率服务台处于忙的概率=繁忙程度（即服务强度 户服务机构的利用率如单位时间，2,5,则，即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中，顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布，即密度分布函数：f(t) ( )e ( 、 0.分布函数：F(t) P(T t) 1 e ( )"t 0.于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1W E[T] ；(4) 在队列中顾客平均等待时间因为逗留时间=等待时间Tq+服务时间V，即T Tq V1 故 W E(Tq) E(V) Wq 一，从而得1Wq w - Wq另外还可得到(时间与空间关系):L W 和 Lq Wq这两个常称为Little公式.各公式可记忆如下：服务效率从逗留时间W1 」 ——等待时间Wq W队长L W排队队长Lq qL 或 Lq Wq还可导出关系1W —和Lq1Lq 一3. 服务机构的忙期 B和闲期I分析(1) 因为忙期=至少一客的概率 ，闲期=无客的概率1忙期时间长度/闲期时间长度=——1(2) 因为忙闲交替，次数平均 平均忙期时间长度/平均闲期B时间长度=—— B ——.1 I 1(3)又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性任闲时刻起，下一客到达间隔仍为 负指数分布十，，、皿 —一 1 — 1平均闲期=下一客到达间隔 一 I —1 1平均忙期=B W1即顾客平均逗留时间，实际意义是明显的.例1 一个铁路列车编组站，设待编列车到达时间共享知识 分享快乐 间隔负指数分布，平均到达率2列/h;编组时间服从 负指数分布,平均20min可编一组.已知编组站上 共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车 只能停在站外或前方站.求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数 ；(2) 每一列车的平均停留时间；(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的 2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车的费用为a元/h,求每天由于列车在 站外等待而造成的损失.解这里 2,3,_ 23⑴列车的平均数L12 （小时）⑵列车的平均逗留1时间WL 221 （小时）⑶等待编组的列车:平■均数(4)(5)WoLq L等待编组时间Wq W记列车平均延误W P{N2 42 -—(列)3 32 ,蚀一（小时）3（2道满，不能进站）时间为Wo，则2) W (1 po Pi P2)30.296(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用E 24 W0a 24 2 0.296 a 14.2a (元).例2某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达 过程为Poisson流，平均4人/h;修理时间服从负指 数分布，平均需要6 min.试求：(1) 修理店空闲的概率；(2) 店内恰有3个顾客的概率；(3) 店内至少有1个顾客的概率；(4) 在店内的平均顾客数；(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间 ；(6) 等待服务的平均顾客数；(7) 每位顾客平均等待服务时间；(8) 顾客在店内等待时间超过 10min的概率.解这里 4, 1/0.1 10, - - 15(1) 修理店空闲的概率p0 1 1 2/5 0.6(2) 店内恰有3个顾客的概率P33 3 23(1 ) — 1 — 0.0385 5(3) 店内至少有1个顾客的概率P(N 1) 1 p0 2/5 0.4(4) 在店内的平均顾客数L ——里公0.67(人)1 1 2/5(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间W — 0.67 10(min)4(6) 等待服务的平均顾客数Lq L 0.4 0.67 0.268(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间Lq 0.268Wq 一 一-— 4(min)(8) 顾客在店内等待时间超过 10min的概率.10T1P{T 10} e 6 15 e1 0.3679.二、多服务台模型（即M/M/s/ / 或M/M/s）到达间隔：负指数（参数为 ：到达率）分布；单台服务时间：负指数（参数为 ：服务率）分布；服务台数:S； 1 2 LS系统容量:无限；服务台1 _ _排队长度（客源）:无限；-:US-r uuuu服务规则:FCFS.: .J. si1 1数据分析设 pn P( N n} nN的概率分布，则n和系统的服务率nns0,1,2,...为系统平稳后队长n 0,1,2,...n 1,2,3,...,sn s,s 1,...记s — ,则当s 1时，不至越排越长称s为系统的服务强度 或服务机构的 平均利用率由前面的(1),(2)和(3)公式得Cn(/ )「n!(/ )ss!n 1,2,3,...,s(/ )nn ss! sn,P0， n1,2,3,...,sn!Pn nn s Po，s!sn s其中s 1 ns1p0n 0 n!s!(1.s)当n s时，顾客要等待..记这个等待的概率为c(s, ) Pnn ss!(1s)P0称为Erlang等待公式.(1)平均排队长sLq (n s)pn -Ps^ (n s):p0 s d n p0 s. . s .. 、 2s! d s n 1 s!(1 s)或Lqc(s, ) s(2)正在接受服务的顾客的平均数 s 1s npn s Pnn 0 n ss1 n nn 0 n!P0s s!(1s)P0n1(n 1)! (s 1)!(1 s)s与s无关.(3)平均队长L 平均排队长+平均接受服务的顾客数 L对多台服务系统，仍有Little公式：w L, wq 上 w」例3考虑一个医院医院急诊的管理问题 .根据统计资料,急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数 分布，平均每0.5h来一个；医生处理一个病人的时 间也服从负指数分布，平均需要20min .该急诊室已有一个医生，管理人员现考虑是否需要再增加一 个医生.解这是一个 M/M/s/ 8模型,有2, 3, — 2 , s 1,23由前面的公式，结果列表如下指标一 —•模型-s=1s=2空闲的概率P00.33305有1个病人的概率 P10.2220.333有2个病人的概率 P20.1480.111平均病人数L20.75平均等待病人数 Lq1.3330.083病人平均逗留时间 W10.375病人平均等待时间 Wq0.6670.042病人需要等待的概率 P{Tq>0}0.667(=1 p0)0.167(=1 p0 p1)等待时间超过0.5小时的概率P{Tq>0.5}0.4040.022等待时间超过1小时的概率P{T q>1}0.2450.003如果是一个医生值班，则病人等待时间明显长. 结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口 ，顾客的到达服从泊松过程，平均到达率每分钟 0.9人/min.服务（售票）时间服从负指数分布,平均服务率 0.4人/min.AAAAAAAA这是M/M/s模型，其中，依次向空闲的窗口购票2.25 3 .s 3,— 2.25, s1s 3 4由公式可得：1 s 1 n s(1)整个售票处空闲概率Po . ... \non! s!(1 s)1C AT A OPo 0 1 23 0.0/4。

2.25 2.25 2.252.25 10! 1! 2!! 1 2.25/3(2)平均排队长LqP0 ss!(1 s)2Lq1.70 (人)0.0748 2.253 3/4. 23!(1 /4)平均队长：L Lq / 1.7 2.25 3.95(人)(3)平均等待时间W _q 1.89 (min)q 0.9平均逗留时间W Wq 1/ 1.89 1 /0.4 4.39(分钟)(4)顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有 3)的概率s p 2.253 0.0748c(3,2.25) — —^- 0.57.s!(1 s) 3! 1/ 4在上例中，若顾客到达后在每个窗口前各排一队 ，且中途不换队，贝U M/M/3 / 8 3个M/M/1/ 8 如下图所示(b).t t t」口1 [J.口2 窗口3 窗口1 窗口2 窗口3每个队的平均到达率为1 2 3 0.9/3 0.3 （人/分钟）结果比较如下荷 JOM/M/3M/M/1服务台空闲的概率 Po0.07480.25（每个子系统）顾客必须等待的概率P(n 3)=0.570.75平均排队长Lq1.702.25（每个子系统）平均队长L3.959.00（整个系统）平均逗留时间 W4.39（分钟）10（分钟）平均等待时间 Wq1.89（分钟）7.5（分钟）单队比三队优越百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、 解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设 有比较完善的调车作业的车站。

其主要任务是根据列车编组计划的要求，大量办理货物列车的解体和 编组作。